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2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《方程的根与函数的零点》(黑龙江董雁飞

时间:2011-03-06


教学设计
黑龙江省大庆实验中学 董雁飞 课 教 题:3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1 3. 材: 普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 (人民教育出版社 A 版)第三章函数的应用 1.结合方程根的几何意义,理解函数零点的定义; 2.结合零点定义的探究,掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价 关系; 3.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在 区间的方法. 1.通过化归与转化思想的引导,培养学生从已有认知结构出发,寻求解 决棘手问题方法的习惯; 2.通过数形结合思想的渗透,培养学生主动应用数学思想的意识; 3.通过习题与探究知识的相关性设置,引导学生深入探究得出判断函数 的零点个数和所在区间的方法; 4.通过对函数与方程思想的不断剖析,促进学生对知识灵活应用的能 力。 1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解 决数学问题时的意义与价值; 2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯; 3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

一、教学目标

知识与技能

过程与方法

情感、态度与价值观

二、教学重点与难点
教学重点 教学难点 零点的概念及零点存在性的判定。 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 教学方法: 教学方法:启发式教学、探究式学习 多媒体设备: 多媒体设备:计算机

三、教学的方法与手段
授课类型: 授课类型:新 授 课 教学课件: 教学课件:自制 Powerpoint 课件

四、教学过程 环节一:揭示意义,明确目标】揭示本章意义, 【环节一:揭示意义,明确目标】揭示本章意义,指明课节目标
教师活动: 教师活动:用屏幕显示第三章 函数的应用 第三章 3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点 教师活动: 教师活动:这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习,我们已经认识了指数 函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质,而这一章我们就要运 用函数思想,建立函数模型,去解决现实生活中的一些简单问题。为此,我们还 要做一些基本的知识储备。方程的根,我们在初中已经学习过了,而我们在初中 研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究,那么,我们这节课就主要从 “形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系” 。 教师活动 活动: 。 教师活动:板书标题(方程的根与函数的零点)

【环节二:巧设疑云,轻松渗透】设置问题情境,渗透数学思想 环节二:巧设疑云,轻松渗透】设置问题情境,

教师活动: 判断下列方程是否有实根, 教师活动:请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根,有几个实根? 活动 判断下列方程是否有实根 有几个实根? (2 ( (1) x ? 2 x ? 3 = 0 ; 2) ln x + 2 x ? 6 = 0 .
2

学生活动: 学生活动:回答,思考解法。 教师活动: 第二个方程我们不会解怎么办?你是如何思考的?有什么想法?我们可以考虑将 教师活动: 复杂问题简单化,将未知问题已知化,通过对第一个问题的研究,进而来解决第 二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决,我们应该打破 思维定势,走出自己给自己画定的牢笼!这样我们先把所依赖的拐杖丢掉,假如 第一个方程你不会解,也不会应用判别式,你要怎样判断其实根个数呢? 学生活动: 学生活动:思考作答。 教师活动: 教师活动:用屏幕显示函数 y = x ? 2 x ? 3 的图象。 活动
2

学生活动: 学生活动:观察图像,思考作答。 教师活动: 教师活动:我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格,让学生填写 x ? 2 x ? 3 = 0 的实数根 活动
2

和函数图象与 x 轴的交点。 学生活动: 学生活动:得到方程的实数根应该是函数图象与 x 轴交点的横坐标的结论。 教师活动 活动: 教师活动:我们就把使方程成立的实数 x 称做函数的零点.

【环节三:形成概念,升华认知】引入零点定义,确认等价关系 环节三:形成概念,升华认知】引入零点定义,
教师活动: 板书 (一、 函数零点的定义: 对于函数 y=f(x), 教师活动: 活动 这是我们本节课的第一个知识点。 使方程 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点) 。 教师活动 活动: 教师活动:我可不可以这样认为,零点就是使函数值为 0 的点? 学生活动: 学生活动:对比定义,思考作答。 教师活动 结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程, 活动: 你认为方程的根与函数的零点究竟 教师活动: 是什么关系? 学生活动: 学生活动:思考作答。 教师活动 活动: 。 教师活动:这是我们本节课的第二个知识点。板书(方程的根与函数零点的等价关系) 教师活动 活动: 教师活动:检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数 y=f(x)有零点,你怎 。 样理解它? 学生活动: 学生活动:思考作答。 教师活动 对于函数 y=f(x)有零点, “数” 活动: 从 的角度理解, 就是方程 f(x)=0 有实根, “形” 从 教师活动: 的角度理解,就是图象与 x 轴有交点。从我们刚才的探究过程中,我们知道,方 程 f(x)=0 有实根和图象与 x 轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是 方程 f(x)=0 有实根和图象与 x 轴有交点的一个统一体。 在屏幕上显示:函数 y=f(x)有零点 函数 y=f(x)有零点

?

?

y=f(x)的图象与 方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 教师活动:下面就检验一下大家的实际应用能力。 活动:

【环节四:应用思想,小试牛刀】数学思想应用,基础知识强化 环节四:应用思想,小试牛刀】数学思想应用,

教师活动: 求下列函数的零点. 教师活动:用屏幕显示求下列函数的零点. 活动 求下列函数的零点

? ( x ? 4)( x + 1), x < 4 1 (1) y = 3x ; (2) y = log 2 x; (3) y = ; (4) y = ? . x ??( x ? 4)( x ? 6), x ≥ 4
学生活动: 由四位同学分别回答他们确定零点的方法。 画图象时要求用语言描述 4 个图象的 学生活动: 画法; 教师活动 活动: 教师活动:根据学生的描述,在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时,图象会 成为同学们思考问题的很好的参考) 。 教师活动 活动: 教师活动:我们已经学习了函数零点的定义,还学习了方程的根与函数零点的等价关系,在 这些知识的探究发现中,我们也有了一些收获,那我们回过头来看看能不能解决 ln x + 2 x ? 6 = 0 的根的存在性问题? 学生活动: 学生活动:可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。 教师活动 活动: 教师活动:用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想, 将未知问题转化成已知问题, 将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画 的函数,利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是 非常有价值的。 教师活动 如果不转化, 活动: 这个问题就真的解决不了么?现在最棘手的问题是 y= ln x + 2 x ? 6 教师活动: 的图象不会画,那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢?

【环节五:探究新知,思形想数】探究图象本质,数形转化解疑 环节五:探究新知,思形想数】探究图象本质,
教师活动: 教师活动:我们看到,当函数图象穿过 x 轴时,图象就与 x 轴产生了交点,图象穿过 x 轴这 活动 是一种几何现象, 那么如何用代数形式来描述呢?用屏幕显示 y = x 2 ? 2 x ? 3 的 函数图象,多次播放抛物线穿过 x 轴的画面。 学生活动: 学生活动:通过观察图象,得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论. 教师活动: 教师活动:好!我们明确一下这个结论,函数 y=f(x)具备什么条件时,能在区间(a,b)上 存在零点? 学生活动: 学生活动:得出 f(a)·f(b)<0 的结论。 教师活动: 教师活动:若 f(a)·f(b)<0,函数 y=f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗? 学生活动: 学生活动:可从黑板上的图象中受到启发,得出只有在[a,b]上连续不断的函数,在满足 f(a)·f(b)<0 的条件时,才会存在零点的结论。

【环节六:归纳定理,深刻理解】初识定理表象,深入理解实质 环节六:归纳定理,深刻理解】初识定理表象,
教师活动: 其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理, 那就是零点存在性 教师活动: 定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书(三、零点存在性定理) 。 教师活动: 函数零点存在性定理: 教师活动:用屏幕显示函数零点存在性定理: 函数零点存在性定理 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(b)<0,那么, y=f(x)在区间 在区间(a,b) 内有零点. f(a) ·f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点. (a,b), f(c)=0, 的根. 即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 教师活动: 教师活动:这个定理比较长,找个同学给大家读一下,让大家更好地体会定理的内容。 学生活动: 学生活动:读出定理。 教师活动: 教师活动:大家注意到了么,定理中,开始时是在闭区间[a,b]上连续,结果推出时却是在

开区间(a,b)上存在零点。你怎样理解这种差异? 学生活动: 学生活动:思考作答。 教师活动: 虽然我们已经得到了零点存在性定理, 但同学们真的那么坦然么?结合黑板上的 教师活动: 图象,再结合定理的叙述形式,你对定理的内容可有疑问? 学生活动: 学生活动:通过观察黑板上的板书图象,大致说出以下问题: 1.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内 会是只有一个零点么? 2.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)>0,则 f(x)在区间(a,b)内 就一定没有零点么? 3.在什么条件下,函数 y=f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点? 教师活动: 教师活动:那我们就来解决一下这些问题。 学生活动: 学生活动:通过黑板上的图象举出反例,得出结论。 1.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则只能确定 f(x)在区间 (a,b)内有零点,有几个不一定。 2.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)>0,则 f(x)在区间(a,b)内 也可能有零点。 3.在零点存在性定理的条件下, 如果函数再具有单调性,函数 y=f(x)在区间(a,b) 上可存在唯一零点。

【环节七:应用所学,答疑解惑】把握理论实质,解决初始问题 环节七:应用所学,答疑解惑】把握理论实质,
教师活动: 教师活动:现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在,存在几个了。那解决 活动 ln x + 2 x ? 6 = 0 的根的存在性问题应该是游刃有余了。 用屏幕显示判断下列方程是否有实根,有几个实根?(2) ln x + 2 x ? 6 = 0 判断下列方程是否有实根, 判断下列方程是否有实根 有几个实根? 学生活动 活动: 学生活动:通过对零点存在性的探究和理解,表述该问题的解法。

【环节八:归纳总结,梳理提升】总结基础知识,提升解题意识 环节八:归纳总结,梳理提升】总结基础知识,
教师活动: 教师活动:本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了,但最重要的,也是贯穿本节课始终, 活动 起到灵魂作用的却是三大数学思想,即化归与转化的数学思想,数形结合的数学 思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在, 也是数学的魅力所 在, 对我们解决问题起着绝对的指导作用。 愿我们每个同学在今后的学习中体味、 感悟、应用、升华!

【环节九:理论内化,巩固升华】整理思想方法,灵活应用解题 环节九:理论内化,巩固升华】整理思想方法,
2 1.函数 16)的零点为 的零点为( 1.函数 f(x)=x(x -16)的零点为( ) A. (0,0),(4,0) B.0,4 (– C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4

2.已知函数 f(x)是定义域为 的奇函数, 是定义域为R (x)在 上有一个零点, f(x)的零点 2.已知函数 f(x)是定义域为R的奇函数,且 f(x)在 (0, +∞ ) 上有一个零点,则 f(x)的零点 个数为( 个数为( A .3 ) B .2 C .1 D.不确定

f(x)的图象是连续不断的 有如下对应值表: 的图象是连续不断的, 3.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:

x f(x)

1 23

2 9

3 –7

4 11

5

6

7 – 26

– 5 – 12

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( )个 那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( [1 上的零点至少有 A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 3 的零点所在的大致区间为( 4.函数 f(x)= – x – 3x + 5 的零点所在的大致区间为( A.( – 2 ,0) (1, B. (1,2) (0, C. (0,1) (0, D. (0,0.5)



【环节十:布置作业,举一反三】延伸课堂思维,增强应用意识 环节十:布置作业,举一反三】延伸课堂思维,
已知f ( x ) = x 2 ? 2 x ? 3 ? a,求a取何值时能分别满足下列条件.
①有 2 个零点;②3 个零点;③4 个零点.

五、板书设计
方程的根与函数的零点 一、函数零点的定义:对于函数 y=f(x),使方程 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 二、方程的根与函数零点之间的等价关系 屏幕
y

y 1 o x
三、零点存在性定理
O

1

x


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