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新版高三文科数学(通用版)二轮复习:第1部分 专题3 突破点6 古典概型与几何概型 Word版含解析

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1

1

专题三 概率与统计

建知识网络 明内在联系

扫一扫,各专题近五年全国考点分布

高考点拨] 本专题涉及面广,往往以生活中的热点问题为依托,在高考中的考 查方式十分灵活,考查内容强化“用数据说话,用事实说话”,背景容易创新.基 于上述分析,本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“独立性检 验与回归分析”三个方面分类进行引导,强化突破.
突破点 6 古典概型与几何概型
提炼 1 古典概型问题的求解技巧 (1)直接列举:涉及一些常见的古典概型问 题时,往往把事件发生的所有结果逐一列举出来,然后进行求解.
(2)画树状图:涉及一些特殊古典概型问题时,直接列举容易出错,通过画树状 图,列举过程更具有直观性、条理性,使列举结果不重、不漏.

(3)逆向思维:对于较复杂的古典概型问题,若直接求解比较困难,可利用逆向 思维,先求其对立事件的概率,进而可得所求事件的概率.
(4)活用对称:对于一些具有一定对称性的古典概型问题,通过列举基本事件个 数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂,利用对称思维,可以快速解决.
提炼 2 几何度量法求解几何概型 准确确定度量方式和度量公式是求解几何 概型的关键,常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等.
提炼 3 求概率的两种常用方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的 和事件,利用概率加法公式求解概率.
(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公 式,即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.

回访 1 古典概型

1.(20xx·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种

花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一

花坛的概率是( )

1

1

A.3

B.2

2

5

C.3

D.6

C 从 4 种颜色的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛中,余下 2 种颜色的花

种在另一个花坛的种数有:红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、

黄紫—红白、白紫—红黄,共 6 种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有:

红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共 4 种,故所求概率为 P=46

=23,故选 C.]

2.(20xx·全国卷Ⅰ)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称

这 3 个数为一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾

股数的概率为( )

3

1

A.10

B.5

1

1

C.10

D.20

C 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),

(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有

(3,4,5),所以概率为110.故选 C.]

3.(20xx·全国卷Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝

对值为 2 的概率是( )

1

1

A.2

B.3

1

1

C.4

D.6

B 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共 12 种情形,而满足条件“2 个数之差的

绝对值为 2”的只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共 4 种情形,所以取出的 2 个数之

差的绝对值为 2 的概率为142=13.]

4.(20xx·全国卷Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,

则 2 本数学书相邻的概率为________.

2 3

两本不同的数学书用 a1,a2 表示,语文书用 b 表示,则 Ω={(a1,a2,b),

(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)}.于是两本数学 书相邻的情况有 4 种,故所求概率为46=23.]

回访 2 几何概型

5.(20xx·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持

续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿

灯的概率为( )

7

5

A.10

B.8

3

3

C.8

D.10

B 如图,若该行人在时间段 AB 的某一时刻来到该路口,则该行人至少等待 15 秒才出现绿灯.AB 长度为 40-15=25,由几何概型的概率公式知,至少需要等 待 15 秒才出现绿灯的概率为40-4015=58,故选 B.]

热点题型 1 古典概型 题型分析:古典概型是高考考查概率的核心,问题背景大多是取球、选人、组 数等,求解的关键是准确列举基本事件,难度较小.
(1)一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球与 2 个黑球,先从袋 中任意取出一个球,取出后不放回,然后从袋中任意取出一个球,则第一次为白球、 第二次为黑球的概率为( )

3

3

A.5

B.10

1

6

C.2

D.25

(2)已知 M={1,2,3,4},若 a∈M,b∈M,则函数 f(x)=ax3+bx2+x-3 在 R 上

为增函数的概率是( )

【导学号:85952027】

9

7

A.16

B.16

4

3

C.16

D.16

(1)B (2)A (1)设 3 个白球分别为 a1,a2,a3,2 个黑球分别为 b1,b2,则先后

从中取出 2 个球的所有可能结果为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),

(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,

a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共 20 种.

其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2, b2),(a3,b1),(a3,b2),共 6 种,故所求概率为260=130.故选 B.
(2)记事件 A 为“函数 f(x)=ax3+bx2+x-3 在 R 上为增函数”. 因为 f(x)=ax3+bx2+x-3,所以 f′(x)=3ax2+2bx+1. 因为函数 f(x)在 R 上为增函数,所以 f′(x)≥0 在 R 上恒成立. 又 a>0,所以 Δ=(2b)2-4×3a=4b2-12a≤0 在 R 上恒成立,即 a≥b32. 所以当 b=1 时,有 a≥13,故 a 可取 1,2,3,4,共 4 个数; 当 b=2 时,有 a≥43,故 a 可取 2,3,4,共 3 个数; 当 b=3 时,有 a≥3,故 a 可取 3,4,共 2 个数; 当 b=4 时,有 a≥136,故 a 无可取值. 综上,事件 A 包含的基本事件有 4+3+2=9(种). 又 a,b∈{1,2,3,4},所以(a,b)共有 4×4=16(种). 故所求事件 A 的概率为 P(A)=196.故选 A.]

利用古典概型求事件概率的关键及注意点

1.关键:正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数.

2.注意点:(1)对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时应不重

不漏.

(2)当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.

变式训练 1] (20xx·广州二模)从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个,组成一个没有重复

数字的两位数,则这个两位数大于 30 的概率是( )

1

2

A.5

B.5

3

4

C.5

D.5

C 从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个,组成一个没有重复数字的两位数,共有 20 种

不同结果.其中这个两位数大于 30 的共有 12 种不同结果,故所求事件的概率 P=1220

=35.]

热点题型 2 几何概型

题型分析:高考试题中几何概型主要考查线段型和面积型.求解几何概型的关

键是计算线段的长度、平面图形的面积等,难度较小.

(1)在区间 0,2]上随机地取一个数 x,则事件“-1≤log12???x+12???≤1”

发生的概率为( )

3

2

A.4

B.3

1

1

C.3

D.4

(2)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50

之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5

分钟到校的概率为__________.(用数字作答)

(1)A

9 (2)32

(1)由-1≤log12???x+12???≤1,得12≤x+12≤2,解得 0≤x≤32,所以事

3 件“-1≤log12???x+12???≤1”发生的概率为22=34,故选 A.

(2)设小张和小王到校的时间分别为 x 和 y,

?30≤x≤50, 则?30≤y≤50,
?y-x≥5,

则满足条件的区域如图中阴影部分所示.

故所求概率 P=12×201×5×2015=392.]

判断几何概型中的几何度量形式的方法 1.当题干涉及两个变量问题时,一般与面积有关. 2.当题干涉及一个变量问题时,要看变量可以等可能到达的区域:若变量在 线段上移动,则几何度量是长度;若变量在平面区域(空间区域)内移动,则几何度 量是面积(体积).

提醒:数形结合是解决几何概型问题的常用方法,求解时,画图务必准确、直 观.
变式训练 2] 如图 6-1,圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB=3π,若向扇形 AOB 内 随机投掷 600 个点,则落入圆内的点的个数估计值为( )

图 6-1

A.100

B.200

C.400

D.450

C 如图,设 OA 与圆 C 相切于点 D,连接 OC,CD,∠AOB=π3,则∠COD

=π6,

设圆 C 的半径为 1,可得 OC=2,所以扇形的半径为 3, 由几何概型可得点在圆 C 内的概率为 P=S扇S形圆ACOB=16×π×π×1232=23,故向扇形 AOB 内随机投掷 600 个点,则落入圆内的点的个数估计为23×600=400 个.]
热点题型 3 互斥事件与对立事件的概率 题型分析:互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题,主要考查学 生的分析转化能力,难度中等.

(20xx·南昌一模)现有甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学社

与街舞社的活动,每人参加且只能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能

的.

(1)求文学社和街舞社都至少有 1 人参加的概率;

(2)求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的概率.

解] 甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下:

文学社

街舞社

1

甲乙丙丁

2

甲乙丙



3

甲乙丁



4

甲丙丁



5

乙丙丁



6

甲乙

丙丁

7

甲丙

乙丁

8

乙丙

甲丁

9

甲丁

乙丙

10

乙丁

甲丙

11

丙丁

甲乙

12



乙丙丁

13



甲丙丁

14



甲乙丁

15



甲乙丙

16

甲乙丙丁

共有 16 种情形,即有 16 个基本事件.6 分 (1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有 2 个, 故所求概率为1146=78.9 分 (2)甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的基本事件有 4 个,故所求 概率为146=14.12 分

1.直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和,运用互斥事件概率 的加法公式计算.
2.间接求法:先求此事件的对立事件,再用公式 P(A)=1-P( A )求解,即运
用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便. 提醒:应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥. 变式训练 3] (名师押题)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为
0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解] 记事件 A 为“该车主购买甲种保险”,事件 B 为“该车主购买乙种保险
但不购买甲种保险”,事件 C 为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种”,事 件 D 为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.4 分
(1)由题意得 P(A)=0.5,P(B)=0.3,6 分 又 C=A∪B,所以 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3 =0.8.8 分 (2)因为 D 与 C 是对立事件,所以 P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.12 分


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