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课时训练(第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算 )

时间:2012-09-04


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北师大·数学·课时训练

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第十节 变化率与导数、导数的计算
一、选择题 1.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析:y′=2x+a,y′|x=0=2×0+a=1.∴a=1,又∵(0,b)在直线 x-y+1=0 上,∴b =1. 答案:A 1 2.若 f(x)满足 f(x)= x3-f′(1)x2-x,则 f′(1)的值为( 3 )

A.0 B.2 C.1 D.-1 解析:f′(x)=x2-2xf′(1)-1,∴f′(1)=1-2f′(1)-1,∴f′(1)=0. 答案:A 3.甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是 s1=t3-2t2+t 和 s2=3t2-t-1,则在 t=2 秒时两个物体运动的瞬时速度的大小关系是( ) A.甲大 B.乙大 C.相等 D.无法比较 解析:v1=s1′=3t2-4t+1,v2=s2′=6t-1, 所以在 t=2 秒时两个物体运动的瞬时速度大小分别是 5 和 11,故乙的瞬时速度大. 答案:B 4.设函数 y=xsinx+cosx 的图象上的点(x,y)处的切线斜率为 k,若 k=g(x),则函数 k =g(x)的图象大致为( )

解析:y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 则 g(x)=xcosx,而 g(-x)=-xcos(-x)=-g(x), ∴g(x)为奇函数,图象关于(0,0)对称. 而 x>0,接近于 0 时,g(x)>0,∴B 项正确. 答案:B 5.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( ) 1 1 A.4 B.- C.2 D. 4 2 解析:由已知 g′(1)=2,而 f′(x)=g′(x)+2x,∴f′(1)=g′(1)+2=4.即 f(x)在(1,

高考密码 f(1))处的切线的斜率为 4. 答案:A 二、填空题

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π 6.(密码改编)已知函数 f(x)=kcosx 的图象经过点 P( ,1),则函数图象上过点 P 的切线 3 斜率等于________. π π 解析:由已知 f( )=kcos =1,∴k=2,∴f(x)=2cosx,∴f′(x)=-2sinx,∴过点 P 处 3 3 π π 的切线斜率 f′( )=-2sin =- 3. 3 3 答案:- 3 7.(密码原创)函数 y= x-1 的导数为________. x2

?x-1?′x2-?x-1?· 2?′ x2-2x?x-1? x2-2x2+2x -x2+2x 2-x ?x 解析:y′= = = = = 3 . 4 x x4 x4 x4 x 2-x 答案:y′= 3 x 8.设 f(x)是偶函数.若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1,则该曲线在点(- 1,f(-1))处的切线斜率为________. 解析:由 f(x)是偶函数,∴f(x)的图象关于 y 轴对称.从而由已知得在(-1,f(-1))处的 切线斜率为-1. 答案:-1 三、解答题 9.设抛物线 C1:y=x2-2x+2 与抛物线 C2:y=-x2+ax+b 在它们的一个交点处的切 线互相垂直.求 a,b 之间的关系. 解:设两抛物线的交点为 M(x0,y0). 由题意知 x2-2x0+2=-x2+ax0+b, 0 0 2 整理得 2x0-(2+a)x0+2-b=0,① 由导数可知抛物线 C1、C2 在交点 M 处的切线斜率为 k1=2x0-2,k2=-2x0+a. ∵两切线垂直, ∴k1k2=-1. 即(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 整理得 2[2x2-(2+a)x0]+2a-1=0,② 0 5 联立①②消去 x0,得 a+b= . 2 ax-6 10.已知函数 f(x)= 2 的图象在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0,求 x +b 函数 y=f(x)的解析式. 解:由函数 f(x)的图象在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0 知-1+2f(-1) 1 +5=0,即 f(-1)=-2,f′(-1)=- . 2 a?x2+b?-2x?ax-6? ∵f′(x)= , ?x2+b?2

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?-a-6=-2 ? 1+b ∴? a?1+b?+2?-a-6? 1 =- ? 2 ? ?1+b?
2



?a=2b-4 ? 即?a?1+b?-2?a+6? 1 . =- 2 ? 2 ?1+b? ?
解得 a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1 舍去). 所以所求的函数解析式是 f(x)= 2x-6 . x2+3


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