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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期第三次月考试题(普通班)文

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育才学校 2018-2019 学年度上学期第三次月考 高二普通班文科数学
时间:120 分钟 总分:150 分 命题人: 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如果两直线 a∥b,且 a∥α ,则 b 与 α 的位置关系是( A. 相交 B.b∥α C.b? α ) ) D.b∥α 或 b? α

2.下面四个条件中,能确定一个平面的条件是( A. 空间中任意三点 C. 一条直线和一个点

B. 空间中两条直线 D. 两条平行直线

3.已知 m,n 为两条不同直线,α ,β 为两个不同平面,给出下列命题: ① ? n∥α ② ) B. ③④ C. ①② ? m∥n ③ ? α ∥β ④ ? m∥n

其中正确命题的序号是( A. ②③ D. ①②③④ 4.下列命题中的真命题是(

)

A. 若点 A∈α ,点 B α ,则直线 AB 与平面 α 相交 B. 若 a? α ,b?α ,则 a 与 b 必异面 C. 若点 A α ,点 B α ,则直线 AB∥平面 α D. 若 a∥α ,b? α ,则 a∥b 5 如图,在三棱锥 D—ABC 中,AC=BD,且 AC⊥BD,E,F 分别是棱 DC,

AB 的中点,则 EF 和 AC 所成的角等于(
A. 30° B. 45°

) C. 60° D. 90°

6.下列语句中命题的个数为( ①|x+2|; A. 1

) ③π R; C. 3 (p∨q)”是真命题,则( ) B.p,q 都是真命题 D.p 是真命题且 q 是假命题 ④{0}∈N. D. 4

②-5∈Z; B. 2

7.已知 p,q 是两个命题,若“ A.p,q 都是假命题 C.p 是假命题且 q 是真命题

-1-

8.在△ABC 中,∠BAC=90°,PA⊥平面 ABC,AB=AC,D 是 BC 的中点, 则图中直角三角形的个数是( A. 5 B. 8 ) C. 10 D. 6

第8题
2

第9题

9.如图在△ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB =BD·BC;类似地有命题:在三棱锥 A-BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 点在 BCD 内的射影为 M,则有 A. 真命题 =S△BCM·S△BCD.上述命题是( )

B. 增加条件“AB⊥AC”才是真命题

C. 增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题 D. 增加条件“三棱锥 A-BCD 是正三棱锥”才是真命题 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离是( A. D. 4 11.如图长方体中,AB=AD=2 ,CC1= ,则二面角 C1-BD-C 的大小为( ) B. 2 C. 3 )

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

12.已知“命题 p:? x0∈R 使得 a A. [0,1) ∞,1]

+2x0+1<0 成立”为真命题,则实数 a 满足( C. [1,+∞)

) D. (-

B. (-∞,1)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=x +b|x-a|为偶函数的充要条件是____________. 14.命题“某些平行四边形是矩形”的否定是__________________________________.
2

-2-

15.如图所示,平面 α ⊥平面 β ,在 α 与 β 的交线 l 上取线段 AB=4 cm,AC,BD 分别在平 面 α 和平面 β 内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,则线段 CD 的长度为________cm.

(第 15 题)

(第 16 题)

16.如图所示,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂直于圆 O 所在的平 面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题:①PA∥平面 MOB;②MO∥平面 PAC;③OC⊥平面

PAC;④平面 PAC⊥平面 PBC.其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)
三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知 p:x -8x-20≤0;q:1-m ≤x≤1+m . (1)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (2)若
2 2 2

p是

q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围.

18.(12 分)如图,直角三角形 ABC 所在平面外有一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的 中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC.

第 18 题 第 19 题

19.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,

PA⊥平面 ABCD,M 是 PD 的中点.
(1)求证:OM∥平面 PAB; (2)求证:平面 PBD⊥平面 PAC.

20.(12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,∠DAB=60°, 侧面 PAD 为等边三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证:AD⊥PB;(2)若 E 为 BC 边上的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面

ABCD?并证明你的结论.

-3-

21.(12 分)已知 m∈R,p:存在 x0∈R,

+2(m-3)x0+1<0,q:任意的 x∈R,4x +4(m-

2

2)x+1>0 恒成立.若 p∨q 为真,p∧q 为假,求 m 的取值范围.

22.(12 分)如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点.

(1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 V-ABC 的体积.

答案解析 1.D【解析】由 a∥b,且 a∥α ,知 b∥α 或 b? α . 2.D 3.A【解析】①中 n,α 可能平行或 n 在平面 α 内;②③正确;④两直线 m,n 平行或异面, 故选 A.
-4-

4.A 5. B 6.C【解析】 ②③④是命题. 7.A【解析】 由复合命题真值表得:若“ (p∨q)”是真命题,则 p∨q 为假命题,则命题 p,

q 都是假命题.
8.B【解析】①∵PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥AC,∴△PAB,△PAD,△PAC 都是直角三角形; ②∵∠BAC=90°,∴△ABC 是直角三角形; ③∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC.∴△ABD,△ACD 是直角三角形. ④由 AD⊥BC,PA⊥BC,得 BC⊥平面 PAD,∴BC⊥PD, ∴△PBD,△PCD 也是直角三角形.综上可知,直角三角形的个数是 8.故选 B. 9.A【解析】连接 AE,

则因为 AD⊥面 ABC,AE? 面 ABC,所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE,所以由射影定理可得 AE2=EM·ED. 于是 =
2

= BC·EM· BC·DE=S△BCM·S△BCD.

故有

=S△BCM·S△BCD.所以命题是一个真命题.故选 A.

10.D【解析】如图所示,作 PD⊥BC 于 D,连接 AD.

∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥CD.∴CB⊥平面 PAD,∴AD⊥BC.
-5-

在△ACD 中,AC=5,CD=3,∴AD=4.在 Rt△PAD 中,PA=8,AD=4, ∴PD= =4 .

11.A【解析】连接 AC,交 BD 于点 O,连接 OC1,

因为 ABCD 为正方形,则 AC⊥BD,又 CC1⊥平面 ABCD, 所以 CC1⊥BD,则 BD⊥平面 CC1O, 所以 BD⊥OC1,所以∠COC1 是二面角 C1-BD-C 的平面角.又 OC= AC= ×

AB=

.

在 Rt△OCC1 中,CC1=

,所以 tan∠COC1=



,所以∠COC1=30°,故选 A.

12.B【解析】若 a=0 时,不等式 ax +2x+1<0 等价为 2x+1<0,解得 x<- ,结论成立.当

2

a≠0 时,令 f(x)=ax2+2x+1,要使 ax2+2x+1<0 成立,则满足
或 a<0,综上 a<1,故选 B. 13.a=0 或 b=0【解析】∵函数 f(x)=x2+b|x-a|为偶函数, ∴f(-x)=f(x),∴b|-x-a|=b|x-a|,∴a=0 或 b=0. 14.每一个平行四边形都不是矩形 15.13【解析】作 AE∥BD,使得 AE=BD,连接 DE,CE, 则 AE⊥l,DE⊥CE.在 Rt△ACE 中,CE= 在 Rt△CED 中,CD= =13 cm. = cm,

或 a<0,解得 0<a<1

-6-

16. ①∵PA? 平面 MOB,∴PA∥平面 MOB 不正确; ②由三角形的中位线定理可得 MO∥PA, 又∵MO? 平面 PAC,PA? 平面 PAC, ∴MO∥平面 PAC; 因此正确. ③∵OC 与 AC 不垂直,因此 OC⊥平面 PAC 不正确; ④∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 由∠ACB 是⊙O 的直径 AB 所对的圆周角, ∴∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 又 PA∩AC=A. ∴BC⊥平面 PAC. ∴平面 PAC⊥平面 PBC. 因此④正确. 综上可知:其中正确的命题是②④. 17.解 由 x -8x-20≤0,得-2≤x≤10,即 p:-2≤x≤10,
2

q:1-m2≤x≤1+m2.(1)若 p 是 q 的必要条件,则

即 (2)∵ 即

即 m ≤3,解得- ≤m≤ ,即 m 的取值范围是[- , ].

2

p是

q 的必要不充分条件,∴q 是 p 的必要不充分条件.
(两个等号不同时成立),即 m ≥9,解得 m≥3 或 m≤-3.
2

即 m 的取值范围是{m|m≥3 或 m≤-3}. 18.证明 (1)因为 SA=SC,D 为 AC 的中点,所以 SD⊥AC.则在 Rt△ABC 中,

有 AD=DC=BD,所以△ADS≌△BDS.所以∠BDS=∠ADS=90°,即 SD⊥BD. 又 AC∩BD=D,AC,BD? 平面 ABC,所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB=BC,D 为 AC 的中点,所以 BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥BD,于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线,所以 BD⊥平面 SAC. 19.(1)在△PBD 中,O,M 分别是 BD,PD 的中点,所以 OM∥PB,

-7-

因为 OM?平面 PAB,PB? 平面 PAB,所以 OM∥平面 PAB. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD.又因为 AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,AC∩PA=A, 所以 BD⊥平面 PAC.又因为 BD? 平面 PBD,所以平面 PBD⊥平面 PAC. 20.(1)证明 设 G 为 AD 的中点,连接 PG,BG,BD,如图.

因为△PAD 为等边三角形,

所以 PG⊥AD.在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,所以△ABD 为等边三角形, 又因为 G 为 AD 的中点,所以 BG⊥AD.又因为 BG∩PG=G,BG,PG? 平面 PGB, 所以 AD⊥平面 PGB.因为 PB? 平面 PGB,所以 AD⊥PB. (2)解 当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 如图,设 F 为 PC 的中点,则在△PBC 中,EF∥PB.在菱形 ABCD 中,GB∥DE,而 PB∩GB=B,

EF∩DE=E,PB,GB? 平面 PGB,EF,DE? 平面 DEF,
所以平面 DEF∥平面 PGB,由(1)得,PG⊥AD,又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面

ABCD=AD,PG? 平面 PAD,所以 PG⊥平面 ABCD,而 PG? 平面 PGB,
所以平面 PGB⊥平面 ABCD,所以平面 DEF⊥平面 ABCD. 21.命题 p:存在 x0∈R, +2(m-3)x0+1<0,对于函数 y=x2+2(m-3)x+1,Δ =4(m-3)2 -4>0,∴m>4 或 m<2,即 p:m>4 或 m<2.命题 q:任意的 x∈R,4x2+4(m-2)x+1>0 恒 成立.对于函数 y=4x2+4(m-2)x+1,Δ =16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3,即 q:1<m <3.∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p、q 一真一假. 当 p 真 q 假时,由 得 m>4 或 m≤1;

当 p 假 q 真时,由

得 2≤m<3.

综上,m 的取值范围是{m|m>4 或 m≤1 或 2≤m<3}. 22.(1)证明 ∵O,M 分别为 AB,VA 的中点,∴OM∥VB.
-8-

∵VB?平面 MOC,OM? 平面 MOC,∴VB∥平面 MOC. (2)证明 ∵AC=BC,O 为 AB 的中点,∴OC⊥AB. 又∵平面 VAB⊥平面 ABC,且平面 VAB∩平面 ABC=AB,OC? 平面 ABC,∴OC⊥平面 VAB. ∵OC? 平面 MOC,∴平面 MOC⊥平面 VAB. (3)解 在等腰直角△ACB 中,AC=BC= ,∴AB=2,OC=1,∴S△VAB=

AB2=

.

∵OC⊥平面 VAB,∴VC-VAB= OC·S△VAB= ×1×



,∴VV-ABC=VC-VAB=

.

-9-


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