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1.1.1任意角 教案(人教A版必修4)

时间:2016-12-08

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 ●三维目标 1.知识与技能 (1)理解任意角(正角、负角、零角)的概念、象限角与区间角的概念. (2)掌握终边相同角的表示方法,会用角的集合表示一些实际问题中的角. 2.过程与方法 借助于角、 直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念, 引导学生用数形 结合的思想方法来认识问题. 3.情感、态度与价值观 (1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力.(2)通过本节学习和运用实践,培养学 生应用意识,体会数学的应用价值. ●重点、难点 重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. ●教学建议 首先通过实际问题(拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等)引出角的概念的推广问题,引 发学生的认知冲突,然后用具体例子,将初中学过的角和概念推广到任意角,在此基础上引 出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在自己已有经验(生活经验、数学学习经验) 的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念. 课标解读 1.了解任意角的概念. 2.理解终边相同角的含义及其表示.(重点)

知识 1 【问题导思】

任意角

将射线 OA 绕着点 O 旋转到 OB 位置,有几种旋转方向? 【提示】 有顺时针和逆时针两种旋转方向. 1.定义 角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 2.分类 正角、负角与零角 正角:按逆时针方向旋转形成的角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角; 零角:一条射线没有作任何旋转形成的角.

知识 2 【问题导思】

象限角

把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,旋转该角, 则其终边(除端点外)可能落在什么位置? 【提示】 终边可能落在坐标轴上或四个象限内. 在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合. 象限角:终边在第几象限就是第几象限角; 轴线角:终边落在坐标轴上的角.

知识 3 【问题导思】

终边相同的角

30° ,390° ,750° ,?,30° +k· 360° (k∈Z)的角的终边有什么关系? 【提示】 相同. 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈ Z},即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的和.

类型 1 例 1 下列命题 ①第一象限角一定不是负角; ②第二象限角大于第一象限角; ③第二象限角是钝角; ④小于 180° 的角是钝角、直角或锐角. 其中不正确的序号为________.

角的基本概念

【思路探究】 解答本题可根据角的大小特征,位置特征进行判断. 【自主解答】 ①-330° 角是第一象限角,但它是负角,所以①不正确. ②120° 角是第二象限角,390° 角是第一象限角,显然 390° >120° ,所以②不正确. ③480° 角是第二象限角,但它不是钝角,所以③不正确. ④0° 角是小于 180° 角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确. 【答案】 ①②③④

1.解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,

严格辨析它们之间的联系与区别. 2.判断结论正确与否时,若要说明结论正确,需要严格的推理论证,若要说明结论错 误,只需举出反例即可.

下列说法正确的是( A.锐角是第一象限角

)

B.钝角比第三象限角小 C.三角形的内角必为第一、二象限角 D.小于 90° 的角都是锐角 【解析】 -100° 是第三象限角,但-100° <90° ,故 B 错;90° 角是直角三角形的内角, 但它既不在第一象限,也不在第二象限,故 C 错;-30° 小于 90° ,不是锐角,故 D 错. 【答案】 A

类型 2 例 2 已知角 α=2 010°

终边相同的角

(1)把 α 改写成 k· 360° +β(k∈Z,0° ≤β<360° )的形式,并指出它是第几象限角; (2)求 θ,使 θ 与 α 终边相同,且-360° ≤θ<720° . 【思路探究】 先求出 β,判断角 α 所在的象限,用终边相同的角表示 θ 满足的不等关 系,求出 k 和 θ. 【自主解答】 (1)由 2 010° 除以 360° ,得商为 5,余数为 210° . ∴取 k=5,β=210° , α=5×360° +210° . 又 β=210° 是第三象限角, ∴α 为第三象限角. (2)与 2 010° 终边相同的角: k· 360° +2 010° (k∈Z). 令-360° ≤k· 360° +2 010° <720° (k∈Z), 7 7 解得-6 ≤k<-3 (k∈Z). 12 12 所以 k=-6,-5,-4. 将 k 的值代入 k· 360° +2 010° 中, 得角 θ 的值为-150° ,210° ,570° .

1.把任意角化为 α+k· 360° (k∈Z 且 0° ≤α<360° )的形式,关键是确定 k.可以用观察法(α

的绝对值较小)也可用除法. 2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的 角的一般形式,再依条件构建不等式求出 k 的值.

若将例题中“角 α=2 010° ”,改为“α=-315° ”,其他条件不变,结果如何? 【解】 (1)用-315° 除以 360° 商为-1,余数为 45° , ∴k=-1,β=45° , 因此 α=-360° +45° , ∴α 是第一象限角. (2)与-315° 终边相同的角:k· 360° -315° (k∈Z), 令-360° ≤k· 360° -315° <720° (k∈Z), 1 23 解得- ≤k< (k∈Z), 8 8 所以 k=0,1,2. 将 k 值代入 k· 360° -315° 中, 得所求角为-315° ,45° 和 405° .

类型 3

象限角与区域角的表示

例 3 如图 1-1-1,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(

)

图 1-1-1 A.{α|k· 360° +30° <α<k· 360° +45° ,k∈Z} B.{α|k· 180° +150° <α<k· 180° +225° ,k∈Z} C.{α|k· 360° +150° <α<k· 360° +225° ,k∈Z} D.{α|k· 360° +30° <α<k· 180° +45° ,k∈Z} 【思路探究】 找出 0° ~360° 内阴 +k· 360° 影部分的角的集合 ― ― → 适合题意的角的集合 ?k∈Z?

【自主解答】 在 0° ~360° 内落在阴影部分角的范围为大于 150° 而小于 225° ,所以在

终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k· 360° +150° <α<k· 360° +225° ,k∈Z}. 【答案】 C

1.先在-360° ~360° 范围内确定区域角起止边界处角,再把端点处加上 360° 的整数倍 即得. 2.区域角的表示问题,遵循先从特殊再到一般的规律写出,即先选择一个合适的角度 为 360° 区间,写出落在阴影部分的角的集合,然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边 落在阴影区域内的角的集合.注意结果尽量表示为一个连续区间.

写出下图 1-1-2 中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.

图 1-1-2 【解】 在-180°~180°内落在阴影部分角集合为大于-45°小于 45°,所以终边落在 阴影部分(不含边界)的角集合为{α|-45°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.

忽视象限角范围致误 α 若 α 是第二象限角,试确定 2α、 是第几象限角. 2 【错解】 由题意得 90° <α<180° , 所以有 180° <2α<360° , α 45° < <90° . 2 α 故有 2α 为第三象限角、第四象限角或终边在 y 轴非正半轴上角, 为第一象限角. 2 【错因分析】 致错原因是把 α 是第二象限角范围误认为是大于 90° 而小于 180° ,而应 是{α|90° +k· 360° <α<180° +k· 360° ,k∈Z}才完整. 【防范措施】 正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键. 【正解】 (1)由题意得 90° +k· 360° <α<180° +k· 360° (k∈Z), ①

∴180° +2k· 360° <2α<360° +2k· 360° (k∈Z). 故 2α 是第三或第四象限角或终边落在 y 轴非正半轴上的角. α (2)由①得 45° +k· 180° < <90° +k· 180° (k∈Z), 2 当 k 为偶数时,令 k=2n(n∈Z),得 α 45° +n· 360° < <90° +n· 360° (n∈Z), 2 α 故 是第一象限角. 2 当 k 为奇数时,令 k=2n+1(n∈Z)得 α 45° +180° +n· 360° < <90° +180° +n· 360° (n∈Z), 2 α 即 225° +n· 360° < <270° +n· 360° (n∈Z), 2 α 故 为第三象限角. 2 α 综上可知 为第一或第三象限角. 2 课堂小结 1.理解任意角的概念要抓住四个要素:顶点、始边、终边和射线的旋转方向. 2.象限角的确定依赖于角的终边位置的确定,要注意对表达式中的 k 进行分类讨论, 以确定角的终边的位置. 3.熟练掌握终边相同的角的公式及应用,明确象限角的概念与内涵是解题的依据.

1.将射线 OM 绕端点 O 按逆时针方向旋转 120° 所得的角为( A.120° C.60° B.-120°

)

D.240°

【解析】 由于射线 OM 绕 O 逆时针旋转,故所得角为正角 120° . 【答案】 A 2.(2013· 开封高一检测)下列各角中,与角 330° 的终边相同的角是( A.510° C.-150° B.150° D.-390° )

【解析】 与 330° 终边相同的角的集合为 S={β|β=330° +k· 360° ,k∈Z}, 当 k=-2 时,β=330° -720° =-390° ,故选 D. 【答案】 D 3.将-885° 化为 α+k· 360° (0° ≤α<360° ,k∈Z)的形式是________. 【解析】 -885° =-1080° +195° =(-3)×360° +195° . 【答案】 195° +(-3)×360°

4.如果 θ 为小于 360° 的正角,θ 的 4 倍角的终边与 θ 的终边重合,求 θ 的值. 【解】 依题意 4θ=k· 360° +θ,且 0° <θ<360° , ∴θ=k· 120° . 取 k=1 或 k=2,∴θ=120° 或 θ=240° .

一、选择题 1. 已知 A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于 90° 的角}, 那么 A、 B、 C 关系是( A.B=A∩C C.A?C D.A=B=C 【解析】 锐角大于 0° 小于 90° ,故 C?B,选项 B 正确. 【答案】 B 2.把-1 485° 转化为 α+k· 360° (0° ≤α<360° ,k∈Z)的形式是( A.45° -4×360° B.-45° -4×360° C.-45° -5×360° D.315° -5×360° 【解析】 B、C 选项中 α 不在 0° ~360° 范围内,A 选项的结果不是-1 485° ,只有 D 正确. 【答案】 D 3.若 α 是第二象限角,则 180° -α 是( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 【解析】 可借助于取特殊值法,取 α=120° ,则 180° -120° =60° . 【答案】 A 4.若 α 与 β 的终边互为反向延长线,则有( A.α=β+180° B.α=β-180° C.α=-β D.α=β+(2k+1)· 180° ,k∈Z 【解析】 α 与 β 的终边互为反向延长线,则两角的终边相差 180° 的奇数倍,可得 α= β+(2k+1)· 180° ,k∈Z. 【答案】 D 5.以下命题正确的是( ) ) ) ) B.B∪C=C )

A.第二象限角比第一象限角大

B.A={α|α=k· 180° ,k∈Z},B={β|β=k· 90° ,k∈Z},则 A?B C.若 k· 360° <α<k· 360° +180° (k∈Z),则 α 为第一或第二象限角 D.终边在 x 轴上的角可表示为 k· 360° (k∈Z) 【解析】 A 不正确,如-210° <30° . 在 B 中,当 k=2n,k∈Z 时,β=n· 180° ,n∈Z. ∴A?B,∴B 正确. 又 C 中, α 为第一或第二象限角, 或在 y 轴的非负半轴上, ∴C 不正确, 显然 D 不正确. 【答案】 B 二、填空题 6.(2013· 哈尔滨高一检测)与-2 002° 终边相同的最小正角是________. 【解析】 与-2 002° 终边相同的角的集合为{β|β=-2 002° +k· 360° , k∈Z}, 与-2 002° 终边相同的最小正角是当 k=6 时,β=-2 002° +6×360° =158° . 【答案】 158° 7.若将时钟拨慢 5 分钟,则分针转了________度,时针转了________度. 360° 【解析】 拨慢时针为逆时针形成正角,分针每分钟转过的度数为 =6° ,5 分钟转 60 30° 过 30° ,时针每分钟转过的度数为 =0.5° ,5 分钟转过 2.5° . 60 【答案】 30 2.5 8.(2013· 哈尔滨高一检测)在四个角-20° ,-400° ,-2 000° ,600° 中,第四象限的角 的个数是________. 【解析】 -20° 是第四象限的角;-400° =-360° -40° ,也是第四象限的角;-2000° =(-6)×360° +160° ,是第二象限的角;600° =360° +240° ,是第三象限的角.所以第四象 限的角的个数是 2 个. 【答案】 2 个 三、解答题 9.若角 α 的终边和函数 y=-x 的图象重合,试写出角 α 的集合. 【解】 在 0° ~360° 范围内所对应的两个角分别为 135° 和 315° , ∴终边为 y=-x 的角的集合是{α|α=k· 360° +135° ,k∈Z}∪{α|α=k· 360° +315° ,k∈ Z} ={α|α=2k· 180° +135° ,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)· 180° +135° ,k∈Z} ={α|α=k· 180° +135° ,k∈Z}. 10.在与 530° 终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)最小的正角;

(3)-720° 到-360° 的角. 【解】 与 530° 终边相同的角为 k· 360° +530° ,k∈Z. (1)由-360° <k· 360° +530° <0° ,且 k∈Z 可得 k=-2,故所求的最大负角为-190° . (2)由 0° <k· 360° +530° <360° 且 k∈Z 可得 k=-1, 故所求的最小正角为 170° . (3)由-720° ≤k· 360° +530° ≤-360° 且 k∈Z 得 k=-3,故所求的角为-550° . 11.如图 1-1-3 所示.

图 1-1-3 (1)分别写出终边落在 OA,OB 位置上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 【解】 (1)终边落在 OA 位置上的角的集合为{α|α=90° +45° +k· 360° ,k∈Z}={α|α= 135° +k· 360° ,k∈Z}. 终边落在 OB 位置上的角的集合为 {β|β=-30° +k· 360° ,k∈Z}. (2)由题图可知,终边落在阴影部分(包括边界)角的集合是由大于或等于-30° 而小于或 等于 135° 范围内的所有与之终边相同的角组成的集合, 故终边落在阴影部分(包括边界)的角 的集合为{γ|-30° +k· 360° ≤γ≤135° +k· 360° ,k∈Z}. 【教师备课资源】 象限角的判断 α α 已知 α 是第一象限角,求 2α, , 所在的象限. 2 3 【解】 ∵α 是第一象限角, ∴k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z. ①2k· 360° <2α<2k· 360° +180° ,k∈Z, 则 2α 是第一或第二象限角,或是终边在 y 轴的正半轴上的角. α ②k· 180° < <k· 180° +45° ,k∈Z. 2 α 当 k 为偶数时, 为第一象限角, 2 α 当 k 为奇数时, 为第三象限角, 2 α ∴ 为第一或第三象限角. 2

α ③k· 120° < <k· 120° +30° ,k∈Z. 3 α α 当 k=3n(n∈Z)时,n· 360° < <n· 360° +30° ,n∈Z,∴ 是第一象限角; 3 3 α α 当 k=3n+1(n∈Z)时,n· 360° +120° < <n· 360° +150° ,n∈Z,∴ 是第二象限角; 3 3 α α 当 k=3n+2(n∈Z)时,n· 360° +240° < <n· 360° +270° ,n∈Z,∴ 是第三象限角; 3 3 α ∴ 为第一或第二或第三象限角. 3 α 1.解决此类问题,要先确定 α 的范围,进一步确定出 nα 或 的范围,再根据 k 与 n 的 n 关系进行讨论. α 2.一般地,要确定 所在的象限,可以作出 n 等分各个象限的从原点出发的射线,它们 n 与坐标轴把圆周等分成 4n 个区域, 从 x 轴的正半轴起, 按逆时针方向把 4n 个区域依次标上 α 号码 1、2、3、4,则标号是 n 的区域就是 α 为第几象限时, 的终边也可能落在区域. n

若 α 是第三象限角,则 180° -α 是第几象限角? 【解】 ∵α 是第三象限角, ∴180° +k· 360° <α<270° +k· 360° ,k∈Z, -270° -k· 360° <-α<-180° -k· 360° ,k∈Z, -90° -k· 360° <180° -α<-k· 360° (k∈Z). ∴180° -α 是第四象限角.


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