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3. 2013年全国高中数学联赛山西预赛

时间:2015-09-21


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛山西省预赛
一.填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 2.

高中竞赛

将全体正整数从小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右第 2013 个数字为_______. 若从椭圆中心到焦点、 长轴顶点及到准线的距离之长可组成一个直角三角形, 则该椭圆的离心率为 _______. 在正四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 5 ,AB ? 6 ,M 是 △PAD 的重心。则四面体 MPBC 的体积为 _______. P D M

3.

C

A

B

4. 5.

函数 y ?

4 ? sin x 的最大值是_______. 3 ? cos x

[ a] 、 若 a 为正数, [a ] 表示 a 的整数部分,而 ?a? ? a ? [a] 如果 a 、 ?a? 顺次组成等比数列,则 a ?
_______.

6.

a 、b 、c 是不同的正整数,若集合 ?a ? b , b ? c, c ? a? ? n2 , (n ? 1)2 , (n ? 2)2 , n 为正整数,则

?

?

a 2 ? b2 ? c 2 的最小值为_______.

7. 8.

函数 f ( x) ? ? x ? k 最小值为_______.
k ?1

2013

cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? _______。 若 sin ? ? sin ? ? sin ? ,

二.解答题(共 54 分) 9. (14 分)如图,已知过 △ ABC 的三个顶点 A 、B 、C 各作其外接圆的切线,分别与相应顶点的对 边所在直线相交,证明:D、E、F 三点共线. F E

A C

D

B

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1

高中竞赛

预赛试题集锦(2014)
1 n ? ak , n k ?1

10. (20 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,an ?1 ? 1 ? (1)写出数列前 7 项的值; (2)对任意的正整数 n ,求 a n 的表达式.

11. (20 分) 已知盒子中装有红色、 蓝色纸牌各 100 张, 每种颜色纸牌均含标数为 1, 3, 32 , ?, 399 l, 3,32,?,399 的纸牌各一张,两种颜色纸牌的标数总和记为 S . 对于给定的正整数 n , 若能从盒子中取出若干张纸牌, 使其标数之和恰为 n , 则称其为一种取牌 “ n_ 方案” ,记不同的 n _ 方案种数为 f (n) ;试求 f (1) ? f (2) ? ? ? f ( S ) 的值.

2

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预赛试题集锦(2014)
解答

高中竞赛

1.7.提示:全体一位数共占 9 个数位,全体两位数共占 2×90=180 个数位,接下来是顺次排列的三 位数.由于 2013—9—180=1824,而 1824/3=608,因为 608+99=707,所以,第 2013 个数字是三位数 707 的末位数字,即为 7.

2.

5?1 2

提示:由2 + 2 = ( )2 ,得 2 = ,又据 2 + 2 = 2 ,得2 + b = 2 ,所以 =
5?1 2

2



5?1 2



则2 = ? = 2 ?

,所以e =



=

5?1 2

.

3.4 7提示:设 PM 交 AD 于 N,则 2 = 2 ? 2 = 2 ?
2 2

2 2

= 16,所以PN = 4;若 PH 是四棱锥的高,则

= 7,PH = 7,正方形 ABCD 面积为 36,所以,三角形 NBC 的面积为 18,故四
1 3

面体 P-NBC 体积为 = × 18 × 7 = 6 7,又由 ? = 4 7. P

= ,所以四面体 M-NBC 体积为 =
3

1

M N A

D

C

B

4.

6+ 6 4

提示:将函数式看作定点(3,4)与动点(cosx,sinx)连线的斜率;而动点(cosx,sinx)的轨

迹是一个单位圆,设过点(3,4)的直线方程为 ? 4 = ( ? 3),即 ? + 3 ? 4 = 0,当斜率取 最大值时,该直线应是单位圆的一条切线,于是原点到该直线距离为 1,即有 3 ? 4 = 2 + 1,所以 = 5.
6+ 6 4 1+ 5 2

,因此最大值为

6+ 6 4

.

提示:改记 = , = ,由等比, = 2 ,而 = ? ,所以 + ? = 2 ,
?1+ 5 2

2 + ? 2 = 0,θ = ? = + =
1+ 5 2

,由于0 < < 1,则 k 为正整数,且只有 = 1,从而θ =

5 ?1 2

,所以

.

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3

高中竞赛

预赛试题集锦(2014)

6. 1297 提示:由2 + ( + 1)2 + ( + 2)2 = 2 + + =偶数,所以 n,n+1,n+2 两奇一偶;即 n 为奇数, 显然 n>1, 不妨设 a<b<c, 如果 = 3, 则由 + = 25, + = 36, + = 25得 + + = 25, 此时导致 = 0,矛盾! 所以 ≥ 5,当 = 5时,由 + = 25, + = 36, + = 25,解得 = 6, = 19, = 30,这时, 2 + 2 + 2 = 1297.

7. 1 013 042 提示:由于 1,2,3,· · · ,2013 的中间一数为 1007,当 = 1007时,函数取得最小值 1007 = 2 1 + 2 + 3 +· · ·+1006 = 1006 × 1007 = 1 013 042. 3/2提示:将条件式平方得,sin2 + sin2 + 2 sin sin = sin2 ,
1

8.

cos2 + 2 + 2 cos cos = cos2 ,两式相加得cos? (α ? β) = ? 2;两式相减得:cos2γ = cos2α + cos2β + 2 cos α + β = 2 cos α + β cos α ? β + 2 cos α + β = cos? (α + β). 因此,cos2 + cos2 + cos 2 = 2 + 2 cos2α + cos2β + cos2γ = 2 + 2 2 cos α ? β cos α + β + cos 2γ = 2 + 2 ? cos + + 2 = 2. 9. 据梅涅劳斯定理逆定理,只要证 × × = 1;由弦切角关系,∠BAD = ∠ACB = ∠ABE, ∠ABC = ∠ACF,由△ BAD ?△ ACD,得
3 1 3 3 1 3 1

=

△ △

= ( )2 ,由△ CEB ?△ BEA,得








=

△ △

= ( )2 ,




由△ CFA ?△ BFC,得 = △ = ( )2 ,所以 ? ? = △ ? △ ? △ = 1,因此 D、E、F 三点
△ △ △ △

共线。 10. (1)顺次算出:1 = 1, ,2 = 2,3 = 2,4 =
1 + 2 +?+ ?1 + 1 + 2 +?+ ?1 1 ?1 5 17 6

,5 = 12,6 =

37

197 60

,7 =

207 60

. ?
1

(2)因为 +1 = 1 +
1 + 2 +?+ ?1 ?1 1 ?1 1 3 1

, = 1 +
?1

1 + 2 +?+ ?1 ?1

,所以 +1 ? =
?1 1 1

1 + 2 +?+ +1 +

=



+(

?

1 + 2 +?+ ?1

)=

1



1+

1 + 2 +?+ ?1

+ 1 + 2 + ? + ?1

?
1 2

= .所以 ? ?1 =
1 ?1

, ?1 ? ?2 =

1 ?2

, ? ? 2 ? 1 = , 1 = 1, 相加得 = 1 + (1 + +

+?+

).

11. 解法一将盒子中的纸牌按标数从小到大的顺序排成一列:1,1,3,3,32,32, · · · ,399,399, 值相等的两项不同色,对于每个 k(1 ? k ? 100) ,数列前 2k 项之和小于 3k 故形如 3n 的项必从两个 3n 中选出((任何其他项的和不等于 3n).于是,选出一个 3n 有两种方法,同时选出两个 3n 只有一个方 法. 对于集合A = 0,1,2, ? , 中的每个数 m,可将其表为含有一百个数位的三进制形式:m = 99 98 ? 1 0 ,即m = 0 + 1 ? 3 + 2 ? 32 + ? + 99 ? 399,其中 ∈ 0,1,2 ,i = 0,1,2, ? 99.

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预赛试题集锦(2014)
个 1 有红蓝两种选取方案).

高中竞赛

若在0 ,1 ,2 , ? 99 中恰有 k 个为 1(其余100 ? k个数为 0 或 2) ,则 = 2 (这是由于每 现将集 A 分解为A = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ ? ∪ 100 ,其中 中的每个数 m 在表示成上述三进制形式后,
其系数0 ,1 ,2 , ? 99 恰有 k 个为 1 (其余100 ? k个数为 0 或 2) , 因此集 中, 共有100 ? 2100 ? 个 数, (这是由于,从0 ,1 ,2 , ? 99 中选取 k 个为 1,有100 种选法,其余100 ? k个数,每个可取做

0 或 2,有2100 ? 种方法). 这样, 中各数的 f 值之和为 100 两两不相交,从而
∈ ∈ () = 2 ? 100 ? 2100 ? = 100 ? 2100 , 由于集合0 , 1 , 2 , · · · ,

=

∈ 0

() +

∈ 1 () +

∈ 2 ()

+?+

∈ 100

=

0 100 1 2100 100 + 100 + ? + 100 = 2100 ? 2100 = 2200 , 注意到0 = 0 + 0 ? 3 + 0 ? 32 + ? + 0 ? 399 , 即数列中

的每个数都不选,其方案数 0 = 1,所以f 1 + f 2 + ? + f S = 2200 ? 1.

解法二采用数学归纳法,为此,将问题一般化,将具体数 99 改为非负整数 k,考虑数列 1,1,3, 3,32,32, · · · ,3k,3k,其和为 ,今计算 = f 0 + f 1 + ? + f 的值. 对 k 归纳,k = 0时数列有两项:1,1,则0 = 1 + 1 = 2; 由于f 0 = 1,f 1 = 2,f 2 = 1,所以0 = f 0 + f 1 + f 2 = 4; k = 1时数列有四项: 1, 1, 3, 3, 则1 = 8, 而f 0 = 1, f 1 = 2, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 4, f 5 = 2, f 6 = 1,f 7 = 2,f 8 = 1,于是1 = f 0 + f 1 + ? + f 8 = 42 ; 据此猜想, 对于数列 1, 1, 3, 3, 32, 32, · · · , 3k , 3k , 其和为 , 有 = f 0 + f 1 + ? + f = 4 +1 ?, 此式在k = 0,1时已验证,今假定对于 k 成立,考虑 k+1 情况,1,1,3,3,32,32, · · · ,3k,3k, 3k+1, 3k+1,其和为 +1 ,将集合A = 0,1,2, ? , +1 中的每一个数 n 表示成三进制形式; n = 0 + 1 ? 3 + 2 ? 32 + ? + ? 3 + +1 ? 3 +1 = 1 + +1 ? 3 +1 ,? 其中1 = 0 + 1 ? 3 + 2 ? 32 + ? + ? 3 , ∈ 0,1,2 . 若 +1 = 0,这时n = 1 ,利用归纳假设,有 = 4 +1 种选法; 当 +1 = 1时, n = 1 + 3 +1 从这两个3 +1 中取其一, 有两种取法, 对前半段表达式1 用归纳假设, 有2 ? = 2 ? 4 +1 种选法; 当 +1 = 2时,n = 1 + 2 ? 3 +1 两个3 +1 全取,有一种取法,对前半段表达式1 用归纳假设,有 = 4 +1 种选法; 所以 +1 = + 2 + = 4 = 4 +2 ,即 +1 = 0 + 1 + ? + +1 = 4 +2 ,即?式对 于任何非负整数 k 成立; 1 + ? + = 4 +1 ? 0 = 4 +1 ? 1; 取 = 99,得 1 + 2 + ? + = 2200 ? 1.

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