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2014届高考数学二轮专题热点提升训练:三视图及空间几何体的计算(1)

时间:2014-05-14


常考问题 11

三视图及空间几何体的计算

(建议用时:50 分钟) 1.(2013·东北三校第三次模拟)如图,多面体 ABCD?EFG 的底面 ABCD 为正方形,FC=GD= 2EA,其俯视图如下,则其正视图和侧视图正确的是 ( ).

解析 注意 BE,BG 在平面 CDGF 上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排 除 A,C 选项,观察 B,D 选项,侧视图是指光线,从几何体的左面向右面正投影,则 BG,

BF 的投影为虚线,故选 D.
答案 D 2.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,沿 BD 将矩形 ABCD 折叠,连接 AC ,所得三棱锥

A?BCD 正视图和俯视图如图,则三棱锥 A?BCD 侧视图的面积为
( ).

6 A. 13

18 B. 13

C.

2 13

D.

3 13

解析 由正视图及俯视图可得,在三棱锥 A?BCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,该几何体的侧

视图是腰长为 答案 B

2×3 2 +3
2

= 2

6

1 ? 6 ?2 18 的等腰直角三角形,其面积为 ×? ? =13. 2 ? 13? 13

3.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

(

).

[来源:学科网 ZXXK]

560 A. 3 C.200

B.

580 3

D.240

解析 由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱,梯形的面积为 1 (2+8)×4=20,所以棱柱的体积为 20×10=200. 2 答案 C 4.(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ).

A.4

14 B. 3

C.

16 3

D.6

解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为 1 的正方形,下底面是边长为 2 的正方形,高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积 V= 1 2 14 2 2 (1 + 1×2 +2 )×2= ,故选 B. 3 3

答案 B 5.在具有如图所示的正视图和俯视图 的几何体中,体积最大的几何体的表面积为 ( ).

A.13 解析

B.7+3 2

7 C. π 2

D.14

由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水

平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为 1,底面边长分别为 1,3, 所以表面积为 2(1×3+1×1+3×1)=14. 答案 D 6.(2013·江苏卷)如图,在三棱柱 A1B1C1?ABC 中,D,E,F 分别 是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F?ADE 的体积为 V1,三棱柱

A1B1C1?ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.
解析 设三棱柱 A1B1C1-ABC 的高为 h,底面三角形 ABC 的面 1 1 1 1 1 积为 S,则 V1= × S· h= Sh= V2,即 V1∶V2=1∶24. 3 4 2 24 24 答案 1∶24 7.一个半径为 2 的球体经过切割后,剩余部分几何体的 三视图如图所示,则该几何体的表面积为________. 解析 1 该几何体是从一个球体中挖去 个球体后剩余 4

3 2 的部分,所以该几何体的表面积为 × (4 π × 2 ) + 4 π ×2 2× =16π . 2 答案 16π 8.已知三棱锥 S?ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为________. 解析 在 Rt△ASC 中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,所以 SA= 4-1= 3.同理,SB = 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点,连接 D B,因为△SAC≌△SBC,故 BD⊥SC,AD
2

1 3 =BD,故 SC⊥平面 ABD,且△ABD 为等腰三角形.因为∠ASC=30°,故 AD= SA= , 2 2 1 则△ABD 的面积为 ×1× 2 答案 2 6

AD2-? ? = 2

? 1? ? ?

2

2 1 2 2 , 则三棱锥 S-ABC 的体积为 × ×2= . 4 3 4 6

9.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边 长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个 底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V;
[来源:Zxxk.Com]

(2)求该几何体的侧面积 S. 解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心 的四棱锥 E?ABCD. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)四棱锥 E?ABCD 的两个侧面 EAD,EBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高 h1= 2 ?8? 2 4 +? ? =4 2; ?2? 另两个侧面 EAB,ECD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高

h2=

2 ?6? 2 4 +? ? =5. ?2?

1 ?1 ? 因此 S=2×? ×6×4 2+ ×8×5?=40+24 2. 2 ?2 ? 10.如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行,E 和 F 是 l 上的两 个不同点,且 EA=ED,FB=FC.E′和 F′是平面 ABCD 内的两点,EE′和 FF′都与平面

ABCD 垂直.

(1)证明:直线 E′F′垂直且平 分线段 AD; (2)若∠EAD=∠EAB=60 °,EF=2.求多面体 ABCDEF 的体积. (1)证明 ∵EA=ED 且 EE′⊥平面 ABCD, ∴E′D=E′A,∴点 E′在线段 AD 的垂直平分线上. 同理,点 F′在线段 BC 的垂直平分线上.

又四边形 ABCD 是正方形, ∴线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线,即点 E′、F′都在线段 AD 的垂 直平分线上. ∴直线 E′F′垂直且平分线段 AD. (2)解 如图,连接 EB、EC,由题意知多面体 ABCDEF 可分割成正四棱锥 E?ABCD 和正四 面体 E?BCF 两部分. 设 AD 的中点为 M, 在 Rt△MEE′中, 由于 ME′=1, ME= 3,∴EE′ = 2.

1 1 2 4 2 ∴VE?ABCD= ·S 正方形 ABCD·EE′= ×2 × 2= . 3 3 3 1 1 1 2 2 2 又 VE?BCF=VC?BEF=VC?BEA=VE?AB C= S△ABC·EE′= × ×2 × 2= , 3 3 2 3 ∴多面体 ABCDEF 的体积为 VE?ABCD+VE?BCF=2 2. 11.(2013·广东卷)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的 点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的 三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF?DEG. 3 (1)证明 在等边三角形 ABC 中,AB= AC. ∵AD=AE, ∴ = ,∴DE∥BC,

AD AE DB EC

∴DG∥BF,如图 2,DG?平面 BCF, ∴DG∥平面 BCF.
[来源:Z.xx.k.Com]

[来源:Z*xx*k.Com]

同理可证 GE∥平面 BCF. ∵DG∩GE=G,∴平面 GDE∥平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF. (2)证明 在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,∴AF⊥FC, 1 1 ∴BF=FC= BC= . 2 2 在图 2 中,∵BC=
2 2 2

2 , 2

∴BC =BF +FC ,∴∠BFC=90°, ∴FC⊥BF. ∵BF∩AF =F,∴CF⊥平面 ABF. 2 (3)解 ∵AD= , 3 1 ∴BD= ,AD∶DB=2∶1, 3 在图 2 中,AF⊥FC,AF⊥BF, ∴AF⊥平面 BCF, 由(1)知平面 GDE∥平面 BCF, ∴AF⊥平面 GDE. 在等边三角形 ABC 中,AF= 3 3 AB= , 2 2
[来源:学科网]

1 3 2 2 1 1 ∴FG= AF= ,DG= BF= × = =GE, 3 6 3 3 2 3 1 1 ∴S△DGE= DG·EG= , 2 18 1 3 ∴VF-DEG= S△DGE·FG= . 3 324


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