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浅议高等数学在中学数学中的应用_缪选民

时间:2014-08-03

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数 学 通 讯               2002 年第 13 期

浅议高等数学在中学数学中的应用
缪选民  藤  萍
( 泰州市第四十中学 , 江苏 , 225300)

中图分类号 : O 12 -42     文献标识码 : A      文章编号 : 0488 -7395( 2002) 13 -0010 -02

  人们常有一种 片面 的观 点 , 认为 高校 里所 学的 专业知识在中学数 学教 学中 几乎 无用 . 其 实高 等数 学知识在开阔中学 教师 的视 野 、指导 中学 数学 解题 等方面有很大的作 用 . 下面 就高 等数 学在 中学 数学 教育中的作用谈点粗浅看法 . 1  编题功能  纵 观琳 琅满目 的中 学数学 教辅 类用 书 , 有 相 当一 部 分例 题与 习 题是 辗转 的 陈题 . 事实 上 , 我们完全可 以根据 高校 中所 学的 专业 知识 编一 些不脱离中学实际 且富 有新 意的 习题 , 高 三复 习时 尤应这样做 . 当复习到不等 式与数列这 部分内容 时 , 我们 根 据 级 数 的 知 识 编 制 了 一 道 有 关 放 缩 法 的 例题 : sin n x ,{a n} 的前 n2 n 项和为 S n , 求证 : 对任意实数 x 和任意正整数 n 总 例 1  设数列{an} 的通 项公式 an = 有 S n <2 . sin x 的 n2 收敛域为 R ; 从 不等式 与数列 的角度 来看 , 两个“ 任 从级数的角度来看本例 , 函数项级数 ∑
n= 1 ∞

量都可唯一表示成 λ ( 2 e1 + 3 e2)+μ ( 2 e1 -3 e2) , 其中 λ , μ∈ R . 阅卷时发现 , 不 同水 平的 学生 所用 的证 法是 不 一样的 . 有的学生立即 想到证 2 e1 +3 e2 , 2 e1 - 3 e2 不共线 , 有的学生先证任一向量 a = t e1 + s e2 , 再 将 t , s 转换成 λ , μ , 即 证明 了 t e1 + s e2 = +3 e2)+ 3 t +2 s ( 2 e1 12

3 t -2 s ( 2 e 1 - 3 e 2) , 当然 也有 学 生不 会 12 证. 从二维向量空间的 角度来 看 , e1 , e2 线性无 关 , 则 2 e1 +3 e2 , 2 e1 -3 e2 也线性无 关 , 这是因 为系数 行 2  3 ≠0 , 所以 2 e1 + 3 e 2 , 2 e 1 - 3 e2 可 以 2  -3 作为一组基向量 . 学生并不知道 这些背景 , 正因为 如 列式 此 , 该题能真实地反映不同层次学生的能力 . 2  居高 临下  欲 穷千里 目 , 更 上一层 楼 . 有时站 在 高等数 学的角度来看初等 数学中的某些问题 会更深 刻 、更全面 . 例 3  同室四人各写一张贺卡 , 先集中起来然后 每人从中拿一 张别人 送出 的贺 卡 , 则四 张贺 卡不 同 的分配方式有 ( A)6 种 .         ( B) 9 种 . ( C) 11 种 . ( D)23 种 . 这是 1993 年 高考 试题 第 17 题 , 从组 合 数学 的 角度来看 , 是一个“ 错位” 问题 , n 个元素的 错位数 为 D n =n ! 1 1 1 1 + - +… + (-1)n . 本题 1! 2 ! 3! n! 是 n =4 的情 形 . 关于错 位数 D n 有一 个递推 公式 : 1Dn =(n -1) ( D n -1 + D n -2) , (n ≥3 , n ∈ N) , 显然 1 个元素的错位数 D 1 =0 , 2 个元 素的 错位数 D 2 = 1 , 由此算得 D 3 =2 ×( 1 +0)=2 , D 4 =3 ×3 =9 . 这 就启 (   )

n

意” 意味着要 证的 不等 式与 x , n 无关 , 因 此考 虑放 sin x sin 2 x sin3 x sin nx 1 缩法 : S n = 2 + 2 + 2 +…+ 2 ≤ 2 + 1 2 3 n 2 1 1 1 1 1 1 1 + + … + 2 , 证 2 + 2 + 2 + … + 2 ≤2 22 3 2 n 1 2 3 n 1 是大家所熟悉的 , 继续放大 , 本题得证 . 笔者认 为 : n 本例中的两个“ 任意” 既有新意又有助于学生思维 . 在教完平面 向量 这部 分 内容 后 , 为了 考查 学生 对“ 平面向量基 本定 理” 的掌 握程 度 , 我们 编制 了这 样一道试题 : 例 2  设 向量 e1 , e2 不共线 , 求证 : 平面上任一向 收稿日期 : 2002 -03 -25

2002 年第 13 期              数 学 通 讯 发我们可以用如下的方法来解答本题 . 记四个人为甲 、乙 、丙 、丁 , 假设甲 先从四 张贺卡 中拿一张 , 则有 3 种不同的取 法 , 不 妨设甲取 走了乙 送出的贺卡 ; 然后乙再从剩 下的三张贺 卡中拿一 张 , 也有 3 种不同的取法 , 不论乙 取走的是 哪一张 , 最后 丙 、丁 从剩 下 的两 张贺 卡 中各 取一 张 , 只 有 1 种 取 法 , 由乘法原理 , 不同的分配方式有 3 ×3 ×1 =9 种 . 例 4   设 A , B , C 是 ■ ABC 的 三内 角 , x , y , z 是任意实数 , 求证 : x 2 + y 2 + z 2 ≥2 xy co s C +2 yz cos B +2 z xcos A . 这是不等式 证明 中的 一 道陈 题 , 可以 两次 使用 判别式来证明 . 从高等代数 的角度来看 , 这是 一个二 次型的问题 , 考 虑二 次型 f (x , y , z )= x 2 + y 2 + z 2 - 2cos Cxy - 2cos Byz - 2cos Az x 的 矩 阵 1 -co s C -cos A -cos C 1 -cos B     , 它 的 顺序 主 子 式 p 1 -cos A -co sB 1 =1 >0 , 1 -cos C   =1 -cos2 C =sin 2 C >0 , -cos C 1 1 -cos C -cos A p 3 = -cos C 1 -cos B =1 -2cos A .     -cos A -cos B 1 2 2 cos B cos C -cos A -co s B -cos2 C =0 . p 2= 所以二次型 f (x , y , z ) 是半正定的 , 就是说本题可以 用配方法来证 明 , 事 实上 , x 2 + y 2 + z 2 -2 xy cos C 2 yz cos B - 2 z x cos A =(x - y cos C - z cos A ) y cos C - z cos A - 2 yz cos C cos A + y + z 2 2 yz cos B = (x - y cos C - z cos A ) + y 2 sin 2 C + 2 2 2 2 2 2 2

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解  作仿射变换 : x = ax′ , y =by′ . x2 y2 则 : 2 + 2 =1 a b Ax + By + C = 0 C
2 2 x′ + y′ =1 ,

aAx′+ bBy′+ C = 0 , 令

a A +b B

2

2

2

2

<1 , 即得 a 2 A 2 + b 2 B 2 > C 2 . 这比 通

常的转化为一元二次方程 的判别式 要简单些 . 又如 : a 在( 0 , + ∞) 内的单 调性 , 其 x 中 a ∈ R. 显然要对 a 进行 讨论 , 那么 讨论 的界点 在 讨论函数 f (x)= x + 哪里呢 ? 求一下导数 , f′ (x) =1 a , 由此可见要分 x2 a ≤0 与 a >0 两种 情况来讨论 , 在 a >0 的情况 下再 a] 和( a , +∞) 内 的单 调性 . 从 教师的 自

考虑( 0,

身解题而言 , 高等数学可以充当路标 . 4  纠正错误   中学 数学 中有时 所出 现的 错误仅 站 在初等数学这 一角度 是很 难发 现的 . 在 新出 版的 某 本教辅用书中有这样一道例 题 , 现摘录如下 : 例 6  证明“ 若 p 则 q” “ 若┐ q 则┐ p” . “若┐ q 证明   用反 证法 , 先 证“ 若 p 则 q”

则┐ p” : 假设“ 若 ┐ q 则 p” , 又由“ 若 p 则 q” , 就会导 致“ 若 ┐ q 则 q” 的矛盾 , 故只能有“ 若 ┐ q 则┐ p” . 再 证“ 若 ┐ q 则┐ p” “ 若 p 则 q” : 假设“ 若 p 则 ┐ q” , 又由“ 若 ┐ q 则┐ p” 就会 导致“ 若 p 则 ┐ p” 的 矛 盾 , 故只能有“ 若 p 则 q” , 从而原命题得证 . 从数理逻辑 学角 度来 看 , 上述 证明 出现 两处 错 误 , 一是“ 若 ┐ q 则┐ p” 的否定是(┐ q)∧ p , 而 不是 “ 若 ┐q 则 p” ; 二是“ 若 ┐ q 则 q” 并 非是矛 盾的 , 这 是因为当 q 为真时 , 根据蕴涵定义“ 若 ┐ q 则 q” 为真 命题 . 如果按照上述这种 错误 证明 , 原命 题“ 若 p 则 q” 与逆命题“ 若 q 则 p” 也 可以证 其等效 , 即假 设“ 若 q 则 p” 不成立 , 那么“ 若 q 则 ┐ p ” , 又 已知“ 若 p 则 q” , 从而“ 若 p 则 ┐ p” , 这是 不 可能 的 , 因 此“ 若 q 则 p” . 同理可证 : “ 若 q 则 p” “ 若 p 则 q” . 显然原 命题与逆命题不等效 , 可见这种 证明是错误 的 . 证明 两个互为逆否命题逻辑等 价 , 可 用真值表验 证 , 这 里 不再赘述 . 人们 常说 : 要 给学 生一碗 水 , 自己 要有一 桶水 . 作为一名合格 的中学 数学 教师 , 不 仅要 通晓 中学 数 学教材 , 熟悉中学数学的解题技 巧 , 还应 掌握高考 数 学与初等数学的内在联系 , 只有 这样 , 才 能在教学 中 真正做到居高临下 .

z 2 sin 2 A - 2 yz ( cos Ccos A + cos B )=(x - y cos C z cos A) +(y sin C - z sin A) ≥0 . 在 某种 程度 上 说 , 中学里的配方法是二次型的基础 . 3  解题研究  初 等数 学中的 有些 解题方 法来 源于 高等数学 . 在高等几何中我 们知道 : 圆的仿射 对应图 形是椭圆 , 直线的仿射对应 图形是直线 , 且仿 射变换 保持结合性不变 , 因此 圆的 切线 仿射 对应 图形 是椭 圆的切线 . 这为 我们研 究直 线和 椭圆 的位 置关 系提 供了一种简单的方 法 , 那就 是将 直线 和椭 圆通 过一 个仿射变换还原为直线和圆 . x2 y 2 + = 1 和直 线 Ax + By + C a 2 b2 =0 有两个不同公共点 的条件 . 例 5  求 椭圆
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