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3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)

时间:2018-06-26


含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一 元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ; 例 1 解不等式: ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项
2

系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

2 解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?
? ? 1? ? 2?

当 a ? 0 时,不等式为 2x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? ? 2a 2a ? ?

例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
2

分析 解

因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。

? a( x 2 ? 5 x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

?当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?

二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。 解:∵ ? ? a 2 ? 16 ∴当 a ? ?? 4,4? 即 ? ? 0 时,解集为 R ;当 a ? ?4 即 Δ=0 时,
1

解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 , 此 时 两 根 分 别 为 x1 ?

? a ? a 2 ? 16 , 2

x2 ?

? a ? a 2 ? 16 ,显然 x1 ? x 2 , 2

∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R ?
2 2

?

?

解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?

2

?, 所以当 m ? ?

3 , ? ? 0 时, 即

解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; 2?

当? 3 ? m ?

? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 或x〈 m2 ? 1 m2 ? 1 ? ?
3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ?

三、 按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类, x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ; 即

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ?x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题只 a
例 5 解不等式 x 2 ? (a ? 需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ?x ? a ?( x ? 或 0 ? a ? 1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 ,∴当 a ? ?1 a a

1? 1 ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ;当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a? a ?

a?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?
2

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

例 6 解不等式 x 2 ? 5ax ? 6a 2 ? 0 , a ? 0 分析 此不等式 ? ? ?? 5a ? ? 24 a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,
2

故只需比较两根 2a 与 3a 的大小. 解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根 为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,
即 2a ? 3a ,解集为 x | x ? 2a或x ? 3a

?

?

3


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