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上海市晋元中学2015-2016学年高二第一学期期中考试数学试卷_图文

时间:2016-10-19

高二数学学科试卷
一、 填空题(每题 4 分) 1.已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 9 , a2 ? a4 ? a6 ? 15 ,则 a3 ? a4 ? ______ 2.已知数列 ?an ? 的前 n 和 Sn ? 5 ? 4 ? 2?n ,则其通项公式为_____. 3.已知 an ?

n?7 n ? N ? ? ,设 am 为数列 ?an ? 的最大项,则 m =_____ ? n?5 2

、 BC 、 C、 D D上 A 分 别 取 点 E、F、G、H , 如 果 4. 在 空 间 四 边 形 ABCD 的 边 A B EH 、FG ,相交于一点 M ,那么 M 一对在直线____上。
5.在等差数列 ?an ? 中,若 an ? an ? 2 ? 4n ? 6 n ? N ? ,则该数列的通项公式 an =_____

?

?

? r ? 6.若 lim ? ? 存在,则实数 r 的取值范围是_______ ? 2r ? 1 ?
E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 和 BC 所成角的余 7.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
弦值为______. 8.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? log3 立的最小自然数 n 等于_____.
2 9.等比数列 ?an ? 的公比 0 ? q ? 1 ,a17 则使 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? a24 ,

n

n n ? N * ? ,设其前 n 和为 Sn ,则使 Sn ? ?4 成 ? n ?1

1 1 1 ? ??? a1 a2 an

成立的正整数 n 的最大值为______

?1, n ? 1 ? 1 10.数列 ?an ? 的通项公式 an ? ? ,其前 n 和为 Sn , lim Sn =_____ , n ? 2 ? n ? n ? 1? ?
11.在等差数列 ?an ? 中, 的 n =___ 12. 设数列 ?an ? 的首项 a1 ?

a11 ? ?1 ,若它的前 n 项和为 Sn 有最大值,则使 Sn 取得最小正数 a10
3 * ,前 n 项和为 Sn ,且满足 2an ?1 ? S n ? 3 ? n ? N ? , 则满足 2

18 S2 n 8 ? ? 的所有 n 的和为______. 17 Sn 7
13.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数;1,1,2,3,5,8,13, ? ,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成 的数列 ?an ? 为“斐波那契数列”。那么
2 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a100 是斐波那契数列中的第 a100

___项。 14.已知奇函数 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数,数列 ?xn ? 是一个公差为 2 的等差数列,满足

f ? x8 ? ? f ? x9 ? ? f ? x10 ? ? f ? x11 ? ? 0 ,则 x2015 的值为________.
二、填空题(每题 5 分)

P 在线段 AD1 上运动,则异面直线 CP 与 BA1 所成的 15.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点
角 ? 的取值范围是( )

A

0 ?? ?

?
2
D

B

0 ?? ? 0 ?? ?

?
2

C 0 ?? ?

?
3

?
3

* 16.已知数列 ?an ? 的各项均为正数,满足:对于所有 n ? N ,有 4 S n ? ? an ? 1? ,其中 Sn 表
2

示数列 ?an ? 的前 n 项和,则 lim

n =( an
D 2



A

0

B

1

C

1 2

17.某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一都有 A、B 两种菜可供选择,调查资料 表明,凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%的人改选 B 种菜,而选 B 种菜的,下 星期一会有 30%的人改选 A 种菜, 用 an , bn 分别表示在第 n 个星期一选 A 种菜的人数和选 B 种菜的人数,如果 a1 ? 300 ,则 a10 为( ) 450

A

300

B

350

C

400

D

18.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,
*

t 1 1 2 , 记数列 ?an 前 n 项的和为 Sn , 若 S 2 n ?1 ? S n ? ?4 ? ? 2 30 an an?1

对任意的 n ? N 恒成立,则正整数 t 的最小值为( )

A

10

B 9

C

8 D

三、

解答题

19.(本题 12 分)四面体 S ? BCD 的棱长为 a, E、 F 分别为棱 BC、AD 的中点,求异面直 线 AE 与 CF 所成角的余弦值

A F B E C
20.( 本题 14 分,第一小题为 6 分,第二小题为 8 分) 2014 年联想集团以 28 亿收购摩托罗 拉移动公司, 并计划投资 30 亿元来发展改品牌, 2014 年摩托罗拉手机的销售量为 100 万部, 据专家预测,从 2015 年起,摩托罗拉手机的销售量每年比上上一年增加 100 万部,每年的 销售利润比上一年减少 10%,已知 2014 年销售利润平均每部为 300 元。 (1)若 2014 年看作第一年,第 n 年的销售利润为多少? (2)到 2012 年年底,中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利?(即销售利润超过总 投资)

D

21(本题 14 分)第一小题 6 分,第二小题为 8 分 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2, an?1 ? Sn ? n (1)写出 a2 , a3 , a4 的值,并求 ?an ? 的通项公式; (2)正项等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 9 ,并满足 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? 比数列。 (i)求数列 ?bn ? 的通项公式 (ii)设 Bn ?

1 b3 ,成等 2

3 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ,试确定 Bn 与 的大小关系,并给出证明。 2 4 b1 b2 bn

22.(本题 16 分)第 1 小题 3 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 8 分

?n, n为奇数 ? 设函数 f ? n ? ? ?? n ? , an ? f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? ? ? f ? 2n ? , , n 为偶数 ?? 2 ? ?? ?
(1) 求a1 , a2 , a3 的值 (2)设 bn ? an ?1 ? an , 写出 bn 与 bn ?1 的递推关系,并求 ?bn ? 的通项公式。 (3) 设数列 ?cn ? 的通项公式为 cn ? log2 ?3an ? 2? ?10, n ? N ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Sn ,
*

问 1000 是否为数列 ?cn ? Sn ? 中的项?若是,求出相应的项数,若不是,请说明理由。

23.(本题 18 分)第 1 题 7 分,第 2 小题 5 分,第 3 题 6 分
2 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 1, a2 ? m ,且对任意 n ? N ,都有 an ?1 ? an an ? 2 ? c ,
*

数列 ?an ? 前 n 项的和 Sn 。 (1) 若数列 ?an ? 是等比数列,求 c 的值和 lim

an ; Sn

(2) 若数列 ?an ? 是等差数列,求 m 和 c 的关系式; (3)

c ? 1 ,当 n ? 2, n ? N * 时,求证:

an ?1 ? an ?1 是一个常数。 an


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