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山西省太原市外国语学校2015届高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)

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山西省太原市外国语学校 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(理 科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 2 1. (5 分)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5},则?UA=() A. ? B. {2} C. {5} D. {2,5} 2. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. (5 分)已知命题 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1﹣x ,则下列命题中为真命题 的是() A. p∧q B. ¬p∧q C. p∧¬q D. ¬p∧¬q
x x 3 2

4. (5 分)函数

的图象是()

A.

B.

C.

D.
x 2

5. (5 分)设函数 f(x)=e +x﹣2,g(x)=lnx+x ﹣3.若实数 a,b 满足 f(a)=0,g(b) =0,则() A. g(a)<0<f(b) B. f(b)<0<g(a) C. 0<g(a)<f(b) D. f(b)<g(a)<0 6. (5 分)设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则实 数 a 的取值范围是() A. (0, ) B. ( ,e) C. (0, ] D. [ , )

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7. (5 分)对任意实数 a、b,定义运算“*”:a*b= ﹣2)*log2x 的值域为() A. [0,+∞) B. (﹣∞,0] C. (log2 ,0)

则函数 f(x)=

(3x

D. (log2 ,+∞)

8. (5 分)设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对任意 x∈R 都有 f′(x)>f(x)成立,则 () A. 3f(ln2)>2f(ln3) B. 3f(ln2)=2f(ln3) C. 3f(ln2)<2f(ln3) D. 3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定 9. (5 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 y=(1﹣x)f′(x)的 图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()

A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2) D. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2) 10. (5 分)设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g (x)+f(x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是()? A. (﹣3,0)∪(3,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3) ∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)? 11. (5 分)已知函数 f(x)=log2(a﹣2 )+x﹣2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范围 是() A. (﹣∞,﹣4]∪[4,+∞) B. [1,+∞) C. [2,+∞) D. [4, +∞) 12. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x+2)=f(x+1)﹣f(x) ,若 f(4)=﹣2 则 函数 A. 1 B. 3 的最小值是() C. ln3 D. ln2
x

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. (5 分)已知直线 y=2x﹣1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为. 14. (5 分)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x﹣1)>0,则 x 的 取值范围是. 15. (5 分)命题“? x∈(1,2)时,满足不等式 x +mx+4≥0”是假命题,则 m 的取值范围是.
2

16. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(a)= ,则 f(﹣a)=.

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)已知命题“p:? a∈[1,2]|m﹣5|≤ ”;命题“q:函数 f(x)=x +mx +
3 2

(m+6)x+1 在 R 上有极值”.求使“p 且¬q”为真命题的实数 m 的取值范围.

18. (12 分)已知函数 f(x)=4x+ +b(a,b∈R)为奇函数. (1)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (2)当 a=﹣2 时,不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,求实数 t 的最小值. 19. (12 分)已知函数 f(x)的定义域为(﹣2,2) ,函数 g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x) . (1)求函数 g(x)的定义域; (2)若 f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式 g(x)≤0 的解集. 20. (12 分)已知函数 f(x)=klnx﹣kx﹣3(k∈R) . (Ⅰ)当 k=﹣1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行,且函数 g(x) =x +
3

f'(x) 在区间(1,2)上有极值,求 t 的取值范围.

21. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax,g(x)=e ﹣ax,其中 a 为实数. (1)若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+∞)上有最小值,求 a 的 取值范围; (2)若 g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论.

x

四、选做题(本小题满分 10 分)从以下两个大题中任选一题作答.选修 4-4:坐标系与参数 方程

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C2 的参数方程为 (φ 为参数) ,曲线

(a>b>0,φ 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极

坐标系中,射线 l:θ =α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α = 时,这两个交点重合.

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 α = 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α =﹣ 时,l 与 C1,C2 的交点为

A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

五、选修 4-5:不等式选讲 23.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=丨 x﹣a 丨+|x﹣1 丨,a∈R. (Ⅰ)当 a=3 时,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)当 x∈(﹣2,1) )时,f(x)>|2x﹣a﹣1|.求 a 的取值范围.

山西省太原市外国语学校 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 2 1. (5 分)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5},则?UA=() A. ? B. {2} C. {5} D. {2,5} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先化简集合 A,结合全集,求得?UA. 2 解答: 解:∵全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5}={x∈N|x≥3}, 则?UA={2}, 故选:B. 点评: 本题主要考查全集、补集的定义,求集合的补集,属于基础题. 2. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 充要条件. 计算题;简易逻辑. 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础. 3. (5 分)已知命题 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1﹣x ,则下列命题中为真命题 的是() A. p∧q B. ¬p∧q C. p∧¬q D. ¬p∧¬q 考点: 复合命题的真假. 专题: 阅读型;简易逻辑. 3 2 分析: 举反例说明命题 p 为假命题,则¬p 为真命题.引入辅助函数 f(x)=x +x ﹣1,由 函数零点的存在性定理得到该函数有零点, 从而得到命题 q 为真命题, 由复合命题的真假得到 答案. ﹣1 ﹣1 x x 解答: 解:因为 x=﹣1 时,2 >3 ,所以命题 p:? x∈R,2 <3 为假命题,则¬p 为真命 题. 3 2 3 2 令 f(x)=x +x ﹣1,因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数 f(x)=x +x ﹣1 在(0, 1)上存在零点, 3 2 即命题 q:? x∈R,x =1﹣x 为真命题. 则¬p∧q 为真命题. 故选 B. 点评: 本题考查了复合命题的真假,考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法,解答 的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.
x x 3 2

4. (5 分)函数

的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题;数形结合.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 求出函数的定义域,通过函数的定义域,判断函数的单调性,推出选项即可. 解答: 解:因为 所以函数 所以选项 A、C 不正确. 当 x∈(﹣1,0)时, 因为 y=lnx 是增函数,所以函数 是增函数, 是增函数. ,解得 x>1 或﹣1<x<0, 的定义域为: (﹣1,0)∪(1,+∞) .

故选 B. 点评: 本题考查函数的图象的综合应用,对数函数的单调性的应用,考查基本知识的综合 应用,考查数形结合,计算能力.判断图象问题,一般借助:函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等. 5. (5 分)设函数 f(x)=e +x﹣2,g(x)=lnx+x ﹣3.若实数 a,b 满足 f(a)=0,g(b) =0,则() A. g(a)<0<f(b) B. f(b)<0<g(a) C. 0<g(a)<f(b) D. f(b)<g(a)<0 考点: 函数的值;不等关系与不等式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数 f(x) ,g(x)在 R 上的单调性,再利用 f(a)=0,g(b)=0 判断 a,b 的取值范围即可. x x 解答: 解:①由于 y=e 及 y=x﹣2 关于 x 是单调递增函数,∴函数 f(x)=e +x﹣2 在 R 上单 调递增, x 分别作出 y=e ,y=2﹣x 的图象,∵f(0)=1+0﹣2<0,f(1)=e﹣1>0,f(a)=0,∴0<a <1. 2 + 同理 g(x)=lnx+x ﹣3 在 R 上单调递增,g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0,g( ) =
2 x 2

,g(b)=0,∴



∴g(a)=lna+a ﹣3<g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0, b f(b)=e +b﹣2>f(1)=e+1﹣2=e﹣1>0. ∴g(a)<0<f(b) . 故选 A.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键. 6. (5 分)设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则实 数 a 的取值范围是() A. (0, ) B. ( ,e) C. (0, ] D. [ , )

考点: 根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先,画出函数 f(x)=|lnx|的图象,然后,借助于图象,结合在区间(0,3]上有 三个零点,进行判断. 解答: 解:函数 f(x)=|lnx|的图象如图示:

当 a≤0 时,显然,不合乎题意, 当 a>0 时,如图示, 当 x∈(0,1]时,存在一个零点, 当 x>1 时,f(x)=lnx, 可得 g(x)=lnx﹣ax, (x∈(1,3]) g′(x)= = ,

若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数, 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数, 此时 f(x)必须在[1,3]上有两个零点,

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解得,



在区间(0,3]上有三个零点时, , 故选 D. 点评: 本题重点考查函数的零点,属于中档题,难度中等.

7. (5 分)对任意实数 a、b,定义运算“*”:a*b= ﹣2)*log2x 的值域为() A. [0,+∞) B. (﹣∞,0] C. (log2 ,0)

则函数 f(x)=

(3x

D. (log2 ,+∞)

考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据所给定义表示出 f(x) ,求出分段函数在各段的值域再求其并集即可.

解答: 解:由定义得 f(x)=



当 x≥1 时,f(x)≤f(1)=0;当 <x<1 时,f(x)<f(1)=0, 所以函数 f(x)的值域为(﹣∞,0], 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的值域求解,考查学生解决新问题的能力,属中档题. 8. (5 分)设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对任意 x∈R 都有 f′(x)>f(x)成立,则 () A. 3f(ln2)>2f(ln3) B. 3f(ln2)=2f(ln3) C. 3f(ln2)<2f(ln3) D. 3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 构造函数 g(x)= ,利用导数可判断 g(x)的单调性,由单调性可得 g(ln2)

与 g(ln3)的大小关系,整理即可得到答案.

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解答: 解:令 g(x)=

,则

= 因为对任意 x∈R 都有 f'(x)>f(x) , 所以 g′(x)>0,即 g(x)在 R 上单调递增, 又 ln2<ln3,所以 g(ln2)<g(ln3) ,即





所以

,即 3f(ln2)<2f(ln3) ,

故选 C. 点评: 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性,属中档题,解决本题的关键是 根据选项及已知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性. 9. (5 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 y=(1﹣x)f′(x)的 图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()

A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2) D. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2) 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的图象,判断导函数值为 0 时,左右两侧的导数的符号,即可判断极值. 解答: 解:由函数的图象可知,f′(﹣2)=0,f′(2)=0,并且当 x<﹣2 时,f′(x) >0,当﹣2<x<1,f′(x)<0,函数 f(x)有极大值 f(﹣2) . 又当 1<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0,故函数 f(x)有极小值 f(2) . 故选 D. 点评: 本题考查函数与导数的应用,考查分析问题解决问题的能力,函数的图象的应用. 10. (5 分)设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g (x)+f(x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是()?

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. (﹣3,0)∪(3,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3) ∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0, 3)? 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0 可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可得 到 f(x)g(x)在 x<0 时递增,结合函数 f(x)与 g(x)的奇偶性可确定 f(x)g(x)在 x>0 时也是增函数,最后根据 g(﹣3)=0 可求得答案. 解答: 解:设 F(x)=f (x)g(x) ,当 x<0 时,? ∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在当 x<0 时为增函数.? ∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x) .? 故 F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.? ∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.? 已知 g(﹣3)=0,必有 F(﹣3)=F(3)=0.? 构造如图的 F(x)的图象,可知 F(x)<0 的解集为 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3) .? 故选 D

点评: 本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系.导 数是一个新内容,也是 2015 届高考的热点问题,要多注意复习. 11. (5 分)已知函数 f(x)=log2(a﹣2 )+x﹣2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范围 是() A. (﹣∞,﹣4]∪[4,+∞) B. [1,+∞) C. [2,+∞) D. [4, +∞) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 压轴题;转化思想. 分析: 根据函数零点与对应方程根之间的关系,我们可将 f(x)存在零点转化为方程 log2 x (a﹣2 )=2﹣x 有根,结合对数方程和指数方程的解法,我们可将他转化为一个二次方程根 的存在性总是, 再根据二次方程根的个数与△的关系及韦达定理, 我们易构造一个关于 a 的不 等式,解不等式即可求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:若 f(x)存在零点, x 则方程 log2(a﹣2 )=2﹣x 有根 2﹣x x 即 2 =a﹣2 有根, x 令 2 =t(t>0) 则原方程等价于 =a﹣t 有正根
x

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 即 t ﹣at+4=0 有正根, 根据根与系数的关系 t1t2=4>0, 即若方程有正根,必有两正根, 故有 ∴a≥4. 故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数零点的判定定理,其中根据指数方程和对数方程的解法, 将函数对应的方程转化为一个二次方程是解答的关键. 12. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x+2)=f(x+1)﹣f(x) ,若 f(4)=﹣2 则 函数 A. 1 B. 3 的最小值是() C. ln3 D. ln2
2

考点: 基本不等式;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 先根据条件 f(x+2)=f(x+1)﹣f(x)可得函数的周期性,然后将 f 转化成 f(4) , 根据基本不等式求最值的方法即可得答案. 解答: 解:∵f(x+2)=f(x+1)﹣f(x) ,① ∴f(x+3)=f(x+2)﹣f(x+1)② 将①+②得 f(x+3)=﹣f(x) ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=﹣f(x+3)=f(x) ∴f=f(7+334×6)=f(7)=f(4+3)=﹣f(4)=2 ∴ = ,

由基本不等式可得,g(x)



当且仅当

,即 x=0 时,上式取到等号.



的最小值为:3

故选 B. 点评: 本题主要考查了抽象函数及其应用,以及函数的周期性和基本不等式求最值,属于 中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. (5 分)已知直线 y=2x﹣1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 ln2.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 设出切点 P(m,ln(m+a) ) ,根据导数的几何意义,且切点在切线上,列出关于 m 和 a 的方程组,求解方程组,即可得到 a 的值. 解答: 解:设切点坐标为 P(m,ln(m+a) ) , ∵曲线 y=ln(x+a) , ∴y′= ,

∵直线 y=2x﹣1 与曲线 y=ln(x+a)相切, ∴y′|x=m= =2,①

又切点 P(m,ln(m+a) )在切线 y=2x﹣1 上, ∴ln(m+a)=2m﹣1,② 由①②可得,a= ln2, ∴a 的值为 ln2. 故答案为: ln2. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程.导数的几何意义即在某点处的导数 即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.属于中档题. 14. (5 分)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x﹣1)>0,则 x 的 取值范围是(﹣1,3) . 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f(|x﹣1|)>f(2) ,即 可得到结论. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0, ∴不等式 f(x﹣1)>0 等价为 f(x﹣1)>f(2) , 即 f(|x﹣1|)>f(2) , ∴|x﹣1|<2, 解得﹣1<x<3, 故答案为: (﹣1,3) 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,将不等式等价转化为 f(|x ﹣1|)>f(2)是解决本题的关键. 15. (5 分)命题“? x∈(1,2)时,满足不等式 x +mx+4≥0”是假命题,则 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣5]. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;转化思想.
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 写出命题的否命题,据已知命题为假命题,得到否命题为真命题;分离出﹣m;通过 导函数求出不等式右边对应函数的在范围,求出 m 的范围. 2 解答: 解:∵命题“? x∈(1,2)时,满足不等式 x +mx+4≥0”是假命题, 2 ∴命题“? x∈(1,2)时,满足不等式 x +mx+4<0”是真命题, ∴ 令 ∵ ∴f(x)<f(1)=5, ∴﹣m≥5, ∴m≤﹣5. 故答案为: (﹣∞,﹣5] 点评: 将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立,进一步将不等式恒成立转化为 函数的最值. 在(1,2)上恒成立 x∈(1,2)

16. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(a)= ,则 f(﹣a)= .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性,即可得到结论. 解答: 解:f(x)= =1+ ,

则 f(x)﹣1=

是奇函数,

∴f(﹣a)﹣1=﹣[f(a)﹣1], 即 f(﹣a)=﹣f(a)+2= 故答案为: 点评: 本题主要考查函数值的计算,根据条件构造奇函数是解决本题的关键. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)已知命题“p:? a∈[1,2]|m﹣5|≤ ”;命题“q:函数 f(x)=x +mx +
3 2



(m+6)x+1 在 R 上有极值”.求使“p 且¬q”为真命题的实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 对于命题“p:? a∈[1,2],|m﹣5|≤
3 2

”,则|m﹣5|≤

,求

出即可.对于命题“q:函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 在 R 上有极值”. 则 f′(x)=0 有两个不等的实根,因此△>0,再利用要使“P 且¬Q”为真,即可得出. 解答: 解:对于命题“p:? a∈[1,2],|m﹣5|≤
3 2

”,∴|m﹣5|≤3,解得 2≤m≤8.

对于命题“q:函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 在 R 上有极值”. 2 则 f′(x)=3x +2mx+m+6=0 有两个不等的实根, 2 2 ∴△=4m ﹣12(m+6)>0,即 m ﹣3m﹣18>0,解得 m>6 或 m<﹣3. 要使“P 且¬Q”为真,只需 ,

解得 2≤m≤6. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、二次函数有零点与判别式的关系、恒 成立问题的等价转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

18. (12 分)已知函数 f(x)=4x+ +b(a,b∈R)为奇函数. (1)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (2)当 a=﹣2 时,不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,求实数 t 的最小值. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据函数为奇函数,得到 f(﹣1)=﹣f(1) ,又 f(1)=5,联立方程组求解 a, b 的值,则函数解析式可求; (2)把 a=﹣2 代入函数解析式,利用导数求其最大值,则答案可求. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=4x+ +b(a,b∈R)为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) ,又 f(1)=5, ∴ ∴f(x)=4x+ ; (2)当 a=﹣2 时,f(x)=4x﹣ , ,解得 b=0,a=1.

. ∵1≤x≤4, ∴ 在[1,4]恒大于 0,即 f(x)=4x﹣ 在[1,4]上单调递增.

当 x=4 时,



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴满足不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立的实数 t 的最小值为 .

点评: 本题考查了函数奇偶性的性质,考查了利用导数研究函数的单调性,训练了利用函 数单调性求函数的最值,是中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)的定义域为(﹣2,2) ,函数 g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x) . (1)求函数 g(x)的定义域; (2)若 f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式 g(x)≤0 的解集. 考点: 函数的定义域及其求法;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知, ,解此不等式组得出函数 g(x)的定义域.

(2)等式 g(x)≤0,即 f(x﹣1)≤﹣f(3﹣2x)=f(2x﹣3) ,有



解此不等式组, 可得结果. 解答: 解: (1)∵数 f(x)的定义域为(﹣2,2) ,函数 g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x) . ∴ ,∴ <x< ,函数 g(x)的定义域( , ) .

(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,不等式 g(x)≤0,

∴f(x﹣1)≤﹣f(3﹣2x)=f(2x﹣3) ,∴

,∴ <x≤2,

故不等式 g(x)≤0 的解集是 ( ,2]. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于基础题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=klnx﹣kx﹣3(k∈R) . (Ⅰ)当 k=﹣1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行,且函数 g(x) =x +
3

f'(x)在区间(1,2)上有极值,求 t 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)分别解出 f′(x)>0,f′(x)<0 即可得出.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (II)由函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行,可得 f′(2) =1,解出 k=﹣2, .可得 g′(x)=3x +(t+4)x﹣2,由于函数 g(x)在
2

区间(1,2)上存在极值,注意到 y=g′(x)的图象为开口向上的抛物线,且 g′(0)=﹣2 <0,因此只需 ,解出即可.

解答: 解: (Ⅰ)当 k=﹣1 时,

. ,

令 f′(x)>0 时,解得 x>1,令 f′(x)<0 时,解得 0<x<1, ∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞) ,单调递减区间是(0,1) . (Ⅱ)∵函数 y=f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线与直线 x﹣y﹣3=0 平行, ∴f′(2)=1,即 ∴k=﹣2, , , , ∴g′(x)=3x +(t+4)x﹣2, ∵函数 g(x)在区间(1,2)上存在极值, 注意到 y=g′(x)的图象为开口向上的抛物线,且 g′(0)=﹣2<0, ∴只需 ,
2

解得﹣9<t<﹣5, ∴t 的取值范围为(﹣9,﹣5) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、二次函数的 单调性,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax,g(x)=e ﹣ax,其中 a 为实数. (1)若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+∞)上有最小值,求 a 的 取值范围; (2)若 g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论. 考点: 利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,转化为 ﹣a≤0 在(1,+∞) 上恒成立,利用 g(x)在(1,+∞)上有最小值,结合导数知识,即可求得结论; (2)先确定 a 的范围,再分类讨论,确定 f(x)的单调性,从而可得 f(x)的零点个数. 解答: 解: (1)求导数可得 f′(x)= ﹣a
x

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,∴ ﹣a≤0 在(1,+∞)上恒成立, ∴a≥ ,x∈(1,+∞) . ∴a≥1. x 令 g′(x)=e ﹣a=0,得 x=lna.当 x<lna 时,g′(x)<0;当 x>lna 时,g′(x)>0. 又 g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 lna>1,即 a>e. 故 a 的取值范围为:a>e. x x (2)当 a≤0 时,g(x)必为单调函数;当 a>0 时,令 g′(x)=e ﹣a>0,解得 a<e ,即 x>lna, 因为 g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有 lna≤﹣1,即 0< 述两种情况,有 . .结合上

①当 a=0 时,由 f(1)=0 以及 f′(x)= >0,得 f(x)存在唯一的零点; ②当 a<0 时,由于 f(e )=a﹣ae =a(1﹣e )<0,f(1)=﹣a>0,且函数 f(x)在[e , a 1]上的图象不间断,所以 f(x)在(e ,1)上存在零点. 另外,当 x>0 时,f′(x)= ﹣a>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以 f(x) 只有一个零点. ③当 0<a≤ 时,令 f′(x)= ﹣a=0,解得 x= .当 0<x< 时,f′(x)>0,当 x> 时, f′(x)<0, 所以,x= 是 f(x)的最大值点,且最大值为 f( )=﹣lna﹣1. (i)当﹣lna﹣1=0,即 a= 时,f(x)有一个零点 x=e; (ii)当﹣lna﹣1>0,即 0<a< 时,f(x)有两个零点; 实际上,对于 0<a< ,由于 f( )=﹣1﹣ <0,f( )>0,且函数 f(x)在[ 的图象不间断,所以 f(x)在( )上存在零点. ]上
a a a a

另外,当 0<x< 时,f′(x)= ﹣a>0,故 f(x)在(0, )上时单调增函数,所以 f(x) 在(0, )上只有一个零点.

下面考虑 f(x)在( ,+∞)上的情况,先证明 f(
x 2 x

)=a(
2

)<0.
x

为此,我们要证明:当 x>e 时,e >x .设 h(x)=e ﹣x ,则 h′(x)=e ﹣2x,再设 l(x) x x =h′(x)=e ﹣2x,则 l′(x)=e ﹣2. x 当 x>1 时,l′(x)=e ﹣2>e﹣2>0,所以 l(x)=h′(x)在(1,+∞)上时单调增函数;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故当 x>2 时,h′(x)=e ﹣2x>h′(2)=e ﹣4>0,从而 h(x)在(2,+∞)上是单调增 x 2 e 2 x 2 函数,进而当 x>e 时,h(x)=e ﹣x >h(e)=e ﹣e >0,即当 x>e 时,e >x 当 0<a< ,即 >e 时,f( )= =a( )<0,又 f( )>0,且函数 f
x 2

(x)在[ ,

]上的图象不间断,所以 f(x)在( ,

)上存在零点.

又当 x> 时,f′(x)= ﹣a<0,故 f(x)在( ,+∞)上是单调减函数,所以 f(x)在 ( ,+∞)上只有一个零点. 综合(i) (ii) (iii) ,当 a≤0 或 a= 时,f(x)的零点个数为 1,当 0<a< 时,f(x)的 零点个数为 2. 点评: 此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系,考查分类讨论的数学思想,考查 学生分析解决问题的能力,难度较大. 四、选做题(本小题满分 10 分)从以下两个大题中任选一题作答.选修 4-4:坐标系与参数 方程 22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C2 的参数方程为 (φ 为参数) ,曲线

(a>b>0,φ 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极

坐标系中,射线 l:θ =α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α = 时,这两个交点重合.

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 α = 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α =﹣ 时,l 与 C1,C2 的交点为

A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 考点: 参数方程化成普通方程;圆与圆锥曲线的综合. 专题: 压轴题. 分析: (I)有曲线 C1 的参数方程为 (φ 为参数) ,曲线 C2 的参数方程为

(a>b>0,φ 为参数) ,消去参数的 C1 是圆,C2 是椭圆,并利用.当 α =0 时, 这两个交点间的距离为 2,当 α = 时,这两个交点重合,求出 a 及 b. 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α =﹣ 时,

(II)利用 C1,C2 的普通方程,当 α =

l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2,利用面积公式求出面积. 解答: 解: (Ⅰ)C1 是圆,C2 是椭圆.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 α =0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0) , (a,0) , 因为这两点间的距离为 2,所以 a=3 当 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1) (0,b) ,

因为这两点重合 所以 b=1. (Ⅱ)C1,C2 的普通方程为 x +y =1 和 当 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 .
2 2

. ,

与 C2 交点 B1 的横坐标为 当

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,

B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为 .

点评: 此题重点考查了消参数,化出曲线的一般方程,及方程的求解思想,还考查了利用 条件的其交点的坐标,利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积. 五、选修 4-5:不等式选讲 23.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=丨 x﹣a 丨+|x﹣1 丨,a∈R. (Ⅰ)当 a=3 时,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)当 x∈(﹣2,1) )时,f(x)>|2x﹣a﹣1|.求 a 的取值范围. 考点: 带绝对值的函数;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题.

分析: (I )当 a=3 时,f(x)=丨 x﹣3 丨+|x﹣1 丨=

,由 f(x)≤4 即

可求得不等式 f(x)≤4 的解集; (II)由双绝对值的几何意义可得 f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|,分(x ﹣1) (x﹣a)≥0 与(x﹣1) (x﹣a)<0 讨论,即可求得当 x∈(﹣2,1)时,f(x)>|2x ﹣a﹣1|的 a 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)∵a=3 时,f(x)=丨 x﹣3 丨+|x﹣1 丨=



∴当 x<1 时,由 f(x)≤4 得 4﹣2x≤4,解得 x≥0; ∴0≤x<1; 当 1≤x≤3 时,f(x)≤4 恒成立; 当 x>3 时,由 f(x)≤4 得 2x﹣4≤4,解得 x≤4.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴3<x≤4?(4 分) 所以不等式 f(x)≤4 的解集为{x|0≤x≤4}.?(5 分) (Ⅱ)因为 f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|, 当(x﹣1) (x﹣a)≥0 时,f(x)=|2x﹣a﹣1|; 当(x﹣1) (x﹣a)<0 时,f(x)>|2x﹣a﹣1|.?(7 分) 记不等式(x﹣1) (x﹣a)<0 的解集为 A, 则(﹣2,1)? A, 故 a≤﹣2, 所以 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2].?(10 分) 点评: 本题考查带绝对值的函数,考查绝对值不等式的解法,通过对 x 的范围的“分类讨 论”,去掉绝对值符号是关键,考查等价转化思想与方程思想的综合运用,属于中档题.

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