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河南省示范性高中汤阴一中2007-2008下学期高二数学(文)期中考试

时间:2014-03-25


河南省示范性高中汤阴一中 2007-2008 下学期高二数学(文)期中考试
命题人:杨焕庆 (祝同学们考试顺利)

第一卷(选择题共60分)
一.选择题 (12 ? 5 ? 60/ )
/

1. “ a , b 为异面直线”是指:

① a ? b ? ? ,且 a 与 b 不平行;② a ?平面 ? , b ? 平面 ? ,且 a ? b ? ? ; ③ a ? 平面 ? , b ? 平面 ? ,且 ? ? ? ? ? ; ⑤不存在平面 ? ,能使 a ? ? 且 b ? ? 成立。 上述结论中,正确的是 : A.①④⑤正确 B.①⑤正确 C.②④正确 D.①③④正确 2. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 2:3:5, 现用分层抽样的方法抽出样本容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 16 件,那 么样本容量 n 有: A.20 件 B.60 件 C.80 件 D.100 件
? 1 ? 1 3. 如果 ? 3x ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是: 3 2 x x ? ? A.7 B. ?7 C.21 D. ?21 4. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有: 5 2 3 3 3 2 3 1 1 3 A A3 B 4 A3 C A5 D A2 ? A3 A3 A3 ? A2 A3 A3 5. 设有甲、乙两把不相同的锁,甲锁配有 2 把钥匙,乙锁配有 2 把钥匙,这 4 把钥匙 与不能开这两把锁的 2 把钥匙混在一起,从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是: 4 2 1 2 A. B. C. D. 15 15 3 3 6. 将甲,乙两颗骰子先后各抛一次, a , b 表示抛掷甲,乙两颗骰子所掷出的点数,若点
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④ a ? 平面 ? , b ? 平面 ? ;

n

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M (a, b) 落在不等式 x 2 ? y 2 ? m(m是正的常数 ) 所表示的区域内 . 记为事件 C , 要使事 件 C 的概率 P(C ) ? 1, 则 m 的最小值是: A. 72 B. 6 C. 12 D. 36 7. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况, 抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18岁 的体重(kg),得到频率分布直方图如下:根据 上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕 的学生人数是: A.20 B.30 C.40 D.50 8. 将编号为 1,2,3,4,5 的五个球放入编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,每个盒内放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号 相同,则不同的投放方法的种数为: A. 6 种 B. 10 种 C. 20 种 D. 30 种 9. 如下图,一个正四棱柱的底面棱长为 2,高为 2 ,其下底面位 于半球的大圆上,上底面四个顶点都在半球面上,则其上底面相 邻两顶点间的球面距离为:

S

2? 3? ? 2? B. C. D. E 3 2 2 2 10. 如图,在正四面体 S—ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为?ABC 的中心,则异面直线 EF 与 AB 所成的角是: A F C A.30? B.45? C.60? D.90? B 11. 如图所示,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 1,E 是 A1B1 的中点,则点 E 到平面 ABC1D1 的距离是:

A.

1 3 2 3 B. C. D. 2 2 2 3 12. 下面关于三棱锥有四个命题: ①三棱锥的四个面可以都是直角三角形. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④正四面体都是正三棱锥. 其中正确的是: A.①② B.③④ C.②③ D.①④

A.

第二卷(非选择题共90分)
二.填空题 (4 ? 5 ? 20 ) 13. 两位同学去某大学参加自主招生考试,根据右图学校负 责人与他们两人的对话,可推断出参加考试的人数为 _________________________. 14. 我校准备组建一个 10 人的文艺表演队,演员从高二年级 文科某 6 个班中产生,每班至少一人。则名额分配方案共有 ______________________种(数字作答) 。 15. 在正三棱锥 S ? ABC 中, M 、 N 分别是棱 SC 、 BC 的中点,且 MN ? AM ,若侧 棱 SA ? 2 3 ,则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是___________________. 16. 以等腰直角三角形 BC 上的高 AD 为折痕,将△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平 面, 则:①BD⊥CD;②∠BCD=60°;③∠ BAC=60°;④ AC⊥ BD。 以上结论正确的是 (填所有正确结论的序号)
/ /

高二数学(文)答题卷
二.填空题 (4 ? 5/ ? 20/ )

13. _____________________. 15. ____________________.
/ / / / /

1 4 . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 1 6 . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

三.解答题 (10 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12/ ? 70/ )
17. 在二项式 ( x ?
3

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.

(1) 求展开式的第四项; (3) 求展开式中各项的系数和。

(2) 求展开式的常数项;

18. 袋子里有大小相同但标有不同号码的 3 个红球和 4 个黑球,从袋子里随机取球,设 取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分。 (Ⅰ)若从袋子里随机取出 4 个球,求得 5 分的概率; (Ⅱ)若从袋子里每次摸出一个球后,看清颜色后放回,求连续 4 次摸球共得 5 分的 概率.

2 3 和 .假设两人射击是否击中目 3 4 标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率;
19. 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

(Ⅲ)假设某人连续 2 次未击中 目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的 ... 概率是多少?

20. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该 校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. 参加人数 (I)求合唱团学生参加活动的人均次数; (II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加 50 活动次数恰好相等的概率.
40 30 20 10 1 2 3 活动次数

21. 形如图 , PA ? 矩 ABCD 所在平面 , M , N 分别是 AB 和 PC 的中点. (1)求证: MN // 平面 PAD; (2)求证: MN ? CD;

(3)若 ?PDA ? 45? , 求证: MN ? 平面 PCD.

D 是 BC 的 22. 如图,正三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中,



点, AA1 ? AB . (I)求证: AD ? B1D ; (II)求证: AC 1 // 平面 AB 1D ; (III)求二面角 B ? AB1 ? D 的大小.

高二数学(文)参考答案
题 号 答 案 1 B 2 C 3 C 4 C 5 A 6 D 7 C 8 B 9 B 10 C 11 B 12 D

13. 20

14. 84
1 2

15. 36?
n ?2r 3

16. ①③④
,r=0,1,2,…,n

17. 解:展开式的通项为 Tr ?1 ? (? ) r C r nx

1 1 1 1 2 2 1 1 2 由已知: (? ) 0 C 0 ∴ 2 ? C1 Cn n , ( )C n , ( ) C n 成等差数列 n ?1? 2 2 2 2 4 ∴ n=8 ……4 分
2

(1) T4 ? ?7x 3 35 (2) T5 ? 8 (3)令 x=1,各项系数和为

……6 分 ……8 分

1 ……10 分 256 18. 解: (1)要得到 5 分,则取到 3 个黑球、一个红球,
从袋子里随机取出 4 个球,得 5 分记为事件 A,则 P( A) ? 答:从袋子里随机取出 4 个球,得 5 分的概率
1 3 C3 ? C4 12 ? 4 35 C7

12 35

……6 分

(2)从袋子里每次摸出一个球后,放回 4 次摸球共得 5 分记为事件 B,根据独立重复事件可 得:

4 3 768 1 P( B) ? C 4 ? ( )3 ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12分 7 7 2401 768 答:从袋子里每次摸出一个球后,放回,4 次摸球共得 5 分的概率为 . 2401 19. 解: (Ⅰ)设“甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A,则其对立事件 A 为“4 次

? 2 ? 65 均击中目标” ,则 P ? A? ? 1 ? P A ? 1 ? ? ? ? . . . . .4分 ? 3 ? 81
(Ⅱ)设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则

? ?

4

1 1 ? 2? ?1? 3 ? 3? P ? B ? ? C ? ? ? ? ? ? ? C4 ?? ? ? ? ? 3? ? 3? ?4? 4 8. . . . . . . . . . . . . . .8分
2 4

2

2

3

(Ⅲ)设“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被中止射击,故必 然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标。 故
2 ?? 3 ? 2 3 1? 3 ? 1 ? 45 1 P ? C ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ?? ?? ? ? . . . . . . . . . . .12分 4 4 4 4 4 1024 ? ? ? ? ? ? ? ? 20. 解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40.

(I)该合唱团学生参加活动的人均次数为

1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 230 ? ? 2.3 100 100

. . . . . . . .6分

(II)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为

P0 ?

2 2 2 C10 ? C50 ? C40 41 ? 2 C100 99

. . . . . . . . . . . .12分

21. 证明 (1)取 PD 的中点 E , 连 EN . 由 EN

1 CD , AM 2

1 CD 2

AM , ? AMNE 是平行四边形, ? MN // AE . 又 AE ? 平面 PAD, MN ? 平面 PAD, ? MN // 平面 PAD. . . . . . .4分 (2)? PA ? 平面 AC , ? PA ? AB, 又 AB ? AD, ? AB ? 平面 PAD, 又? AB // CD, ? CD ? 平面 PAD, 则 CD ? AE , 再由 MN // AE 得 MN ? CD. . . . . . .8分 (3)在等腰 Rt△PAD 中, ? E 是 PD 的中点, ? AE ? PD , 由 MN // AE , . . . .12分 ? MN ? PD, 又由 MN ? CD, PD ? CD ? D, 得 MN ? 平面 PCD. .
得 EN (注:每问4分,建立坐标系用向量解答也可以) 22. 法一(Ⅰ)证明:∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, ∴BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影 在正△ABC 中,∵D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BD, 根据三垂线定理得,AD⊥B1D (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ………………………… 7 分 ∵DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. ……………………8 分 (Ⅲ)解:在面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F,在面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连接 DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1, ∴FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1 ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 …………………………10 分 设 A1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF= 在△ABE 中,FG=

3 . 4

3 ·BE= 3 2 , 4 8

在 Rt△DFG 中, tan FGD ? DF ? 6 , FG 3 所以,二面角 B—AB1—D 的大小为 arctan 6 . …………………………12 分
3

解法二: 建立空间直角坐标系 D—xyz,如图, 则 D(0,0,0), A(0, 3 ,0), B1 (? 1 ,0,1). 2 2 3 1 证明:? AD ? (0, ,0), B1 D ? (? ,0,?1) , 2 2 ∴ AD ? B1 D ? 0 ∴ AD ? B1 D 即 AD⊥B1D ……………………4 分 (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵ A1 (0,

3 1 3 1 1 ,1), E (? , , ), C ( ,0,0). 2 4 4 2 2

1 3 1 3 1 ? A1C ? ( ,? ,?1), DE ? (? , , ), 2 2 4 4 2 ? A1C ? ?2DE,? A1C // DE. …………………………6 分 ? DE ? 平面AB1 D, A1C ? 平面AB1 D , ? A1C // 平面AB1 D. ……………………………………8 分
(Ⅲ)设 n1 ? ( p, q, r ) 是平面 AB1D 的法向量,则 n1 ? AD ? 0, 且n1 ? B1 D ? 0 ,

3 1 q ? 0, p ? r ? 0.取r ? 1, 得n1 ? (2,0,1) ; 2 2 同理,可求得平面 AB1B 的法向量是 n2 ? ( 3,?1,0). ……………………10 分
故? 设二面角 B—AB1—D 的大小θ,? cos? ? ∴二面角 B—AB1—D 的大小为 arccos

n1 ? n2 15 , ? | n1 || n2 | 5

15 . …………………………12 分 5


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