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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.3 分层抽样课件 新人教A版必修3

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成才之路 · 数学
人教A版 · 必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
统计

第二章
2.1 随机抽样

2.1.3 分层抽样

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后精练

预习导学

●课标展示 1.理解分层抽样的定义及其步骤. 2 .掌握分层抽样的适用条件,能利用分层抽样抽取样 本.

●温故知新 旧知再现 1 .简单随机抽样和系统抽样两种抽样方法都适合总体中 个体分布较为均匀的总体的抽样问题,简单随机抽样适合个体 较少 的总体的抽样,而系统抽样适合个体 _______ 较多 的总体 ________ 的抽样.

但是,当总体中的个体之间差异较大,分成具有明显差异 的几部分时,如果利用上述两种抽样的方法都不能保证抽出的 样本具有很好的代表性,这就迫切需要一种更为合理的抽样方 分层 法,就是本节要学习的__________ 抽样.在学习过程中,一是

要把握分层抽样方法的特点;二是要与前面的两种抽样方法对
比学习,加深对三种抽样方法的理解.

2.某厂共有64名员工,准备选择4人参加技术评估.现将
这64名员工编号,准备运用系统抽样的方法抽取,已知 8 号, 24 号, 56 号在样本中,那么样本中还有一个员工的编号是 ( ) A.35 B.40

C.45
[答案] B

D.50

[解析] 由系统抽样中样本的编号是等距的,且间距k= 64 4 =16,可知另一个员工的编号为24+16=40.

3 .将参加数学夏令营的 100 名同学编号为 001,002 ,?, 100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为 25的样本,且第一段 中随机抽得的号码为 004 ,则在 046 至 078 号中,被抽中的人数 为

[答案] 8
[解析] 抽样距为4,第一个号码为004,故001~100中是4 的 整 数 倍 的 数 被 抽 出 , 在 046 至 078 号 中 有 048,052,056, 060,064,068,072,076,共8个.

新知导学 1.分层抽样 互不交叉 的 (1) 定义:一般地,在抽样时,将总体分成 __________ 比例 ,从各层_______ 独立 地抽取一定数量 层,然后按照一定的_______ 合在一起 作为样本,这种抽样的 的个体,将各层取出的个体__________ 方法是一种分层抽样.

(2)步骤: 某种特征 将总体分成若干部分(层); ①分层:按__________ 抽样比 确定每层抽取个体的个数; ②按__________ 简单随机抽样 或__________ 系统抽样 的方法抽取样 ③各层分别按______________

本;
④综合每层抽样,组成样本.

[破疑点]
以下要求:

分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循

(1)分层:将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每 层的各个个体互不交叉,遵循不重复、不遗漏的原则. (2)分层抽样为保证每个个体都等可能入样,需遵循在各层

中进行简单随机抽样或系统抽样,每层样本数量与每层个体数
量的比和样本容量与总体容量的比相等. (3) 当总体由差异明显的几部分组成时,往往采用分层抽 样.

2.三种抽样方法的区别与联系 为了方便使用,这里以表格的形式给出三种抽样方法的对 比:
类别 共同点 各自特点 从总体中 逐个抽取 将总体均分成几 部分,按预先确 定的规则分别在 各部分抽取. 在起始部分 抽样时,采 用简单随机 抽样. 在各层抽样 时,采用简 单随机抽样 或系统抽样. 相互联系 适用范围 总体中的个 体数较少.

简单 随机 抽样 系统 抽样

分层 抽样

(1)抽样过程中 每个个体被抽 到的可能性相 等. (2)每次抽出个 体后不再将它 放回,即不放 回抽样.

总体中的个 体数较多. 总体由差异 明显的几部 分组成.

将总体分成几 层,在各层中按 同一抽样比抽样.

●自我检测
1 .某校高三年级有男生 500 人,女生 400人.为了解该年 级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽 取20人进行调查,这种抽样方法是( A.简单随机抽样法 ) B.抽签法

C.随机数表法
[答案] D [解析]

D.分层抽样法

样本由差异明显的几部分组成,抽取的比例由每

层个体占总体的比例确定,即为分层抽样法.

2 .有一批产品,其中一等品 10 件,二等品 25 件,次品 5 件.用分层抽样从这批产品中抽出 8 件进行质量分析,则抽样 比为________. [答案] 1 5 5 2 2.

[ 解析 ]
故抽样比为1

一、二、三等品的比例为 10 25 5 = 1 5 2 ,

3.(2014·天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会
实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的 本科生中抽取一个容量为 300的样本进行调查.已知该校一年 级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 6,则应从一年级本科生中抽取________名学生. 5 5

[答案] 60
4 [解析] ∵300× =60,∴取60人. 4+5+5+6

互动课堂

●典例探究
分层抽样的概念
(1)如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中 抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被抽到的可能性为 ( ) 1 A.N n C.N 1 B.n N D. n

(2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是(
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

)

B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭 125个,中等 收入的家庭 280 个,低收入的家庭 95 个,为了了解生活购买力 的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本

C.从1000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量 [分析] 1.分层抽样是等可能抽样吗? 2.分层抽样的适用范围是什么?

[解析] (1)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性为 n 样本容量与总体容量比,即为N. (2)A中总体个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机 抽样;C和D中总体个体无明显差异且个数较多,适合用系统 抽样;B中总体个体差异明显,适合用分层抽样.
[答案] (1)C (2)B

规律总结:分层抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提:分层抽样使用的前提是总体可以分层,层与层之 间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的个体 数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取. (2)遵循的两条原则:

①将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各
个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则; ②分层抽样为保证每个人体等可能入样,需遵循在各层中 进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽 样比.

(1)(2014· 湖南 ) 对一个容器为 N 的总体抽取容量为 n 的样 本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法 抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1 , p2 、 p3,则( )

A.p1=p2<p3
C.p1=p3<p2

B.p2=p3<p1
D.p1=p2=p3

(2)(2013·湖南)某学校有男、女学生各500名.为了解男、 女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全 体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 ( )

A.抽签法
C.系统抽样法 [答案] (1)D (2)D

B.随机数法
D.分层抽样法

[解析]

(1)根据随机抽样的原理可得简单随查抽样,分层

抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1 =p2=p3,故选D. (2)由于被抽取的个体的属性具有明显差异,所以宜采用分

层抽样法.

分层抽样各层中样本容量的计算
(2010· 四川)一个单位有职工800人,其中具有高 级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200 人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽 样的方法,从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽 取的人数分别是( A.12,24,15,9 C.8,15,12,5 ) B.9,12,12,7 D.8,16,10,6

[答案] D

[解析] 由题意,各种职称的人数比为160∶320∶200∶ 120=4∶8∶5∶3,所以抽取的具有高、中、初级职称的人数 4 8 5 和其他人员的人数分别为40× 20 =8,40× 20 =16,40× 20 = 3 10,40×20=6.

规律总结: 在实际操作时,应先计算出抽样比k=
样本容量 ,获得各层入样数的百分比,再按抽样比确定每层需 总体容量 样本容量 要抽取的个体数:抽样比×该层个体数目= ×该层个 总体容量 体数目.

(1)(2014· 重庆 ) 某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,
为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取 一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )

A.100
C.200

B.150
D.250

(2)(2014· 江西 ) 甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质 量检测,若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的 产品总数为________件.

[答案] (1)A (2)1800

70 3500 [解析] (1)由已知得: n = 解得n=100,故选 3500+1500 A. 80 (2)设乙设备生产的产品总数为x件,由已知得: 4800 = 50 解得x=1800. 4800-x

分层抽样的操作步骤
一个单位有职工160人,其中有业务人员112 人,管理人员16人,后勤服务人员32人,为了了解职工的某种 情况,要从中抽取一个容量为20的样本,写出用分层抽样的方 法抽取样本的过程.

[分析]

分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来

分配,确定各层抽取的个体数之后,可采用简单随机抽样或系

统抽样在各层中抽取个体.

[解析]

三 部 分 所 含 个 体 数 之 比 为 112∶16∶32 =

7∶1∶2 ,设三部分各抽个体数为 7x , x,2x ,则由 7x + x + 2x = 20得x=2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分 别为14,2和4.

对 112 名业务人员按系统抽样分成 14 个部分,其中每个部
分包括 8个个体,对每个部分利用简单随机抽样抽取个体.若 将160名人员依次编号为1,2,3,?,160.那么在1~112名业务人 员中第一部分的个体编号为1~8.从中随机取一个号码,如它是 4 号,那么可以从第 4 号起,每隔 8 个抽取 1 个号码,这样得到

112 名 业 务 人 员 被 抽 出 的 14 个 号 码 依 次 为 4,12,20,28,36,
44,52,60,68,76,84,92,100,108. 再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码. 将以上各层抽出的个体合并起来,就得到容量为 20 的样 本.

规律总结:分层抽样的注意事项
分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样 方法,进行分层抽样时应注意以下几点: (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总 的原则是,层内样本的差异要小,各层之间的样本差异要大,

且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样 比,等可能抽样. (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法 进行抽样.

[特别提醒]

保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、

系统抽样、分层抽样共同的特征,为了保证这一点所有层按同 一抽样比,等可能抽样.

某政府机关有在编人员 100 人,其中科级以上干部 10 人, 科员70人,办事员20人.上级机关为了了解他们对政府机构改 革的看法,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方 法抽取,并写出具体的抽样过程.

[解析] 因为个体差异较大,而且机构改革关系到各人的 不同利益,故采用分层抽样法抽取. 抽样过程如下: 20 1 第一步,确定抽样比:100=5.

第二步,确定各层抽取的人数: 1 从科级以上干部中抽取10×5=2(人); 1 从科员中抽取70×5=14(人); 1 从办事员中抽取20×5=4(人). 第三步,在各层中分别用简单随机抽样抽取,抽取科级以 上干部2人,科员14人,办事员4人. 第四步,将所抽取的个体组合在一起构成样本.

三种抽样方法的比较
(2013· 新课标全国Ⅰ)为了解某地区的中小学生 的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视 力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽 样方法中,最合理的抽样方法是( A.简单随机抽样 )

B.按性别分层抽样

C.按学段分层抽样 D.系统抽样 [分析] 根据小学、初中、高中三个学段学生的视力差异

性比较大和男女生视力差异性不大可确定抽样方法.

[解析]

由于该地区的中小学生人数比较多,不能采用简

单随机抽样,所以排除选项 A;由于该地区小学、初中、高中 三个学段学生的视力情况有较大差异,可采取按照学段进行分 层抽样,而男女生视力情况差异不大,不能按照性别进行分层

抽样,所以排除B和D.
[答案] C

规律总结:抽样方法的选取方法
(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层抽样. (2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样

或系统抽样.
当总体容量较小时宜用抽签法;当总体容量较大,样本容 量较小时宜用随机数表法;当总体容量较大,样本容量也较大 时宜用系统抽样.

某社区有700户家庭,其中高收入家庭225户,中等收入家
庭 400 户,低收入家庭 75 户.为了调查社会购买力的某项指 标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,记作①;某中学高 二年级有 12 名篮球运动员,要从中选出 3 人调查投篮命中率情 况,记作②;从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 40 辆测试某项性 能,记作③ . 为完成上述三项抽样,则应采取的抽样方法是 ( )

A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①分层抽样,②简单随机抽样,③系统抽样 C.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样

[答案] B

[解析]

对于①,总体由高收入家庭、中等收入家庭和低

收入家庭差异明显的三部分组成,而所调查的指标与收入情况 密切相关,所以应采用分层抽样; 对于②,总体中的个体数较少,而且所调查内容对12名调

查对象是平等的,应采用简单随机抽样;
对于③,总体中的个体数较多,且个体之间差异不明显, 样本中个体数也较多,应采用系统抽样.

规律总结: 抽样方法的选择要结合三种抽样方法的

特点去比较,明确它们各自的特点以及在抽样过程中的可操作
性,由明显差异的几部分组成时,要选用分层抽样.

●误区警示 某单位有老、中、青年人各32人,50人,20 人,现用分层抽样从三个群体中共抽取20人进行某项调查, 问:老、中、青每组应各抽取多少人?每人被抽中的机会是否 相等?

[错解]

按分层抽样的要求,可先从老年人中用随机抽样

法剔除2人,使三个群体的人数比为3∶5∶2,则共抽20人进行 调查,三组中各抽取人数为6人,10人,4人;但由于老年组中 先剔除 2 人,没有参与后面的抽取,因此每人抽中机会不相 等.

[错因分析]
[正解]

由于剔除的2位老人是随机剔除的,因而老年

人中每人被抽中的机会仍相等. 先从老年人中随机剔除2人,余下的三个群体人数 比 为 3∶5∶2 , 从 三 组 中 各 抽 取 人 数 分 别 为 6 人 , 10 人 , 4 人.每人被抽中的机会相等.

某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调
查,参加调查的总人数为 12000 人,其中持各种态度的人数如 下表所示: 很喜爱 2435 喜爱 4567 一般 3926 不喜爱 1072

电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中
再抽取60人进行更为详细的调查,各种态度应抽取的人数分别 为________.

[分析]

总体中人数较多且观众寺不同的态度 →应采用分

层抽样的方法
60 [解析] 采用分层抽样的方法,抽样比为12000. 60 “很喜爱”的有2435人,应抽取2435×12000≈12(人); 60 “喜爱”的有4567人,应抽取4567×12000≈23(人);

60 “一般”的有3926人,应抽取3926×12000≈20(人); 60 “不喜爱”的有1072人,应抽取1072×12000≈5(人). 因此,采用分层抽样的方法在“很喜爱”、“喜爱”、 “一般”、“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人和 5人.
[答案] 12、23、20、5

规律总结: 在分层抽样中,确定抽样比k是抽样的

n 关键.一般地,抽样比k= N (N为总体容量,n为样本空但),再 按抽样比k在各层中抽取个体,就能确保抽样的公平性. 在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进 行.

随堂测评

1.分层抽样适合的总体是( A.总体容量较多 C.总体中个体有差异 [答案] C

)

B.样本容量较多 D.任何总体

2.(2013·湖南高考 )某学校有男、女学生各500名.为了 解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟 从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法 是( )

A.抽签法
C.系统抽样法 [答案] D

B.随机数法
D.分层抽样法

3.(2011·福建高考)某校选修乒乓球课程的学生中,高一
年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名 学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名, 则在高二年级的学生中应抽取的人数为( A.6 B.8 )

C.10
[答案] B

D.12

30 6 [解析] 设在高二年级学生中抽取的人数为x,则 40 = x , 解得x=8.

4.(2013·湖南)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种 产品,数量分别为 120 件, 80件, 60 件.为了解它们的产品质 量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n的 样本进行调查 ,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n =

(

)
A.9 C.12 B.10 D.13

[分析]

利用抽样比等于某层抽取的个体数与该层的个体

总数之比,列方程可求出n. [答案] D

3 n [解析] 由分层抽样可得,60=260,解得n=13.

5.从某地区15

000位老人中按性别分层抽取一个容量为 男 178 23 女 278 21

500的样本,调查其生活能否自理的情况如下表所示. 性别人数生活能否自理 能 不能 ( ) A.60 C.1 500 B.100 D.2 000

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为

[答案] A

23-21 [解析] 由分层抽样方法知所求人数为 500 ×15 000= 60.

6 .一个单位有职工 160 人,其中业务人员 120 人,管理人
员16人,后勤服务人员24人.为了了解职工的家庭收入情况, 要从中抽取一个容量为20的样本,请确定抽样方法,并简述抽 样过程. [分析] 由于不同层次人员的收入有着较大的差异,因此

宜采用分层抽样抽取样本.
[解析] 用分层抽样抽取样本,步骤是: (1)分层,分成三层:业务人员 120人,管理人员16人,后 勤服务人员24人.

20 1 (2)确定各层抽取的样本个数,抽样比为160=8. 1 则从业务人员中抽取120×8=15(人). 1 从管理人员中抽取16×8=2(人). 1 从后勤服务人员中抽取24×8=3(人). (3)在各层中分别用简单随机抽样或系统抽样抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本.


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