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甘肃省会宁县第二中学高中数学选修1-1 第3章 导数及其应用 测试(2)(新人教A版选修1-1)

时间:2015-07-05


第三章
一、选择题 1.

导数及其应用 单元测试

若 f ( x) ? sin ? ? cos x , 则 f ' (? ) 等于( A.

) D.

sin ?

B.

cos?

C.

sin ?? c? os

2 s i? n

2. 3.

若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x) 的图象是( 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数, 则实数 a 的 取值范围是( A. C. ) B.



(??,? 3] ? [ 3,??)

[ ? 3, 3 ]

(??,? 3) ? ( 3,??) D. (? 3, 3)


4.

对于 R 上可导的 任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ' ( x) ? 0 ,则必有( A. B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 5. 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( ) A. 4 x ? y ? 3? 0 B. x ? 4 y ? 5? 0 C. 4 x ? y ? 3? 0 D. x ? 4 y ? 3? 0
D.
4

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

6.

函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( ) A.
y

y ? f ?( x)

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

b

a

O

x

二、填空题 1. 2. 3. 4. 若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________; 函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为 .
2

设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则 ? =__________ 设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2
.

取值范围为

5.

对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

三、解答题 1. 求函数 y ? (1 ? cos 2 x)3 的导数.

2.

求函数 y ? 2x ? 4 ? x ? 3 的值域.

3.

已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ?

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1) 求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2 )若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围.

4.

已知 f ( x) ? log3

x 2 ? ax ? b , x ? (0, ??) , 是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满足下列两 x

个 条件: (1) f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 1, ?? ? 上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是1 ,若 存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

?

参考答案
一、选择题 1. 2. 3. 4. A A B

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ?
对称轴 ?

b ? 0, b ? 0, f ' ( x ) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限 2

f ' ( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立, ? ? 4a2 ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3

C 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数; 当 x ? 1 时,f ' ( x) ? 0 ,f ( x ) 在 (??,1) 上是减函数,故 f ( x ) 当 x ? 1 时取得最小值,即有 f (0) ? f (1), f (2) ? f (1), 得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1) A 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为

5.

4 ,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在 (1,1) 处导数为 4 ,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0
6. A 极小值点应有先减后增的特点,即 f ' ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0

二、填空题 1. 2. 3.

6

2 f ' ( x)? 3x ? 4c x ? 2c , ' f ( 2?) 2c?

8? c 1? 2

时取极小值 0c 或 ? , , 2c, ? 26

(? ?, ? ? )

y' ? 2 ? c o x s ? 对于任何实数都成立 0

? 6

f ' ( x) ? ? sin( 3x ? ?)( 3x ? ?)' ? ? 3sin( 3x ? ?)
? ( x) f ( x)? f ? 2 cos(x ? ? 3 ? 3

?

)

要使 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,需且仅需 ? ? 即: ? ? k? ? 4. 5.

?
3

? k? ?

?
2

,k ?Z ,

?
6

, k ? Z . 又 0 ? ? ? ? ,所以 k 只能取 0 ,从而 ? ?

?
6

.

( 7 ?? , ) x ? [?1,2] 时, f ( x)max ? 7

2n?1 ? 2

y/

x?2

? ?2n ? 1? n? 2? 切线方程为 , :y ?

n

2 ??

? n 1

2? ? n
n

?

2? x( ,2 )

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以

an ? 2n ,则 n ?1

2 1 ? 2n ? an ? ? 2n?1 ? 2 数列 ? ? 的前 n 项和 Sn ? 1? 2 ? n ? 1?
三、解答题 1. 解: y ? (1 ? cos 2x) ? (2cos x) ? 8cos x
3 2 3 6

?

?

y' ? 48cos5 x ? (cos x)' ? 48cos5 x ? (? sin x)
? ?48sin x cos5 x .
2. 解:函数的定义域为 [?2, ??) , y ' ?

1 1 1 1 ? ? ? 2x ? 4 2 x ? 3 2x ? 4 4 x ? 12

当 x ? ?2 时, y' ? 0 ,即 [?2, ??) 是函数的递增区间,当 x ? ?2 时, ymin ? ?1 所以值域为 [?1, ??) . 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由 f (? ) ?
'

3.

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x) 极大值 ? 极小值 ? f ( x) ? 2 2 所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) , 递减区 间是 ( ? ,1) ; 3 3 1 2 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 2 3 3 27
为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 . 解:设 g ( x) ?

4.

x 2 ? ax ? b x

∵ f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数 ∴ g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数.

∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

经检验, a ? 1, b ? 1 时, f ( x ) 满足题设的两个条件.


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