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2014年高考数学三轮专题复习素材:倒数第7天

时间:2014-08-17


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倒数第 7 天

数列、不等式

[保温特训] 1.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为________. 解析 11?a1+a11? S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=10,∴a6=2,∴S11= = 2

11a6=22. 答案 22

2.在等比数列{an}中,a3=6,前 3 项和 S3=18,则公比 q 的值为________. 解析 6 6 依题意知:S3=a1+a2+a3=q2+q+6=18,即 2q2+q-1=0,解得 q

1 =1,或 q=-2. 答案 1 1 或-2

3.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3,则 a1-a2-a3-a4-a5=________. 解析 a3-a1 该等差数列的公差 d= =-2, 所以 a1-a2-a3-a4-a5=a1-2(a3 3-1

+a4)=1-2(-3-5)=17. 答案 17
2

S5 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则S =________. 解析 通过 8a2+a5=0,设公比为 q,将该式转化为 8a2+a2q3=0,解得 q=

5 S5 1-q 33 -2,所以S = =-11. 2= -3 2 1-q

答案

-11

5.已知函数 f(x)对应关系如下表所示,数列{an}满足:a1=3,an+1=f(an),则 a2
012=________.

x f(x) 解析

1 3

2 2

3 1

写出几项:a1=3,a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,

a4=f(a3)=f(3)=1,?,找规律得该数列奇数项都是 3,偶数项都是 1,所以 a2 012=1.

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答案

1

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-7n,且满足 16<ak+ak+1<22,则正整数 k =________. 解析 ?S1=-6,n=1, 由 an=? 所以 an=2n-8, ?Sn-Sn-1=2n-8,n≥2,

15 所以 ak+ak+1=2k-8+2(k+1)-8=4k-14,即 16<4k-14<22,解得 2 <k <9,又 k∈N*,所以 k=8. 答案 8

7.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的 S2 012 前 n 项和为 Sn,则2 012的值为________. 解析 解不等式 x2-x<2nx(n∈N*)得,0<x<2n+1,其中整数的个数 an=

S2 012 2 012?2 012+1? 2n,其前 n 项和为 Sn=n(n+1),故2 012= =2 013. 2 012 答案 2 013

8.已知等差数列{an}满足:a1=-8,a2=-6,若将 a1,a4,a5 都加上同一个数, 所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为________. 解析 由题意可知, 数列{an}的公差 d=a2-a1=2, 所以通项 an=a1+(n-1)d

=2n-10,所以 a4=-2,a5=0,设所加的数是 x,则 x-8,x-2,x 成等比 数列,即(x-2)2=x(x-8),解得 x=-1. 答案 -1

a2 a3 an 9.如果数列 a1,a ,a ,?, ,?是首项为 1,公比为- 2的等比数列,则 an-1 1 2 a5 等于________. 解析 由题意可得 an a2 a3 a4 =(- 2)n-1(n≥2),所以a =- 2,a =(- 2)2,a = an-1 1 2 3

a5 a5 (- 2)3,a =(- 2)4,将上面的 4 个式子两边分别相乘得a =(- 2)1+2+3+4 4 1 =32,又 a1=1,所以 a5=32. 答案 32

10.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a4,a16 成等比数列,Sn 为数列{an}
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的前 n 项和,则 解析

S14-S4 的值为________. S7-S6

∵等差数列{an}满足 a1, a4, a16 成等比数列, ∴(a1+3d)2=a1(a1+15d),

S11-S4 a5+a6+?+a11 7a8 56d d≠0,解得 a1=d,则 an=nd,∴ = = a = 7d =8. a7 S7-S6 7 答案 8

?2x-y≤1, 11.若 x,y 满足约束条件?x+y≥2, ?y-x≤2,
________. 解析

目标函数 z=

kx+2y 仅在点(1,1)处取得最小值, 则 k 的取值范围是

作出不等式组对应的平面区域如图, 目标函数

k 1 为 y=-2x+2z,仅在(1,1)差取得最小值时,有-1 k <-2<2,解得-4<k<2. 答案 (-4,2)

12.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围 为________. 解析 由指数函数图象可得 f(a)>-1, 所以 g(b)>-1, 即-b2+4b-3>-1,

解得 2- 2<b<2+ 2. 答案 (2- 2,2+ 2)

13.设函数 f(x)=-x3+3x+2,若不等式 f(3+2sin θ)<m 对任意 θ∈R 恒成立, 则实数 m 的取值范围为________. 解析 因为 f′(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)≤0 对 x∈[1,+∞)恒成立,

所以原函数在 x∈[1, +∞)递减, 而 1≤3+2sin θ≤5, 所以 m>[f(3+2sin θ]max =f(1)=4. 答案 (4,+∞)

1 9 14 .已知二次函数 f(x) = ax2 - 4x + c 的值域是 [0 ,+∞) ,则 a + c 的最小值是 ________.

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解析

1 9 由条件得 4ac=16,且 a>0,c>0,所以a+c ≥2

19 a· c =3,当且仅

1 9 2 当a= c时,即 a=3,c=6 时等号成立. 答案 3 [知识排查] 1.等差数列中的重要性质,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq;等比数列中的 重要性质:若 m+n=p+q,则 aman=ap· aq. 2.已知数列的前 n 项和 Sn 求 an 时,易忽视 n=1 的情况,直接用 Sn-Sn-1 表示 ?S1,n=1, an;应注意 an,Sn 的关系中是分段的,即 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. 3.易忽视等比数列的性质,导致增解、漏解现象,如忽视等比数列的奇数项或 偶数项符号相同而造成增解;在等比数列求和问题中忽视公比为 1 的情况导 -q ? a1-anq ?a1?11- = ,q≠1, q 1-q 致漏解,在等比数列中,Sn=? ?na1,q=1. 4.数列求通项有几种常用方法?数列求和有几种常用的方法? 5.用基本不等式求最值(或值域)时,易忽略验证“一正二定三相等”这一条件. 6. 两个不等式相乘时, 必须注意同向同正时才能相乘, 同时要注意“同号可倒”, 1 1 1 1 即 a>b>0?a<b;a<b<0?a>b. 7.在解含参数的不等式时,怎样进行讨论? (特别是指数和对数的底数)讨论完 之后,要写出:综上所述,原不等式的解是??. 1 1 1 1 1 1 1 8.常用放缩技巧:n- = <n2< = -n. n+1 n?n+1? n?n-1? n-1 9. 求解线性规划问题时, 不能准确把握目标函数的几何意义导致错解, 如 y-2 是 x+2
n

指已知区域内的点与点(-2,2)连线的斜率,而(x-1)2+(y-1)2 是指已知区域 内的点到点(1,1)的距离的平方等. 10.解决不等式恒成立问题的常规求法是:借助相应函数的单调性求解,其中的 主要技巧有数形结合法、变量分离法、主元法,通过最值产生结论.应注意 恒成立与存在性问题的区别,如对?x∈[a,b],都有 f(x)≤g(x)成立,即 f(x)
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-g(x)≤0 的恒成立问题,但对?x∈[a,b],使 f(x)≤g(x)成立,则为存在性 问题,即 f(x)min≤g(x)max,应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系.

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