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《高等代数》:学习笔记

时间:2018-06-30


《高等代数(上)》 :学习笔记
这是我自学的笔记做成的电子档,其中有许多注释,尽量深入浅出,以供大家学习。有些笔误也修正 差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同,但意思是一样的,祝大家都能通过考试。

第一章行列式
§1.1 定义

D=

2 3 2 = 2 × 4 ? 3 × 1 = 5A = 1 4 1

3 2 3 ≡ 4 1 4

这是行列式(或写为|D|)

这是矩阵,注意区别

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 a11 D = a21 a31
3 阶行列式

这是三元线性方程组

a12 a22 a32

a13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a23 ?a11 a23 a32 ? a12 a21 a33 ? a13 a22 a31 a33
代数和

右下斜线为正 左下斜线为负

§1.2 逆序数
逆序数 τ j1 , j2 , ? , jn
n 阶排列,有 n!个 偶排列,正号 奇排列,负号

§1.3 n 阶行列式的代数和

D=

a11 a21

a12 a22

? a1n ? a2n

判断逆序数的奇偶性

?????? an1 an2 ? ann

=
j 1 ,j 2 ,?,j n

?1

τ j 1 ,j 2 ,?,j n

a1j 1 a2j 2 ? anj n

n 阶排列

§1.4 行列式性质
1、行列式转置值不变: DT = D 2、k 可以乘上某行(列): kDrow i 3、加法:某行之和展开为两行列式之和: Drow (a+b) = Drow (a) + Drow (b) 4、互换两行(列):负号 Drow i ?row k = ?D 5、两行相同(成比例):零值 Drow i =k×row k = 0 6、某行乘以 k 加到另一行:值不变 Dk×row i +row k = D

~1~

§1.5 代数余子式

所在行列的和(同等于逆序数τ )

Aij = (?1)i+j Mij
代数余子式 余子式:删去 i, j 所在的行与列后得到的 n-1 阶行列式 n 阶行列式 |D| = ak1 Ak1 + ak2 Ak2 + ? + akn Akn

k = 1, 2, ? , n 即展开第 k 行(列)

§1.6 范德蒙行列式

|D| =

1 a1 2 a1
n ?1 a1

1 a2 a2 2 ? n ?1 a2

1 a3 a2 3 ? n ?1 a3

? 1 ? an ? a2 = (ai ? aj ) n ? 1 ≤j<≤ n ?1 表示所有可能的差 ? an

i>j

如:(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)

第二章线性方程组
§2.1 克莱姆法则

b1 D1 = b2 b3

a12 a22 a32

a13 i a23 D2 、D3 类似左边解集:xi = D (D ≠ 0) D a33 =
D1 D

系数行列式(b 在 1 列) 当D ≠ 0时,方程组有唯一解:x1

, x2 =

D2 D

, x3 =

D3 D

. (D ≠ 0)

该解法适用于 n 阶

只有当常数项 b 不全为零时,且 s=n 时才可用克莱姆法则

§2.2 消元法
初等变换:反复对方程进行 row 变换,最后剩下一个上三角矩阵。 如果线性方程组D ≠ 0,则初等变换后的上三角矩阵,元首都不为 0。

§2.3 数域 §2.4 n 维向量

P:包含 0、1 且任意两个数的基本运算仍属于 P。如实数 R,有理数 Q,复数 C

1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

α = (a1 , a2 , a3 , ? , an )(ε1 , ε2 , ε3 , ε4 , ) =
n 维基本向量组 数量乘积:kα 零向量:0 负向量:?α

0 0 0

行向量与列向量:αrow (column )

~2~

§2.5 线性相关

β = k1 α1 + k 2 α2 + ? + k s αs
由向量组线性表出 线性组合
充要 充要 充要

rank=n,有唯一解 rank<n,有无穷多解

线性相关

k 有解

可线性表出

系数矩阵 r = 增广矩阵 r
(β1 , β2 , ? , βn )

向量组等价:(α1 , α2 , ? , αn )

互相线性表出

k1 α1 + k 2 α2 + ? + k s αs = 0
常数项为 0 的充要条件

α 线性相关

α 线性无关
K 只有零解 D ≠0 s = n时不一定

有待更进一步补充

K 有解,且不全 0 D =0 s<n αi 都可被(α1 , α2 , ? , αn )线性表出 不可逆,因为分母不能为 0 r<n ,称退化的 特征值λ有重根,不一定相关

αi 不能被(α1 , α2 , ? , αn )线性表出 可逆 r=n 称非退化(或满秩) 特征值λ无重根一定无关

极大线性无关组:每个向量α i 都不能被前面某些向量线性表出
例(α
1

, α2 , α3 )

不能表出,即α3 ≠ k1 α1 + k 2 α2

§2.6 秩
rank=极大线性无关组的向量个数 行秩=列秩=行列式秩(D最高阶子式 ≠ 0)

§2.7 求全部解和基础解系的步骤
第一步:求梯阵 第二步:求一般解 第三步:求特解 γ0 第四步:求齐次的一般解 第五步:求基础解系 第六步:答:得全部解

详见书 P154-155 页例 6
初等变换

增广矩阵A

梯阵

求x1 , x2 , ? , xr 的一般解
注:如果是求矩阵化和求特征值,

设自由 x = 0,求γ0
n-r 个

只需求基础解系ηi ,又称特征向量

使常数 b = 0,求一般解x1 , x2 , ? , xr 将εi 代入自由 x,求基础解系η1 , η2 , ? , ηn ?r
即xr+1 , xr+2 , ? , xn ?r

εi 即 n 维基本向量组

γ = γ0 + k1 η1 + k 2 η2 + ? + k n ?r ηn ?r
全部解 特解 基础解系

~3~

第三章矩阵
附 1:矩阵名词汇总:
方阵: s=n 系数矩阵: s × n 增广矩阵: s × (n + b) 梯阵: 约化梯阵: 三角矩阵: 对角矩阵: 单位矩阵: 零矩阵: 数量矩阵: 转置矩阵: 分块矩阵: 等价矩阵: A
b 即系数
初等变换

B

左下:对角线左三角形 左下 = 0 左下 0,元首 1 左下 0,s = n Λ 除对角线,余为 0 对角线上的元素 E,对角 1 O,全 0 kE AT
? ? ? ? ?

初等矩阵: E 初等变换一次 正交矩阵: AAT = E, A = ±1 相似矩阵: A~B, B=X ?1 AX 约当形矩阵: 二次形矩阵:详看§5.1 实对称矩阵:实数,对角线对称 (半)正定矩阵:λ 全(≥) > 0 λ 即特征值 (半)负定矩阵:λ 全(≤) < 0 不定矩阵: λ 不全 > < 0 标准形矩阵:对角线 1 or 0

满秩矩阵: rank = n 逆矩阵: A?1 伴随矩阵: A?

Rank 即矩阵的秩

附 2:一般 n 维线性方程组、s×n 维矩阵、n 维向量组的表示法

f x1 , x2 , ? , xn

a11 x1 + a12 x2 + ? + a1n xn = b1 a x + a22 x2 + ? + a2n xn = b2 = 21 1 ??????????? as1 x1 + as2 x2 + ? + asn xn = bs a12 a22 ? a1n x1 ? a2n x2 ? xn b1 b2 ? bs

注:bi 全为 0 时,称齐次线性方程组 bi 不全为 0 时,称非齐次线性方程组

AX = B ?

a11 a21

?????? as1 as2 ? asn

=

注:s 为行数,n 为列数(未知数个数) 附:有的书行数用 m 表示

β = k1 α1 + k 2 α2 + ? + k n αn ? ? ? ? ? ? ? ? ?

注:这个k i 既可理解为:基础解系ηi 的系数k i α1 = a11 , a21 , ? , as1 也可以理解为:矩阵对角化后对角线的元素 λ1 α2 = a12 , a22 , ? , as2 还可以理解为:二次型 λE ? A 的特征值λ1 (同上句)

αn = a1n , a2n , ? , asn 附:本书中用拉丁字母表示向量 (或称矢量,但王老师 β 或某书中用“ = b1 , b2 , ? ,α b”表示,我认为不错,不易混淆。 s

~4~

~5~

§3.1 矩阵运算
各个元素对应相加(减) ,即aij ± bij 1、加(减)法:A ± B 性质: 交换律:A ± B = B ± A 结合律:A + B + C = (A + B) + C

2、乘法:

C=A×B

2

性质:

1 2 3 例:AB = 2 ?1 1 0 2 4

+ + ×××

0

1

=5

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ? + ain bnj

2 1 ?1 5 5 ?5 0 2 1 = 5 0 ?5 1 0 ?2 4 4 ?1

注:A 的|row|=B 的|column|

AB 不一定 = BA(当AB = BA,称可交换) AE = EA = A 结合律:A BC = AB C k 次幂:Ak ? Al = Ak+l (Ak )l = Akl 非交换律:(AB)k ≠ Ak Bk

§3.2 分块分块后矩阵的基本运算依然等价

详见书 P183 页 AB

A?B=
§3.3 逆矩阵

A1 A3

A2 B1 A 4 B3

B2 A B + A 2 B3 = 1 1 B4 A3 B1 + A4 B3

A1 B2 + A2 B4 A 3 B2 + A 4 B4

伴随矩阵:A

?

=

A11 A12

A21 A22

? An1 ? An2

1、求 aij 的代数余子式 Aij 2、对应的元素要转置

??????? A1n A2n ? Ann
求逆公式:A?1

=

1 |A|

A?

§3.4 等价矩阵
等价矩阵:A
初等变换

B

初等矩阵:由 E 做 1 次初等变换 标准形:同时做行、列变换,对角线为 1 的个数=r 用单位矩阵求逆:[AE]
行变换

[EA?1 ]

附:这是一个求逆的简便方法,但易出错, 3 阶矩阵建议用求逆公式。

~6~

§3.5 正交矩阵
性质:AA
T

= A A = E|D| = ±1

T

α, β = a1 b1 + a2 b2 + ? + an bn = 0
向量组的内积 内积公式

1 2 1 例: 2 1 2 又称正交向量组, 1 α, β一定线性无关 2

1 2 1 2 1 ? 2 1 ? 2

2 2 2 2 0 0

0 0 2 2 2 2

任意两行或列的内积必为 0

内积性质:

分配律: α + β ? γ = α, γ + β, γ 结合律: α, β γ = α(β, γ) 交换律:αβ = βα

正交化: β1 = α1

α1 , α2 , ? , αn 线性无关,求正交化的β1 , β2 , ? , αn 的公式 详见书 P219 页例 1

α2 , β1 β β1 , β1 1 α2 , β1 α3 , β2 β3 = α3 ? β1 ? β β1 , β1 β2 , β2 2 β2 = α2 ? βs = αs ? 单位化: β ηi = i |β i |
α 2 ,β 1 β 1 ,β 1

施密特正交化方法
α s ,β s ?1 β s ?1 ,β s ?1

β1 ?

α 3 ,β 2 β 2 ,β 2

β2 ? ? ?
正交向量组

βs ?1

(s = r)

附:由于向量通常是指列向量, 如把βs 改βn 更易理解,谨记!

(又称归一化)

注:|βi | =

β1 , β1
β3 α3

正交单位向量组

这里我设ηi = (h1i , h2i , ? , hsi ),数学中并没有明确规定符号

第四章矩阵的对角化
§4.1 相似矩阵

附:正交化向量 关系图 0 c32 c3 c2 c31 β2

A~B

B = X ?1 AX

1、反身性:A~A 2、对称性:A~B → B~A 3、传递性:A~B, B~C → A~C 4、行列式等值: A = |B| 5、同时可逆 or 不可逆 6、B1 + B2 = X ?1 (A1 + A2 )X 7、B1 B2 = X ?1 (A1 A2 )X 8、kB1 = X ?1 (kA1 )X 9、f(B) = X ?1 f(A)X 10、kE = X ?1 (kE)X

α2 α1 = β1 β2 = α2 ? c2 ,且有矩形0β2 α2 c2

11、有相同的特征多项式 12、有相同的特征值 13、有相同的迹(即对角线元素个数)

β3 = α3 ? c3 ,且有矩形0β3 α3 c3

对角矩阵: 准对角矩阵:

a1 , a2 , a3 , ? , an A1 , A2 , A3 , ? , An
注:这里的 Ai 是指分块矩阵,不是代数余子式 ~7~

§4.2 特征值和特征向量

A α = λ0 α
n 阶矩阵 特征向量 特征值 详见书 P241 页例 1

求全部特征向量的步骤:
第一步:列出特证多项式
特征多项式

λ ? a11 ?a21

a12 λ ? a22

? ?

?a1n ?a2n = (λ1 ? d1 )(λ2 ? d2 ) ? (λ3 ? dn )
di 是系数

f λ = λE ? A =
特证值(根) 特征矩阵

?an1
第二步:求λ 的解 第三步:求基础解系


?????? ?an2 ? λ ? ann

注:考虑是在 Q、R、C 数域范围内,特征根的个数不同

将λi 代入 λE ? A ,求基础解系

见§2.7 第五步

第四步:答:得特征向量

属于λ1 的特证向量:k1 α1 + k 2 α2 + ? 属于λ2 的特证向量:l1 β1 + l2 β2 + ?

等价于基础解系,只是表示方法略不同

§4.3 对角化条件 A 与对角矩阵相似,称 A 对角化

A

B=X ?1 AX

条件

注:X,即 A 的特征向量构成的矩阵,X 不是唯一的。

B
一定是对角形矩阵

充要: 有 n 个线性无关的特征向量

充要:有 n 个线性无关的特征向量, 即 n 个不同的特特征值 X 即 A 的特征向量构成的矩阵
详见书 P257 页例 1

§4.4 实对称矩的对角化 求正交矩阵 T 的步骤
第一步:求特征值 第二步:求λ1 的特征向量

任何实对称矩阵都可以对角化

即 λE ? A ,求λ

见§4.2 见§2.7 第五步

λ1 代 λE ? A ,求基础解系α1
见§3.5

第三步:求特征向量α1 的正交化β1 , β2 , ? , βn 第四步:求单位化η1 , η2 , ? , ηn
见§3.5

第五步:重复第二、三、四步,with λ2 , λ3 , ? , λn h11 h ? ηn = 21 ? hn1 h12 h22 ? hn2 ? h1n ? h2n ? ? ? hnn

第六步:得正交矩阵 T= η1

η2

注:有时候会有重复个相同的特征 值的特征向量

~8~

第五章二次型
§5.1 二次型及矩阵表示
二次齐次多项式
2 f x1 , x2 , ? , xn = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + ? + 2a1n x1 xn = 2 +a22 x2 + ? + 2a2n x2 xn +?????? 2 +ann xn

设aij = aji ,得(注:系数是左等式的一半)
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + ? + a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 + a22 x2 + ? + a2n x2 xn = +????????????? 2 +an1 xn x1 + an2 xn x2 + ? + ann xn n n

aij xi xj
i=1 j=1

= X T AX = x1 , x2 , ? , xn

a11 a21

a12 a22

? a1n ? a2n

x1 x2
这 A 是二次型矩阵, 且一定是对称矩阵

? ?????? an1 an2 ? ann xn

合同矩阵:A 性质:

? B即B = CT AC

注:合同的不一定相似

1、反身性:A ? A 2、对称性:A ? B → B ? A 3、传递性:A ? B, B ? C → A ? C 4、 B = C 2 A

§5.2 正交替换化为标准形步骤
详见书 P275-277 页例 1

第一步:化为二次形矩阵 第二步:求特征值λ1 第三步:求基础解系 第四步:求正交化和单位化

将二次齐次多项式写成二次形矩阵 求 λE ? A 的特征值λ1 见§4.2

λ1 代入 λE ? A 求基础解系见§2.7
见§3.5

第五步:重复三、四步,with λ2 , λ3 , ? , λn 第六步:将全部单位化向量表示为正交矩阵 T

x1 = a11 y1 + a12 y2 + ? + a1n yn x2 = a21 y1 + a22 y2 + ? + a2n yn 第七步:答:得X = TY → ??????????? xn = an1 y1 + an2 y2 + ? + ann yn
2 第八步:答:得标准形:λ1 y1 2 2 + λ2 y2 + ? + λn yn

注:数学中没有明确规定单位化 向量中元素的符号,如将aij 改hij 将便于与§4.2 理解

这是标准形,是平方和形式

~9~

§5.3 非退化线性为标准形(略)
A E

详见书 P278 页整节 注意: 用非退化线性求出来 的矩阵与原矩阵是合同关 系,非相似! ! !



Λ T

方法:先做列变换,后做对称的行变换(先列后先,这称 一个变换周期) ,直到使 A 为对角矩阵,则 T 即使 X=TY 方法:方法同上,但是先行后列,且最后得到的 T 要转置

A|E → Λ|T
§5.4 规范形 任意二次型 任意二次型
都可替换为

标准形 规范形

一定是对角矩阵,且不是唯一的,原二次型 r=对角非零元素个数

都可替换为

一定是对角矩阵,是唯一的,原二次型 r=对角非零元素个数

2 2 2 2 2 z1 + z2 + ? + zp ? zp+1 ? ? ? zr

这是规范形,是平方和形式 注:规范形由zi

正惯性指数:即 p 负惯性指数:即 r-p 符号差:即两个相减,正惯性指数-负惯性指数 §5.5 正定二次型
充要条件: 1、其标准形的系数 λi > 0 2、其规范形的正惯性指数

=

λi yi 得来,去掉 0 元素

3、有可逆矩阵 C,使二次型 4、二次型的特征值 λi > 0 注:这和第 1 点是同一个概念 5、所有的主子式 |M| > 0 注:有的书称为顺序主子式,即从a11 → aii 所构成的行列式值 正定矩阵:即 负定矩阵:即 半正定矩阵:即 半负定矩阵:即 不定矩阵:即

p=r A = CT C

λi λi λi λi λi

>0 所有的主子式|M| > 0 <0 所有的奇阶主子式|M| < 0且偶阶主子式|M| > 0 ≥0 ≤0 > < 0

第八章线性空间
§8.1 定义与性质
线性空间条件α?β 性质: 1、交换律:α?β = β?α 2、结合律:(α?β)?γ = α?(β?γ) 3、零 律:α?Ο = α 注:Ο 元素不一定是 0 4、负 律:α?β = Ο 注:β 即 ? α 5、壹 律: 1?α= α 6、结合律: k l ? α = (kl) ? α 7、向量分配律: k + l ? α = k ? α?l ? α 8、数量分配律: k ? α?β = k ? α?k ? β

= γδ = k ? α

α, β, γ, δ ∈ Vk, l ∈ P 称 V 为数域 P 上的线性空间

注:”?”即向量加法,”?”即向量乘法,但这只是为了区别通常加(乘)法,所以有时用普通符号”+”,”× ”,”?”表示也可以的。

~ 10 ~

求 V 是否为线性空间的方法: 1、根据题目给定的向量加法和数乘的定义 2、证明在该定义下 V 都符合以上 8 个性质
△这个证明需要多做题练习掌握

§8.2 向量组的线性关系
系数

性质推广: 1、α?β? … ?η,其加法不计先后 2、Ο是唯一的 3、?α由α唯一确定 4、α?β = α?γ则β = γ 5、k = 0或α = Ο时,充要kα = Ο 6、(?k)α = ?kα αi ∈ V ki ∈ P
重述一些符号定义: 0、a, b, c,?表元素 1、k, l, m,?表系数 2、α, β, γ,?表向量 3、x, y, x,?表未知数 4、下标 1, 2, 3,?表第几个数 5、下标 i, j ,k,,?表任一个数 6、下标 s, m ,n,?表总个数

β = k1 α1 + k 2 α2 + ? + k s αs
由α1 , α2 , … , αn 线性表出 线性组合

性质: (即总结上册所有知识) 1、任一αi 都可由α1 , α2 , … , αs 线性表出,则线性相关 2、k i 不全为 0,使k1 α1 + k 2 α2 + ? + k s αs = 0成立,线性相关;反之k i 为 0 时等式才成立,线性无关 3、向量组有Ο零向量,则线性相关
4、部分向量组线性相关,则向量组也线性相关 5、至少有一α1 可由其余向量线性表出,则线性相关(注意区分第 1 点) 6、α1 , α2 , … , αs 线性无关,但β可由其线性表出,则α1 , α2 , … , αs , β线性相关 7、 D = 0,则线性相关; D ≠ 0,则线性无关 8、α1 , α2 , … , αs

β1 , β2 , … , βs ,称等价的 9、α1 , α2 , … , αs 可由β1 , β2 , … , βt 线性表出,且s > t,则α1 , α2 , … , αs 线性相关 如果α1 , α2 , … , αs 是线性无关,那么s ≤ t 10、在α1 , α2 , … , αs 中,部分向量组线性无关,但添加其余向量后线性相关,称极大线性无关组 11、α1 , α2 , … , αs 都可由部分向量组(线性无关)线性表出,后者称极大线性无关组 12、β1 , β2 , … , βs 中,每个βi 不能被β1 , β2 , … , βi ?1 (即βi 前面向量组)线性表出,线性无关(βi ≠ 0 且 i ≥ 2)
13、向量组中,任一极大线性无关组
等价

互相线性表出

原向量组

等价

另一个极大线性无关组

14、线性无关组,其秩r = s 15、α1 , α2 , … , αs 可由β1 , β2 , … , βt 线性表出,则秩r(α) ≤ r(β)相等; 向量组等价,则秩r相等; 秩r相等且αi 可由β1 , β2 , … , βt 线性表出,则向量组等价。

§8.3 维数、基、坐标
n 维线性空间:V 中有 n 个向量线性无关,但当 n+1 个向量时线性相关 无限维线性空间:V 中有任意多个线性无关的向量 零空间:维数n = 0 V 是 n 维的条件:V 中任意向量都可由α1 , α2 , … , αn 线性表出
坐标 注: 此定义雷似极大线性无关组

α = a1 ε1 + a2 ε2 + ? + an εn
V 的任意向量
矩阵表示 换个字母

附加说明:对于这种常见的线性表出,已出 现多次,它们的性质意义是一样的,只是叫 基 法不同,应该提升到一个规律性的认识。 为书写简便, 定义符号: (自创, 考试勿用)

ξ = ε? x ?
基 坐标

′ = ε′? x?
另组基 另组坐标

V 中任意向量

x?

x1 表 示 x2 ? xn



x?

表 示

~ 11 ~

x1 x 2 ? x n

§8.4 基变换与坐标变换
基变换存在如下关系:
′ ε1 = a11 ε1 + a21 ε2 + ? + an1 εn ′ ε2 = a12 ε1 + a22 ε2 + ? + an2 εn ??????????? ′ εn = a1n ε1 + a2n ε2 + ? + ann εn

矩阵表示

′ ′ ′ ε1 ε2 ε3 = ε1 ε2 ε3

a11 a21

a12 a22

? ?

a1n a2n



另组基

?????? as1 as2 过滤矩阵 ? asn T

简写

ε′? = ε? T

推出

ε? = ε′? T ?1

基变换公式

称由基ε1

′ ′ ′ ε2 ε3 的过渡矩阵T ε2 ε3 到另一组基ε1

坐标变换存在如下关系: 详见书 P163-165 例 2

x?

′ = T x?
过渡矩阵 另组坐标

推出

坐标

′ x? = T ?1 x?

坐标变换公式 △注意不是
′ x? T,不满足交换律

性质总结: 1、 α? = ε? T,则 ε? = α? T ?1 2、 α? = ε? A且 β? = α? B,则 β? = ε? AB 3、 α? = ε? A且 β? = ε? B,由 ε? = α? A?1 ,得 β? = α? A?1 B
详见书 P163-165 例 2

第九章线性变换
§9.1 定义与性质

T α+β =T α +T β
线性变换 加法 数乘 系数 向量

(α, β ∈ V , k ∈ P)

证明等式左边=右边, 则称等式是一个线性变换

T kα = kT α
推广:

E α =α O α =O Tθ α =

恒等变换 零变换

α → kα数乘变换,记作kE

当k = 1,恒等变换; k = 0,零变换 (以原点旋转θ度,如图)

y y′ = xsinθ + ycosθ y

x′ cosθ ?sinθ x = 二维坐标变换 y y′ sinθ cosθ
′ ′′′′′′′′

α′(x′, y′) α(x, y)

Df x = f ′′′′′′ A X = AX §9.2 运算

′ x 求导数变换
矩阵变换

θ
0 x x x = xcosθ ? ysinθ


1、 A + B α = A α + B α 2、 A + B α + β = A α + β + B α + β = A + B α + A + B β 3、 A + B kα = A kα + B kα = k[ A + B α ]
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§9.3 线性变换的矩阵

T x1 , x2 , … , xn = (f1 , f2 , … , fn )

线性变换表示公式,例:T x1 , x2 , x3 = (x1 , 2x2 , x1 + x3 )

Tε1 = a11 ε1 + a21 ε2 + ? + an1 εn Tε2 = a12 ε1 + a22 ε2 + ? + an1 εn 矩阵表示 Tε Tε Tε = ε1 ε2 ε3 1 2 n ?????????????? Tεn = a1n ε1 + a2n ε2 + ? + ann εn

a11 a21

a12 a22

? ?

a1n a2n

?????? an1 as2 ? ann
称T在基ε1 , ε2 , … , εn 下的矩阵 A

注 意 转 置

简写

T ε? = Tε? = ε? A
线性变换 线变的表示矩阵 基 T在基下的矩阵 A

注: 写成

Tε?

= AT ε?

也可以

这是老师的写法

例: 1

ε1 ε2 ε3 1 1 0 1 0 0

Tε1 Tε2 Tε3 3 ?3 0 1 = 1 0

ε1 ε2 ε3 1 1 0


1 0 1

3 6

3 5

3 1

T

1 1

=

?3 ?3 1 3 3 3

?6 ?6 ?2

线性变换T ε1 , ε2 , ε3 = 2ε2 + ε3 , ε1 ? 4ε2 , ε1

T的矩阵表示 (同时也是另一组基)

T在基下的矩阵 A (同时也是过渡矩阵)

推广

A = ε?

?1

Tε?

高等代数的意义:
1) 打好基础增进素质高等代数的基础理论和方法,不仅是学习代数后继课程的基础,而且也是学习微分方程,计算数学,数学模型,泛函分析, 微分几何,微分流形,一般拓扑,概率统计,线性规划等基础数学、计算数学、应用数学、随机数学诸课程的基础.因此,理解高等代数的思想, 掌握其基础理论和方法,在学习中加强辩证思维、抽象思维和逻辑推理的训练,大家不仅能够打好基础,而且还能增进自身的数学素质,使自己在 将来成为一个名符其实的数学工作者. 2) 联系中数服务未来高等代数与中学数学的联系使得它的一些内容对中学数学教学有居高临下的指导作用,中学数学中的某些原型对于克服代数概 念抽象、 证题难以入手等难点有时也颇有价值, 在学习中要注意加强这方面的联系, 这对于大部分的同学将来从事中学数学教学工作是十分有益的. 3) 起飞平台开拓发展《人人关心数学教育的未来》中有这么一句话: “大学数学为许多领域的专业提供坚实的起飞平台. ”在 21 世纪,大学数学不 再是纯粹为培养未来数学家而设立的专业,更主要的是为培养各级各类数学教师和高层次人才打基础的.掌握大学数学的人,将在计算机、自动控 制、系统规划、现代经济管理等诸多领域发挥积极作用,随着知识产业化的进程,高等代数的知识,数学的理论和方法将越来越显示出强大的经济 效用和社会效益. 4) 美化心灵和谐文明数学是美的,作为数学各专业基础课的高等代数也是美的,在教学中同学们将感受到简洁、清晰、对称、奇异的代数“画面” , 享受学习进程中的快乐.为此,重视标准形等的运用和学习引导,可以加强数学美的效果.数学的美是心灵深处的美,它对于培养人们美的情操, 开发个人智能,构建现代和谐文明都将发挥积极的作用. 总之,学习高等代数有着深刻的基础、应用、素质意义和价值。

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