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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习7-8章课件8-1直线的方程与两条直线的位置关系

时间:2013-03-24


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第八章

平面解析几何

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第八章

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●课程标准 一、直线与圆的方程 1.直线与方程 () 在 面 角 标 中 结 具 图 , 索 定 线 1 平 直 坐 系 , 合 体 形 探 确 直 位 置的几何要素. () 理 直 的 斜 和 率 概 , 历 代 方 刻 2 解 线 倾 角 斜 的 念 经 用 数 法 画 直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.

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() 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 3 () 根 确 直 位 的 何 素 探 并 握 线 程 4 据 定 线 置 几 要 , 索 掌 直 方 的 几种形式(点 式 两 式 一 式 斜 、点 及 般 关系. () 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 5 () 探 并 握 点 的 离 式 点 直 的 离 式 6 索 掌 两 间 距 公 、 到 线 距 公 , 会求两条平行直线间的距离. ), 会 截 与 次 数 体斜式一函的

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2.圆与方程 () 回顾 定 的 何 素 在 面 角 标 中 探 并 1 确 圆 几 要 , 平 直 坐 系 , 索 掌握圆的标准方程与一般方程. () 能 据 定 线 圆 方 , 断 线 圆 圆 圆 2 根 给 直 、 的 程 判 直 与 、 与 的 位置关系. () 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3

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3. 平 解 几 初 的 习 程 , 会 代 方 处 在面析何步学过中体用数法 理几何问题的思想. 4.空间直角坐标系 () 通 具 情 , 受 立 间 角 标 的 要 , 1 过 体 境 感 建 空 直 坐 系 必 性 了 解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置. () 通 表 特 长 体 2 过 示 殊 方 (所 棱 别 坐 轴 行 有 分 与 标 平 )顶点的

坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.

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二、圆锥曲线与方程 () 了解圆 曲 的 际 景 感 圆 曲 在 画 实 1 锥 线 实 背 , 受 锥 线 刻 现 世 界和解决实际问题中的作用. () 经历从具体情境中抽象出椭圆(理 椭 、 物 2 :圆抛 线 过,握圆 程掌椭 何性质. (理 椭 、 物 :圆抛线 )的 义 标 方 及 单 定、准程简几 )模型的

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() 了 抛 线 双 线 3 解 物 、曲

(理 双 线 :曲

)的 义 几 图 和 定 、何 形 标

准方程,知道抛物线、双曲线(理:双曲线)的简单几何性质. () 通 圆 曲 与 程 学 , 一 体 数 结 的 4 过 锥 线方 的习 进步 会 形合思 想. () 文)了 圆 曲 的 单 用 5 ( 解锥线简应. (理)能 坐 法 决 些 圆 曲 有 的 单 何 题 用 标 解 一 与 锥 线 关 简 几 问 (直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题.

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() (理)结 已 过 曲 及 方 的 例 了 曲 与 6 合 学 的 线 其 程 实 ,解 线 方 程对关,一感数结的本想 的应系进步受形合基思.

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●命题趋势 1. 线 方 命 重 是 直 的 斜 与 率 两 直 直的程题点:线倾角斜,条 线的位置关系,对称及与其他知识结合考查距离等. 2. 的 程 题 点 : 所 条 求 的 程 直 与 圆方命重是由给件圆方、线 圆的位置关系. () 待 系 法 圆 方 ; 1 定数求的程 () 圆 切 , 线 圆 交 2 的线直与相弦

长;() 圆与圆、直线与圆位置关系判断;() 圆的几何性质. 3 4

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3. 锥 线 通 客 题 查 锥 线 基 量 圆曲常过观考圆曲的本 质), 过 题 查 线 圆 曲 的 置 系 求 锥 线 通大 考直与锥线位关 ,圆曲 的 方程等.

(概 、 念性

() 圆锥曲线定义的应用;() 圆锥曲线的标准方程;() 圆锥 1 2 3 曲 的 何 质 求 心 , 双 线 渐 线 线 几 性 , 离 率 求 曲 的 近 ; 锥 线交长位关 判; 曲相弦及 置系断 值或取值范围;() 讨论最值. 7 () 焦 三 形 5 点角 ; () 直 与 4 线 圆 () 求 数 6 参 的

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4. 知 交 点 命 是 析 何 显 特 . 平 向 在识汇处题解几的著征与面 量、三角函数、不等式、数列、导数、立体几何等知识结合, 考查综合分析与解决问题的能力.如结合三角函数考查夹角、 距离,结合二次函数考查最值,结合向量考查平行、垂直、面 积,直线与圆锥曲线的位置关系与向量结合求参数的取值范围 等与数合查线圆 ,导结考直与 锥曲线位置关系将成为新的热点,

有时也与简易逻辑知识结合命题.

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命题会紧紧围绕数形结合思想、 方程思想、 分类讨论思想、 运动变化的观点展开.

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●备考指南 1.直线与圆的方程部分 概念多、基本公式多,直线的方程、圆的方程又具有多种 形式, 高考命题又以考查基本概念的理解与掌握为主, 故复习 时首先要深刻理解直线与圆的基本概念, 清楚直线与圆的方程 各自特点、应用范围,熟练地掌握待定系数法.还应与其他知 识尤其是向量结合起来, 要充分利用图形的几何性质和方程的 消元技巧, 以减少计算量. 深刻领会并熟练运用数形结合的思 想方法.

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2. 锥 圆曲 线分容、度、合强为提复 部内多难大综性 ,了高 习效率和学习质量,建议采用以下策略: () 深 理 并 练 握 锥 线 定 , 灵 应 定 1 刻 解 熟 掌 圆 曲 的 义 能 活 用 义 解决问题. () 要 练 握 点 标 顶 坐 、 距 离 率 渐 2 熟 掌 焦 坐 、 点 标 焦 、 心 、 近 线 对轴概和法 对 、称等念求 .于 “a、b、c、e、p”基 量 运 本的

算要加强训练.重视待定系数法、定义法的掌握.

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() 在 线 二 曲 的 置 系 题 , 意 用 次 3 直 与 次 线 位 关 问 中 注 应 二 函 数、一元二次方程等知识(韦达定理、判别式和图象),几何法、 代数法及与导数联系都应训练. () 在 圆 曲 的 程 求 圆 曲 方 有 的 迹 4 求 锥 线 方 和 与 锥 线 程 关 轨 问 题时,要注意 用 面 何 基 知 . 别 意 迹 围 应 平 几 的 本 识 特 注 轨 范 的 讨论.

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() 要加强思想方法和能力训练,特别是复杂运算能力的 5 训练和应用数形结合思想方法解决问题的能力训练. (6)注意分析和积累一些圆锥曲线与其他知识点交叉综合 的题目, 能够通过目标分化以及化归转化的思想和方法进行剖 析和肢解,在解决综合问题中去体会和培养自己的逻辑推理、 合理运算以及综合运用知识的能力.

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第一节 直 的 程 两 直 的 置 系 线 方 与 条 线 位 关

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

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基础梳理导学

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重点难点

引领方向

重点:1.直线的倾斜角与斜率的概念; 2.直线方程的各种形式及适用条件; 3.两条直线平行与垂直的判定与应用; 4.点到直线的距离、两点间的距离公式. 难点:1.直线方程各种形式适用条件的掌握; 2.含参数的直线位置关系的判定.

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夯基 实础

稳根 固基

1.两 间 距 公 点的离式 () 数 上 意 点 1 轴任三 () 数 上 点 2 轴两 =|x2-x1|. () 平 上 意 点 3 面任两 A 1,y2)、B 2,y2)间 距 ( x ( x 的离 A、B、C 具 关 有系 A、 的 标 B 坐为 AC=AB+B . C

x1, 2, AB=x2-x1,B x 则 A| |

A | = ?x2-x1?2+?y2-y1?2. |B

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2.直线的倾斜角与斜率

向上 (1)x 轴正向与直线______的方向所成的角叫做直线
的倾斜角, x 轴平行或重合的直线倾斜角为零度角. 与 因 此,倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180°.

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() 斜 : 斜 不 2 率倾 角 是

9° 的 线 它 倾 角 正 0 直 ,的 斜 的 切

值叫做这条直线的斜率.倾斜角是 90° 的直线,斜率不存 在. 当直线 l 经过两点 P1(x1, 1), 2(x2, 2)时, x1≠x2, y P y 若

y2-y1 x2-x1 则 l 的斜率 k=_______.

A -B 直线 Ax+By+C=0(B≠0)的斜率 k=______.

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3.直线的方向向量 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的一个方向向 → 量为P1P2,其坐标为(x2-x1,y2-y1).当斜率 k 存在时, 一个方向向量的坐标为(1,k).

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4.直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解, 那么这个方程 叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.

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5.直线方程的各种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1)表示经过点 P1(x1,y1)且 斜率为 k 的直线.特例:y=kx+b 表示过点(0,b)且斜率 为 k 的直线, 其中 b 表示直线在 y 轴上的截距. 该方程叫 做直线方程的斜截式.

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y-y1 x-x1 () 两点式: 2 = (x ≠x2 且 y1≠y2)表示经过 y2-y1 x2-x1 1 x y 两点 P1(x1, 1), 2(x2, 2)的直线. y P y 特例: +b=1(ab≠0), a 其中 a,b 分别表示直线在 x 轴、y 轴上的截距,该方程 叫做直线方程的截距式. (3)一般式:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0).

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6.两直线的位置关系 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.

k1=k2 且 b1≠b2 l1∥l2?________________
l1⊥l2?k1·2=____. k -1 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. l1∥l2?A1B2=A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1).

0 l1⊥l2?A1A2+B1B2=__.

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7.两条直线的交点 如果两直线 l1 与 l2 相交,则交点的坐标一定是两条 直线方程组成的方程组的解; 反之, 如果两直线方程组成 的方程组只有一个公共解, 那么以这个解为坐标的点必是 l1 和 l2 的交点.

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8.有关距离 (1)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 |Ax0+By0+C| d= A2+B2 (2)求两平行线 l1、l2 距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离 ②设 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 |C1-C2| 则 l1 与 l2 的距离 d= 2 2. A +B

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疑难误区 点拨警示 1.对于直线的倾斜角和斜率要注意以下几点 (1)每一条直线都有惟一的倾斜角,但并不是每一条 直线都存在斜率,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在.所以 在研究直线的有关问题时, 应考虑到斜率存在与不存在这 两种情况,否则会产生漏解.

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() 在 道 率 取 范 求 斜 的 值 围 , 2 知斜 的值围倾角 取范时 可利用 k=tanα 解.k>0
? π? ?π ? 在 ?0,2? 和 ?2,π? 上都是增函数分别求 ? ? ? ? ?π ? 时,α∈?2,π?;k=0 ? ?

? π? 时,α∈?0,2?;k<0 ? ?

时,α

π =0;k 不存在时,α=2.

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2.“截距”与“距离”是两个不同的概念,x 轴上 的截距是直线与 x 轴的交点的横坐标, 轴上的截距是直 y 线与 y 轴的交点的纵坐标, 它们可能是正实数, 也可能是 负实数或零,而距离则是大于或等于零的实数. 3.使用直线方程时,要注意限制条件.如点斜式、 斜截式的使用条件是直线必须存在斜率; .... 截距式使用条件 为两截距都存在且不为零; ... .. ... 两点式使用条件为直线不与坐 ... 标轴垂直. .....

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4.判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条 直线中有一条或两条直线均无斜率的情形,在两条直线 l1、l2 的斜率都存在,且不重合的条件下,才有 l1∥l2?k1 =k2 与 l1⊥l2?k1k2=-1. 用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时, A1A2+B1B2=0?两直线垂直,但 A1B2-A2B1=0 与两直 线平行不等价.

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A1 B1 A1 B1 C1 用比例关系A ≠B 判断相交,A =B ≠C 判断平行, 2 2 2 2 2 A1 B1 C1 A2=B2=C2判断重合,应用方便,但前提是 A2B2C2≠0, 它们都不是等价条件. 5.应用两平行直线距离公式时,l1、l2 方程中的 x、 y 系数必须对应相同.

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思想方法技巧

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一、数形结合的思想 解析几何是数形结合的典范,学习解析几何,必须要清 楚 见 达 的 何 义 熟 掌 常 几 图 的 何 常 表 式 几 意 , 练 握 见 何 形 几 性 质,养成自觉运用数形结合思想解决问题的习惯. 二、分类讨论思想 在直线的方程中,涉及分类讨论的常见原因有:确定直 线 经 的 限 讨 直 的 率 否 在 直 所 过 象 ; 论 线 斜 是 存 ; 坐标原点等. 线是否经过

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三对思 、称想 在许多解析几何问题中,常常涉及中心对称和轴对称的 性,多题抓了对性,题迎而. 质许问,住其称质问可刃解 四直方设 、线程法 1. 线 l 过 点 P 0,y0), 直 方 为 直 定 ( x 设线程 x0), 意 x=x0 是 满 . 注 否足 2. 线 l 与 线 y=kx+b 平 , 直 直 行设 直 y=kx+b 垂 , 线 直设 1 l:y= kx+b1. - l:y=kx+b1;l 与 y-y0=k - ( x

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3. 线 直

l1:Ax+By+C=0, 线 直

l∥l1 时 设 ,

l:Ax+

By+C1=0;l⊥l1 时 设 l:Bx-Ay+C1=0. , 4. 线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1 直 与 l2 交 点 P, 点 P 的 线 l 可 为 (A1x+B1y+C1)+λ 2x 于 过 直 设 ( A +B2y+C2)=0(注 不 括 线 意包直 l2).

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考点典例讲练

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直线的倾斜角和直线的斜率

[例 1]

(文)直线 xs θ+ 3y+2=0 ∈R)的 斜 的 n i ( θ 倾角取

值范围为________.

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分: 直倾角取范为 析 线斜的值围

[0,π), 这 区 不 而个间是

正切函数 单 区 , 此 由 率 范 求 斜 的 围 的 调 间 因 在 斜 的 围 倾 角 范 时一要倾角 ,般按斜分 [0, ∞)两 情 讨 . + 种况论 要想求出直线倾斜角的范围,必须先求出直线斜率的范 围 . π π [0, )与( ,π)或 斜 分 按率 2 2 (-∞,0)与

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解: 由知直的率 析 已,线斜 3 3 所 - 3 ≤k≤ 3 . 以 3 当 0≤k≤ 时 直 的 斜 ,线 倾 角 3 ≤k<0 时 直 的 斜 ,线倾角

3 k= - s θ,θ∈R. n i 3

π 3 α 满 : 0≤α≤ ; - 足 当 6 3

5π α 满 : 6 ≤α<. 足 π

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∴直 的 斜 的 值 围 线倾角取范为

π 5π [0, ]∪[ ,π). 6 6

π 5π 答案:[0,6]∪[ 6 ,π)

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(理)设 线 直 的斜 倾角

l 的程 方为 (

x+ycs θ+3=0(θ∈R), 直 o 则线 )
?π π ? B.?4,2? ? ? ?π π? ?π 3π? D.?4,2?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

l

α的 值 围 取范是

A.[0,π)
?π 3π? C.?4, 4 ? ? ?

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解 : 当 cs θ=0 时 方 变 析 o ,程为 当 cs θ≠0 时 由 线 程 得 率 o ,直方可斜 ∵cs θ∈[-1,1]且 cs θ≠0, o o ∴k∈(-∞, 1]∪[1, ∞), - +

x+3=0, 倾 角 其斜为 1 k= cs θ. - o

π ; 2

即 a α∈(-∞, 1]∪[1, ∞), α∈[0,π), tn - + 又

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?π π? ?π 3π? ∴α∈?4,2?∪?2, 4 ?. ? ? ? ? ?π 3π? 综上知倾斜角的范围是?4, 4 ?,故选 ? ?

C.

答案:C

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(03 21·

北 附河分高年第次考 大 中南校三级四月 f ′(x)的 象 口 上 顶 坐 为 图 开 向 ,点 标

)如 f ′(x) 果 (1, 3), α 的 值 围 取 范 是

是 次 数且 二函, 那 曲 么 线 ( ) π A.(0, ] 3 π 2π C.(2, 3 ]

y=f(x)上 一 的 线 倾 角 任 点 切 的 斜 π π B.[ , ) 3 2 π D.[3,π)

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解: 由意设 析 题可

f ′(x)=a(x-1)2+ 3,(a>) , 此 0 因函 k=f ′(x)=a(x-1)2 + 3

数 象 任 点 切 的 率 图 上 一 处 线 斜 为

π π ≥ 3, a α≥ 3, 以 ≤α< , B. 即 tn 所 选 3 2

答案:B

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直线方程的几种形式

[例 2]

根所条求线方. 据给件直的程 10 ; 10 12;

() 直线过点(-4,0), 斜 的 弦 为 1 倾角正值

() 直线过点(-3,4), 在 坐 轴 的 距 和 2 且两标上截之为 () 直线过点(1) 3 50 , ,到点距为 且原的离 5.

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分 : () 由 斜 析 1 倾角 () 直 在 轴 截 和 2 线两上距为 代点坐求数 入的标系.

α的 弦 可 斜 正值求率

k=tn α. a

12, 不 原 , 设 距 , 故 过 点可 截 式

() 可 直 的 斜 方 , 条 求 率 3 设线点式程由件斜

k.

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解析:() 由 设 , 直 的 率 在 故 采 点 1 题知 该线斜存 , 可用斜 式 . 设斜为 倾角 10 α, s α= 则 n i 10 (< α<) , 0 π

3 10 1 从 cs α=± 10 , k=tn α=± . 而 o 则 a 3 故求线程: 所直方为 1 y=± (x+4). 3

即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0.

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() 由 设 截 不 2 题知距为

0, 直 方 为 设线程

x y + =1, a 12-a

-3 4 从 而 a + =1, 得 a= 4 或 a=9. 解 - 12-a 故求线程: 所直方为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0.

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() 当 率 存 时 所 直 方 为 3 斜不在,求线程: 当率在 斜存时 则 即 ,其 设为 k,

x-5=0;

y-10=k(x-5), kx-y+(0 -5k)=0. 1 1 -5k| |0 3 =5, 得 k=4. 解 2 k +1 3x-4y+25=0. x-5=0 或 3x-4y+25=0.

由线离式得 点距公, 故求线程 所直方为 综知所直方为 上,求线程

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点评:直 方 有 种 式 一 情 下 利 任 一 线 程 多 形 , 般 况 , 用 何 种式可出线程 形都求直方 恰 ,答 更 迅 当解 会 加 速 (不 足 件 除 满条的外 ) 但如选 . 是果择

. 本 中 三 小 ,条 分 选 题 的 个 题依 件 别 择

了种同式直方,该握 三不形的线程应掌. 求直线方程时,一方面应依据题设条件灵活选取方程的 形 ; 一 面 特 注 直 方 各 形 的 用 围 式 另 方 应 别 意 线 程 种 式 适 范 , 即意类论 注分讨.

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(文)01 ( 1· 2

海省海 南琼

市 拟 )经 圆 C:(x+1)2+(y-2)2 模 过 ( )

=4 的 心 斜 为 圆且率 A.x-y+3=0 C.x+y-1=0

1的 线 程 直方为

B.x-y-3=0 D.x+y+3=0

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解: 圆的标 析 心坐为

(-1,2), 求 直 方 为 所的线程

y-2=x

+1, x-y+3=0, 选 A. 即 故

答案:A

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点评:求 线 程 , 方 应 据 设 件 活 取 直 方 时 一 面 依 题 条 灵 选 方 的 式 另 方 应 别 意 线 程 种 式 适 程 形 ; 一 面 特 注 直 方 各 形 的 用 范,注分讨. 围即意类论

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(理)一 光 沿 线 条线直 反,射线 射反光

l发 , 直 出遇线

l1:x+y-2=0 后 被 点 P(-1,0),

l2 与 4x-2y+3=0 平 且 过 行经

则l的 程 方 为 ________.

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解: 设射线 析 反光

l2 方 为 4x-2y+m=0, 程

∵l2 过 P(-1,0),∴m=4, 点 ∴l2:2x-y+2=0, ∵l 与 l2 关 直 于线 ∴l 的 程 方为 l1:x+y-2=0 对 , 称

2 -y)-(2-x)+2=0, ( 2

即 x-2y+4=0.

答案:x-2y+4=0

第八章

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两条直线平行与垂直

[例 3]

π 若曲线 f(x)=xs x+1 在 x= 处的切线与直线 ax n i 2 )

+2y+1=0 互相垂直,则实数 a=( A.-2 C.1 B.-1 D.2

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π 分 : 曲 f(x)在 处 线 率 析 线 切斜 2 的 件 k1k2= 1 可 出 a. 条 - 求

π k=f ′( ), 两 线 直 由直垂 2

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π 解 : f ′(x)=s x+xcs x,f ′( )=1, 两 线 位 析 n i o 由直的置 2 关可: 系得- a - 解 2×1= 1, 得 a=2.

答案:D

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(文)02 ( 1· 2

浙文 江 , 4)设 a∈R, “a=1”是“直 l1: 则 线 )

ax+2y-1=0 与 线 l2:x+2y+4=0 平 ”的( 直 行 A. 分 必 条 充不要件 C. 分 要 件 充必条 B. 要 充 条 必不分件 D. 不 分 不 要 件 既充也必条

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解析:本 考 了 面 两 直 平 的 要 件 由 题 查 平 中 条 线 行 充 条 , a 2 -1 题知 意 : 1=2≠ 4 , 以 a=1. 所

答案:C

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(理)02 ( 1· 2

烟调 台 研 )设 线 曲 a=(

x+1 y= 在 (2 点 3) , x-1 )

处切与 的线

直 ax+y+1=0 垂 , 线 直则 A.2 1 C. 2 -

B. 2 - 1 D.2

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x-1-x-1 -2 解析:∵y′= = ,∴曲 在 线 点 (2 3) , ?x-1?2 ?x-1?2 的线斜 切的率 故 B. 选



1 k 切=y′|x=3= 2,∵-a· 切= 1,∴a= 2, - k - -

答案:B

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两条直线相交

[例 4]

已知直线 l 与点 A(3 3) ,

和 B(2 5) ,

的离等且 距相,

过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2:x+y-3=0 的 点 则 线 交 ,直 l 的方程为________.

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解: 根条可直 析 据件设线

l的 程 方为

3x-y-1+λ(x+y- 和

3)=0,即(3+λ)x+(λ-1)y-3λ-1=0.直线 l 与点 A(3 3) , B(2 5) , 的离等分两情. 距相可为种况 当 线 l 与 A、B 的 线 行 , 为 直 连平时因 3+λ 1 则得 可 = 2,则 λ= 7, 时 线 - - 此直 1-λ =0; 直 当线

3-2 1 kAB= = 2, - 3-5 l的 程 方为 x+2y-5 5 M(4, )代 2

5 l 过 段 AB 的 点 M(4, )时 将 线 中 ,点 2

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入 线 l的 程 得 直 方可 可直 得线 l的 程 方为

5 17 4 +λ)+ (λ-1)-3λ-1=0, λ= ( 3 则 - , 2 7 x-6y+11=0. l的程 方为 x+2y-5=0 或 x-6y+11

综可所直 上知求线 =0.

答案:x+2y-5=0 或 x-6y+11=0

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直 l被条线 线 两直 截的段中为 得线的点

l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 P(-1,2), 直 求线 l的 程 方.

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解 : 解 1: 直 析 法 设线

l 与 l1 的 点 交为

A(x0,y0), 已 由知

条件,得直线 l 与 l2 的交点为 B(-2-x0,4-y0),并且满足
?4x +y +3=0, ? 0 0 ? ?3?-2-x0?-5?4-y0?-5=0, ? ?4x +y +3=0, ? 0 0 即? ?3x0-5y0+31=0, ? ?x = 2, ? 0 - ? ?y0=5, ?

解 得

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因直 此线

y-2 x-?-1? l的 程 方为 = , 5-2 -2-?-1?

即 3x+y+1=0. 解 2: 直 法 设线 l的 程 方为 y-2=k(x+1),

即 kx-y+k+2=0.

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?kx-y+k+2=0, ? 由? ?4x+y+3=0, ? ?kx-y+k+2=0, ? 由? ?3x-5y-5=0, ?

-k-5 得 x= . k+4 -5k-15 得 x= . 5k-3

-k-5 -5k-15 则 + = 2, 得 k= 3. - 解 - k+4 5k-3 因所直方为 此求线程 y-2= 3(x+1), 3x+y+1=0. - 即

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点评:两 线 直

l1、l2 的方程为(4x+y+3 x-5y-5)=0 ) ( 3

() , l 方 为 y-2=k(x+1)代 () 中 去 y, 根 系 1 设 程 入1 消 由与数 关 及 x1+x2= 2,y1+y2=4, 出 k 也 获 , 同 们 系 - 求 可解请学 认体 真会 .

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点到直线的距离公式

[例 5]

(01 21·

苏州模拟)若动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别 AB

在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上 动 则 段 移 ,线 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A.2 3 C.3 2 B.3 3 D.4 2 )

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分 : 由 A、B 分 为 l1、l2 上 任 点 析 于 别 的一, 的 点 M的 迹 与 中 轨为 故求小为点 所最值原到 l1 和 l 2 平 且 行到 l的 离 距.

l1∥l2,∴AB l,

l1、 距 相 的 线 l2 离 等 直

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解 : 与 l1 和 l2 平 且 离 等 直 方 为 析 行距相的线程 0, 点 该 线 离 原到直距 d=3 2, 选 C. 故

x+y-6=

答案:C

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已函 知数

y=a2x-2(a>0, a≠1)的 象 过 且 图恒点

A, 直 若

线 l:mx+ny-1=0 经 点 A, 坐 原 过 则标点 的大为 最值 ________.

O到 线 l的 离 直 距

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解 : 由 数 数 性 可 :数 析 指 函 的 质 得函 的象过 图恒点 A(1 1) ,

y=a2x 2(a>0, a≠1) 且



,而 A 在 线 l 上 ∴m+n-1=0,即 m 直 , 1 1 2 m +n ≥2(m+n) =2.当 仅 且当
2 2

+n=1, 基 不 式 得 由本等可: 1 m=n=2时 号 立 等成,

1 1 O 到 l 的 离 d= 2 距 = 2,∴O 到 线 l 的 直 距 2≤ 2 m +n 2 离最值 的大为
答案: 2
第八章 第一节

2.

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综合应用

[例 6]

过点 P(1 2) ,

作 线 l 分别交 x、y 轴正半轴于 A、 直 l 的方程.

B 两点,求|OA| OB|取 最 值 直 |· 得小时线

分析:求 线 程 选 适 的 式 本 由 意 可 直方应择当形,题题知 用截距式也可用点斜式来求.

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x y 解 : 设 线 l的 程 析 直 方 为 + =1(a>0,b>) , 0 a b 由 设 |OA| OB|=ab, 题 |· 2 1 ∵P 在 l 上 ∴ + =1, , a b ∴ab=2b+a≥2 2ab,∴ab≥8, 当仅 且当 所直 求线 a=2b 即 a=4,b=2 时 等 . 取号 x y l的 程 方 为 4+2=1, x+2y-4=0. 即

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点: 要据解标需适选方的式 评 依求目的要当择程形.

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一直 条线

l 过 P(4 点 1) ,

,别 分交

x轴 y轴 正 轴 , 的半于

A、

B两, O为点则 点 原, ________.

△A B O

的积小直 面最时线

l的程 方为

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x y 解 : 设 l: + =1(a,b>) . 为 析 0 因点 a b 1 4 1 4 所 a+b=1.由 1=a+b≥2 以 所 S△AB 以 O 1 =2ab≥8.

P(4 1) ,

在l上 ,

4 ab?ab≥16,

1 4 1 当 = = , a=2,b=8 时 等 . 即 取号 a b 2 故 线 l的 程 直 方为 4x+y-8=0.

答案:4x+y-8=0

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.(文)02 ( 1· 2 山四第次考 西校一联 ) )直线 xs α+y+2=0 n i

的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) π C.[0,4]

π 3π B.[0,4]∪[ 4 ,π) π π D.[0,4]∪(2,π)

[答案] B

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[解 ] 析

设线倾角 直的斜为

θ, 有 则

a θ= s α, 中 tn -n i 其

π s α∈[-1,1], a θ∈[-1,1]. θ∈[0, 所 n i ∴tn 又 π), 以 0≤θ≤4或 3π ≤θ<. π 4

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(理)01 ( 1· 2

河省城模 北藁市拟

)设 P 为 线 曲

C:y=x2+2x [0,

+3 上 点 且 线 的,曲

C在 P处 线 斜 的 值 围 点 切倾角取范为 ( )

π ], 点 P 横 标 取 范 为 则 坐的值围 4 1 A.[-1, 2] - C.[1 0 ,]

B.[-1,0] 1 D.[ ,1] 2

[答案] A

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[解析]

设 P(x0,y0),

由 y=x2+2x+3,得 y′=2x+2, 根据导数的几何意义,切线的斜率 k=2x0+2. π 又切线的倾斜角 α 的取值范围为[0,4], ∴k=tn α∈[1 a 0] , ,即 0≤2x0+2≤1,

1 解得-1≤x0≤-2,故选 A.

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2.(01 21·

福市末 州期

)定 : 面 横 标 整 的 称 义平内坐为数点 “左 点 ” 整 )

为“左 点 ”. 函 整 过 数 y= 9-x2图 上 意 个 象任两 作线则斜大 直,倾角于 A.1 0 C.1 2 45° 直 条 为 的线数 B.11 D.13 (

[答案] B

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[解 ] 析

依 “左 点 ”的 义 , 数 据 整 定知函

y= 9-x2的 图

象 共 七 左 点 如 过 个 整 作 线 倾 角 上 有 个 整 , 图 两 左 点 直 , 斜 大 于 45° 直 有 的线: AC、AB、BG、CF、CG、DE、DF、DG、 B.

EF、EG、FG 共 11 条 故 ,选

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3. s θ,o θ)到 线 xcs θ+ys θ+1=0 的 离 于 点( n i cs 直 o n i 距小 1 , θ的 值 围 则 取范是 2 ( )

5 π π A.(2kπ- 6 ,2kπ-6)(k∈Z) 5 π π B.(kπ-1 ,kπ-1 )(k∈Z) 2 2 2 π π C.(2kπ- 3 ,2kπ-3)(k∈Z) π π D.(kπ-3,kπ-6)(k∈Z) [答案] B
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[解 ] 析

由到线距公得 点直的离式:

s θcs θ+cs θs θ+1| 1 n i | o o n i <2, 2 2 cs θ+s θ o n i ∴|2 s n i 1 3 θ+1 ,∴- <2 < | s n i 2 2 1 θ<- . 2

5π π ∴2kπ- 6 <2θ<2kπ-6 (k∈Z), 5π π ∴kπ- <θ<kπ- 12 12 (k∈Z), 选 B. 故

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二解题 、答 4.(01 21· 1, 中 数 其实 安文 徽 , 17)设 线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x- 直 k1,k2 满足 k1k2+2=0.

() 证 l1 与 l2 相 ; 1 明 交 () 证 l1 与 l2 的 点 椭 2 明 交在圆 2x2+y2=1 上 .

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[解析]

() 证明:假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行或 1

重合,则 k1=k2, ∵k1·2+2=0, k
2 ∴k1=-2 不可能,故假设错误,∴l1 与 l2 相 . 交

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() 2

?y=k x+1, ? 1 ? 联立 ?y=k2x-1, ?

消去 y 得(k2-k1)x=2,

k1+k2 2 ∵k1≠k2,∴x= ,y= k2-k1 k2-k1 k1+k2 2 ∴l1 与 l2 交点 P( , ), k2-k1 k2-k1 2 2 k1+k2 2 ∴2x +y =2×( ) +( ) k2-k1 k2-k1
2 2

2×4+k2+k2+2k1·2 k 1 2 = ?k2-k1?2

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4×?-k1·2?+k2+k2+2k1·2 k k 1 2 = ?k2-k1?2 k2+k2-2k1·2 ?k2-k1?2 k 1 2 = = 2 2=1. ?k2-k1? ?k2-k1? 故 P在 圆 , 点 椭 上即 l1 与 l2 的 点 椭 交在圆 2x2+y2=1 上 .

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