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广西桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市2013届高三3月联考数学(文)试题 Word版含答案

时间:2013-04-07


广西桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市 2013 届高三 3 月联考 数学试卷(文科)
第Ⅰ卷 第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k n?k

( k ? 0 ,1, 2 ? , n )

球的表面积公式
S ? 4 ? R ,其中 R 表示球的半径
2

球的体积公式
V ? 4 3

? R ,其中 R 表示球的半径
3

一、选择题 [ ]1. 已知集合 A ? ?1, 3? ,那么满足 B ? A 的集合 B 有 [ [ A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ]2. 在等比数列 ?a n ? 中, a 2 ? 6 , a 3 ? ? 18 ,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? A. 26 B. 40 C. 54 x ]3. 函数 y ? e ? 1( x ? R ) 的反函数是 A. y ? ln( x ? 1)( x ? R ) B. y ? ln( x ? 1)( x ? R ) C. y ? ln( x ? 1)( x ? 1) D. y ? ln( x ? 1)( x ? 1) [ ]4. 函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? A. 在(0, B. 在(
?
6

D. 80

?
6

)

?
6

)单调递减
?
3


?
6

)单调递增

C. 在( ? D. 在( ? [

,0)单调递减 ,?
?
6
3

?
3

)单调递增

]5. 曲线 y ? 4 x ? x 在点(-1,-3)处的切线方程是 A. y ? 7 x ? 4 C. y ? 7 x ? 2 B. y ? x ? 4 D. y ? x ? 2

[

]6. 在正三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, 已知 AB ? 2 ,CC 1 ? 3 , 则异面直线 A1 B 1 和 BC 1 所
13 13 7 7
1 2

成角的余弦值为 A. B. C. D.
3 2

[

]7. “ x ? 1 ? 1 ”是“ log A. 充要条件 C. 必要不充分条件

2

x ? 1 ”成立的

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

[

]8. 从 5 名男同学 4 名女同学中选出 3 名同学组队参加课外活动, 要求男、 女同学都有, A. 70 B. 80
2

则不同的方案个数共有 C. 100
2

D. 140 D. 1 或 3

[ [

]9. 若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a ) ? y ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为 A. -1 或 3 B. -2 或 6
2

C. 0 或 4
2

]10. 如果函数 y ? x ? 1 的图象与方程 x ? ? y ? 1 的曲线恰好有两个不同的公共点, B. [ ? 1,1) D. [ ? 1, 0 ] ? (1, ?? )

则实数 ? 的取值范围是 A. ( ?? , ? 1] ? [ 0 ,1) C. ?? 1, 0 ? [ 等于 A. 2 [ B. 3 C. 4

]11. 在 ? ABC 中, C ? 90 ? ,且 CA ? CB ? 3 ,点 M 满足 BM ? 2 MA ,则 CM ? CB D. 6
? x? y ?

? , x ? ( ? 1, 0 ) ]12. 定义在 (-1, 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x ) ? f ( y ) ? f ? 1) ? ? 当 ? 1 ? xy ?
?1? ? 1 ? ?2 ?? f? ? , b ? f ( 0 ) , c ? f ( e ) ,则 a,b,c 的大小关系为 ?5? ? 11 ?

时,有 f ( x ) ? 0 ,若 a ? f ? A. b ? c ? a

B. c ? a ? b 第Ⅱ卷

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知 ? ? ? ? ,
? ?
5 3? ? ,那么 tan 2 ? =____________。 ? , cos ? ? ? 5 2 ?
n

? 2 1? 14. 已知 ? x ? ? 的二项展开式的各项系数和为 32,则二项展开式中 x 的系数为 x? ?

________。 15. 已知球 O 是棱长为 2 6 的正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 的内切球,则平面 ACD 1 截球 O 的截面的面积为__________。 16. 已知 A、B、P 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 上不同的三点,且直线 AB 经过坐标原点,若直线

PA 与 PB 的斜率的乘积为 3,则双曲线的离心率为________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,已知 A ? (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 BC ? 10 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长。
?
4

, cos B ?

4 5

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 ? a ,公差 d ? 2 ,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S 2 , S 4 成等 比数列。 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? 2 a n ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n 。
n

19. (本小题满分 12 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一 等品率为 90%,二等品率为 10%,生产 1 件甲产品,若是一等品,则获利 4 万元;若是二等 品,则亏损 1 万元,生产 1 件乙产品,若是一等品,则获利 6 万元;若是二等品,则亏损 2 万元,两种产品生产的质量相互独立。 (Ⅰ)求生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润为 5 万元的概率; (Ⅱ)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 20. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PC ? 底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形,AB ? AD ,
AB // CD , AB ? 2 AD ? 2 CD ? 2 ,E 是 PB 的中点。

(Ⅰ)求证:平面 EAC ? 平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) 在点(1, f (1 ) )处的切线方程为 y ? x ? 1 。
3

6 3

,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值。

(Ⅰ)用 a 分别表示 b,c; (Ⅱ)如果当 x ? 2 时, f ( x ) ? 1 ? x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
3

22. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 G 的中心为坐标原点, 左焦点为 F1 ( ? 1, 0 ) , 为椭圆 G P 的上顶点,且 ? PF 1 O ? 45 ? (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ) 已知直线 l1 : y ? kx ? m 1 与椭圆 G 交于 A、 两点, B 直线 l 2 : y ? kx ? m 2 ( m 1 ? m 2 ) 与椭圆 G 交于 C、D 两点,且 AB ? CD ,如图所示。

(i)证明: m 1 ? m 2 ? 0 ; (ii)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值。

【试题答案】
一、选择题 1. D 7. C 2. B 8. A 3. D 9. C 4. D 10. B 5. D 11. B 6. A 12. A

二、填空题: 13. ?
4 3

14. 10

15. 4 ?

16. 2

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? cos B ?
4 5 ? cos C ? cos( ? ? A ? B ) ? cos( 3? 4 ? B) 3 5

,且 B ? ( 0 , ? ) ,? sin B ?

1 ? cos

2

B ?

??1 分 ? ? 3


? cos 3? 4 cos B ? sin 3? 4 sin B ? ? 2 2 ? 4 5 ? 2 2 ? 3 5 ? ? 2 10

? ? 5

分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 由正弦定理得
BC sin A ? AB sin C

1 ? cos

2

C ?

? 2 1? ?? ? 10 ?

? ? ? ?

2

?

7 10

2

??6 分 ??8 分

,即

10 2 2

?

AB 7 10 2

,解得 AB ? 14

在 ? BCD 中,BD=7, CD
? CD ? 37

2

? 7 ? 10
2

2

? 2 ? 7 ? 10 ?

4 5

? 37 ,

? ? 10

分 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) S 1 ? a , S 2 ? 2 a ? 2 , S 4 ? 4 a ? 12 又 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列,有 ( 2 a ? 2 ) ? a ( 4 a ? 12 ) ? a ? 1
2

??2 分 ??4 分 ? ? 6

? an ? 2n ? 1

分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 b n ? 2 a n ? ( 2 n ? 1) 2
n 2 n

??7 分
n

? T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( 2 n ? 1 ) 2

? ? 9 ??12 分

分 错位相减法得 T n ? ( 2 n ? 3 ) 2 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设知,当甲产品为二等品,乙产品为一等品时, 可获得的总利润为 5 万元。 分 ? ? 2
n ?1

?6

? P ( X ? 5 ) ? 0 . 2 ? 0 . 9 ? 0 . 18

??5 分
14 5

(Ⅱ)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件。 由题设知 4 n ? ( 4 ? n ) ? 10 ,解得 n ?
*

又 n ? N 且 n ? 4 ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 所求概率为 P ? C 4 ? 0 . 8 ? 0 . 2 ? 0 . 8 ? 0 . 8192 (或
3 3 4

??9 分
512 625

) ??12 分

答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。 20. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)? PC ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,? AC ? PC , ??1 分
? AB ? 2 , AD ? CD ? 1 ,? AC ? BC ?
? AC ? BC ? AB ,? AC ? BC 又 BC ? PC ? C ,? AC ? 平面 PBC,
2 2 2

2

??3 分 ??5 分

? AC ? 平面 EAC,? 平面 EAC ? 平面 PBC

(Ⅱ)解法一:? AC ? 平面 PBC,? AC ? PC , AC ? CE ,

? PCE 为二面角 P ? AC ? E 的平面角

??6 分

在 Rt ? PBC 中,E 是 PB 的中点,? ? PCE ? ? CPE
? cos ? CPE ? ? CE ? 1 2 PB ? 6 3 6 2

,? BC ?

2 ,? PC ? 2

??8 分

,取 PC 中点 F,连结 EF,
2 2

则 EF // BC ,? EF ?
? V P ? ACE ? V E ? PAC ,

,EF ? 面 PAC。 ??10 分

设点 P 到平面 ACE 的距离为 h, 则 ? h ? S ? ACE ?
3 1 1 3 ? EF ? S ? PAC ,解得 h ?

2 3 3


h PA
1 2 a

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ?

?

2 3

??12 分

解法二:以 C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) , B(1,-1,0) 。设 P(0,0,a) (a>0) ,则 E(
1 a CE ? ( , ? , ) , 2 2 2 1
1 2

,?

, ) CA ? (1,1, 0 ) ,CP ? ( 0 , 0 , a ) , ,
2

??7 分

取 m=(1,-1,0) 则 m ? CP ? m ? CA ? 0 ,? m 为面 PAC 的法向量 设 n ? ( x , y , z ) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 , 即?
? x ? y ? 0, ? x ? y ? az ? 0 则 n ? ( a ,? a ,? 2 ) ,

,取 x ? a , y ? ? a , z ? ? 2 ,

依题意, cos ? m , n ? ? 于是 n ? ( 2 , ? 2 , ? 2 )

m ?n m n

?

a a ?2
2

?

6 3

,则 a ? 2

??9 分 ??10 分
PA ? n ? PA n 2 3

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PA , n ? ?



即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 21. (本小题满分 12 分)

2 3

??12 分

解: (Ⅰ) f (1) ? a ? b ? c , f ' ( x ) ? 3 ax ? b
2

??2 分 ??3 分 ? ? 5

所以在(1, f (1 ) )处的切线方程为 y ? a ? b ? c ? ( 3 a ? b )( x ? 1) 与 y ? x ? 1 比较得 c ? 2 a ? 1 , b ? 1 ? 3 a 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? ax ? (1 ? 3 a ) x ? 2 a ? 1
3

所以 ax ? (1 ? 3 a ) x ? 2 a ? x ? 0 ( x ? 2 )恒成立
3 3

??7 分
3

即 a ( x ? 3 x ? 2 ) ? x ? x ( x ? 2 ) 恒成立,? x ? 2 ,? x ? 3 x ? 2 ? 0
3 3

?a ?
2

x ? x
3

x ? 3x ? 2
2

?

x ( x ? 1)( x ? 1 ) ( x ? 1)( x ? x ? 2 )
2

?

( x ? 1)( x ? x )
2

( x ? 1)( x ? x ? 2 )
2

?

x ? x x ? x?2
2
2

?1?

2 x ? x?2
2

( x ? 2)

??9 分

令 g ( x ) ? x ? x ? 2 ( x ? 2 ) ,有 g ( x ) min ? 4
2 3 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 x ? x ? 2 ? max ?
?a ? 3 2

??11 分 ??12 分

22. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)设椭圆 G 的标准方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)

因为 F1 ( ? 1, 0 ) , ? PF 1 O ? 45 ? ,所以 b=c=1
?a
2

?b ?c
2

2

? 2

??2 分
x
2

? 椭圆 G 的标准方程为

? y

2

?1

??3 分

2

(Ⅱ)设 A( x 1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 ) C ( x 3 , y 3 ) ,D( x 4 , y 4 ) ,
? y ? kx ? m 1 , ? 2 2 2 (i)证明:由 ? x 2 ,消去 y 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 km 1 x ? 2 m 1 ? 2 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2

则 ? ? 8(2 k

2

4 km 1 ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 k 2 , ? 2 ? m 1 ? 1) ? 0 ,且 ? 2 ? x x ? 2 m1 ? 2 2 ? 1 2 1 ? 2k ?
2 2

??5 分

? AB ?
? 1? k
2

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

?
2

1? k

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

4 km 1 ? 2 m1 ? 2 ? ? 2 ?? ? ? 4? 2 2 1 ? 2k ? 1 ? 2k ?

2 1? k

2

2k

2

? m1 ? 1
2 2

1 ? 2k

同理 CD ? 2

2 1? k

2

2k

2

? m2 ?1
2 2 2

1 ? 2k 2 1? k
2

??7 分
2

? AB ? CD ,? 2

2k

? m1 ? 1
2

1 ? 2k

? 2

2 1? k

2

2k

2

? m2 ?1
2 2

1 ? 2k

? m 1 ? m 2 ,? m 1 ? m 2 ? 0
m1 ? m 2 1? k
2

??9 分
2m1 1? k
2
2

(ii)解:由题意得四边形 ABCD 是平行四边形,设两平行线 AB,CD 间的距离为 d,则
d ?

,因为 m 1 ? m 2 ? 0 ,? d ?
2 1? k 2k
2

??10 分
2m1 1? k
2

? S ? AB ? d ? 2

2

? m1 ? 1
2

1 ? 2k

?

2k ? 4 (2k 2
2

2

2

? m 1 ? 1) m 1
2 2
2

2

? m1 ? 1 ? m1
2

2

1 ? 2k

? 4

2

2 2 1 ? 2k

? 2

2

当且仅当 2 k ? 1 ? 2 m 1 时,四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值,为 2 2 ??12 分


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