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2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第五章 数列 第二节 等差数列及其前n项和_图文

时间:2015-09-07

第二节

等差数列及其前 n 项和

基础盘查一

等差数列的有关概念

(一)循纲忆知

理解等差数列的概念(定义、公差、等差中项).

(二)小题查验
1.判断正误
(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数, 则这个数列是等差数列
(2)等差数列的公差是相邻两项的差

( ×)
( ×)

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1 =an+an+2 ( √)

2.(人教 A 版教材例题改编)判断下面数列是否为等差数列.(只 写结果) (1)an=2n-1;


(2)an=pn+q(p、q 为常数).


基础盘查二
(一)循纲忆知

等差数列的有关公式

1.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式;
2. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系, 并能用有关知 识解决相应的问题;
3.了解等差数列与一次函数的关系.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的 ( √ )

(2)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数

(√ )

(3)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常数),则 数列{an}一定是等差数列 (√ )
2 4 2.(人教 A 版教材例题改编)已知等差数列 5,4 ,3 ,?,则前 7 7 1 (75n-5n2) 14 n 项和 Sn=_____________.

基础盘查三

等差数列的性质

(一)循纲忆知
掌握等差数列的性质及其应用.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)在等差数列{an}中,若 am+an=ap+aq,则一定有 m+n=p+ (× ) (2)数列{an},{bn}都是等差数列,则数列{an+bn}也一定是等差 q

数列

(√ )

(3)等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,取出数列中的所有奇数 项,组成一个新的数列,一定还是等差数列 (√ )
(√ ) (4)数列{an}的通项公式为 an=3n+5,则数列{an}的公差与函数 y=3x+5 的图象的斜率相等

2. (北师大版教材例题改编 )已知等差数列 {an}, a5 =- 20, a20

-15-n =-35,则 an=________.
3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11

88 . 等于____

考点一

等差数列的基本运算 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
等差数列的有关公式

(1)通项公式: an=a1+(n-1)d.

n?n-1? ?a1+an?n (2)前 n 项和公式:Sn=na1+ . 2 d= 2

[题组练透]
1. (2014· 福建高考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=2, S3=12, 则 a6 等于 A.8 C.12 B.10 D.14 ( )

解析:设等差数列{an}的公差为 d,则 S3=3a1+3d,所以 12 =3×2+3d,解得 d=2,所以 a6=a1+5d=2+5×2=12,故 选 C.

2.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=

-72 ______.

解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ?a12=a1+11d=-8, ? 由已知,得? 9d×8 S =9a1+ =-9, ? 2 ? 9 16×15 ∴S16=16×3+ ×(-1)=-72. 2
? ?a1=3, 解得? ? ?d=-1.

3.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.

(2)由(1)可知 an=3-2n, n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35,即 k2-2k-35=0, 解得 k=7 或 k=-5.又 k∈N*,故 k=7.

[类题通法]

等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1, an, d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程组解决问 题的思想.
(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的 作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和 未知量是常用方法.

考点二

等差数列的判断与证明 (题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] (1)定义: 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的

差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.表示为 an+
* - a = d ( n ∈ N ,d 为常数). 1 n

a+b 数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 A= 2 , (2)等差中项: 其中 A 叫做 a,b 的等差中项.
[提醒] 要注意定义中的“从第 2 项起”.如果一个数列不是

从第 2 项起,而是从第 3 项或第 4 项起, 每一项与它前一项的差是 同一个常数,那么此数列不是等差数列.

[一题多变]
[典型母题]

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+2Sn· Sn - 1 = 1 0(n≥2),a1=2.
?1? (1)求证:?S ?是等差数列; ? n?

(2)求 an 的表达式.

[解 ]

(1)证明:∵an=Sn-Sn-1(n≥2),

又 an=-2Sn· Sn-1,∴Sn-1-Sn=2Sn· Sn-1,Sn≠0. 1 1 因此S - =2(n≥2). Sn-1 n
? ?1? ? 1 1 ? ? 故由等差数列的定义知 S 是以 = =2 ? S1 a1 ? n? ?

为首项,2 为公差的

等差数列.

1 1 (2)由(1)知S = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n, S1 n 1 即 Sn= . 2n 1 由于当 n≥2 时,有 an=-2Sn· Sn-1=- , 2n?n-1? 1 又∵a1= ,不适合上式. 2 ?1 ?2,n=1, ∴an=? 1 ?- ,n≥2. ? 2n?n-1?

[题点发散 1]

试说明本例中数列{an}是不是等差数列.

-1 解:当 n≥2 时,an+1= , 2n?n+1? 1 ? -1 -1 -1? ? 1 ? - 而 an+1-an= - = ? 2n?n+1? 2n?n-1? 2n ? ?n+1 n-1? 1 = . n?n-1??n+1? ∴当 n≥2 时,an+1-an 的值不是一个与 n 无关的常数,故数 列{an}不是等差数列.

[题点发散 2]

2S2 · Sn-1 a1= n, 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+

1 Sn-1 Sn= =0(n≥2),a (n ≥2 2) . 1= 2Sn-1+1
?1? (1)求证:?S ?是等差数列; ? n?

(2)求 an 的表达式.

Sn-1 解:(1)∵Sn= , 2Sn-1+1 1 2Sn-1+1 1 ∴S = = +2. Sn-1 Sn-1 n 1 1 ∴S - =2. Sn-1 n ?1? 1 ? ? ∴ S 是以2为首项,以 2 为公差的等差数列. ? n?

1 1 3 1 (2)由(1)知S = +(n-1)×2=2n- ,即 Sn= . 2 2 3 n 2n- 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= -2 =? ; 3 ?? 7? ?2n- ??2n- ? 2 ?? 2? ? ? ?2?n=1?, ? -2 当 n=1 时, a1=2 不适合上式, 故 an=? ?n≥2?. ? ? ? ? 3 7 ?? 2n- ??2n- ? ? 2 ?? 2? ?? - 3 7 2n- 2n- 2 2 1 1

[题点发散 3] 若本例变为: 已知数列{an}中, a1=2, an=2-
*

(n≥2, an-1

1

1 n∈N ),设 bn= (n∈N*).求证:数列{bn}是等差数列. an-1

1 证明:∵an=2- ,∴an+1=2-a . an-1 n an-1 1 1 1 1 ∴bn+1-bn= - = - = =1, 1 an+1-1 an-1 an-1 an-1 2-a -1
n

1

1 ∴{bn}是首项为 b1= =1,公差为 1 的等差数列. 2-1

[类题通法]

等差数列的判定方法
(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一

常数;
(2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An2+Bn.
[提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法, 而通项公式
法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.

考点三

等差数列的性质及最值 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]

等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d,(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m ∈N*)是公差为 md 的等差数列.

(4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?也是等差数列.

[典题例析]
1.等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值是( A.20 C.24 B.22 D.-8 )

解析:∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24, ∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.

2.(2014· 北京高考)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则

8 时,{an}的前 n 项和最大. 当 n=____
解析:∵数列{an}是等差数列,且 a7+a8+a9=3a8>0,∴a8 >0.又 a7+a10=a8+a9<0, ∴a9<0.∴当 n=8 时, 其前 n 项 和最大.

3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30

60 =_____.
解析:∵S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列,且 S10=10, S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=10+2×10=30, ∴S30=60.

4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,最后 6 项 的和为 180,Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及 a9+a10.

解:由题意知 a1+a2+?+a6=36, an+an-1+an-2+?+an-5=180,

① ②

①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+?+(a6+an-5)=6(a1+an)= 216,∴a1+an=36, n?a1+an? 又 Sn= =324,∴18n=324,∴n=18. 2 ∵a1+an=36,n=18,∴a1+a18=36, 从而 a9+a10=a1+a18=36.

[类题通法]

1.等差数列的性质
(1)项的性质:在 等 差 数 列 {an} 中 , am - an = (m - n)d ?

am-an =d(m≠n),其几何意义是点 (n,an),(m,am)所在直线 m-n 的斜率等于等差数列的公差.
(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,则

①S2n=n(a1+a2n)=?=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an.

2.求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=an2+bn,

通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.

(2)邻项变号法:

①a1>0,d<0 为 Sm;

? ?am≥0, 时,满足? ? ?am+1≤0

的项数 m 使得 Sn 取得最大值

②当 a1<0,d>0 值为 Sm.

? ?am≤0, 时,满足? ? ?am+1≥0

的项数 m 使得 Sn 取得最小

[演练冲关]

1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2 =100,则 a37+b37 等于 A.0 C.100 B.37 D.-37 ( )

解析:设{an},{bn}的公差分别为 d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+ bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,∴{an+bn}为等差数列,又 a1+b1=a2+b2=100,∴{an+bn}为常数列,∴a37+b37=100.

2.已知等差数列{an}的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 15,所有偶数项之和为 25,则这个数列的项数为 A.10 C.30 B.20 D.40 ( )

解析:设这个数列有 2n 项,则由等差数列的性质可知:偶数项 之和减去奇数项之和等于 nd,即 25-15=2n,故 2n=10,即数 列的项数为 10.

3.在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15, 求当 n 取何值时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值.

10×9 15×14 解:∵a1=20,S10=S15,∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 ∴d=- . 3 法一:由
? 5? 5 65 ? ? an=20+(n-1)× -3 =- n+ . 3 3 ? ?

得 a13=0.即当 n≤12 时,an>0,n≥14 时,an<0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值, 12×11 ? 5? 且最大值为 S12=S13=12×20+ ×?-3?=130. 2 ? ?

n?n-1? ? 5? 5 2 125 ? ? - 法二:∴Sn=20n+ · 3 =- n + n 2 6 6 ? ? 25?2 3 125 5? =- ?n- 2 ? + . 6? 24 ? ∵n∈N*,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13 =130. 法三: 由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即 a13=0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130.

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(三十一)”
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