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2012广州市二模文科数学

时间:2013-06-05


试卷类型:A

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 满足 A ? ?1,2? ,则集合 A 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D.1

2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为 A. 2 3.已知双曲线 x ?
2

B. ?2

C. 2 或 ?2

D. ? 2 或 0

y2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 m
B.

A. 4

1 4

C. ?

1 4

D. ?4

4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 1,其中甲班学生的 平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x ? y 的值为 A. 7 C. 9 B. 8 D. 10
8 5 x 6

甲 9 0 2 7 8 9 图1

乙 6 1 1 1 y 1 6

5.已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , , OC ? ? m, m ? 1? ,若 AB / /OC ,则实数 m 的 值为 A. ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

3 2
x

B. ?
?x

1 4

C.

1 2

D.

3 2

6.已知函数 f ? x ? ? e ? e 值为 A. ?1 ? e

?1 (e 是自然对数的底数),若 f ? a ? ? 2 ,则 f ? ?a ? 的
C.e D. 1 ? e

B. ? e

7. 已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 A. m ? l , l // ? , l // ? B. m ? l , ? ? ? ? l , m ? ?

1 /4

C. m // l , l ? ? , m ? ? 8.下列说法正确的是 A.函数 f ? x ? ?

D. m // l , m ? ? , l ? ?

1 在其定义域上是减函数 x
2 2

开始

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” k ? 1, S ? 0 D.给定命题 p 、 q ,若 p ? q 是真命题,则 ? p 是假命题 9.阅读图 2 的程序框图, 该程序运行后输出的 k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 已知实数 a , b 满足 a ? b ? 4a ? 3 ? 0 ,
2 2

S ? 50




输出 k

S ? S ?k
结束

函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ? 1 的最大值记为 ? ? a, b ? , 则 ? ? a, b ? 的最小值为 A. 1 C. 3 ? 1 B. 2 D. 3 图2

k ? k ?1

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

.

1 2 A 3 4 图3 B

12.如图 3, A, B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过 的最大信息量分别为 1, 2,3, 4 .从中任取两条网线,则这两条 网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点, OP ? 点 M ? ?1,0? ,则 cos ?OPM 的取值范围是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) .

, 2 (点 O 为坐标原点) .

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC ( 顶点 A , B, C 按顺时

针方向排列 ) 的顶点 A, B 的极坐标分别为 ? 2,

? ?

?? ?

7? ? , ? 2, 6? ? 6

? ? ,则顶点 C 的极坐标 ?

为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C ,

D

2 /4

A O

B

C

使 BC ? 2OB , CD 是圆 O 的切线,切点为 D ,连接 AD , BD , 则

AD 的值为 BD

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,且 f ?

?? ? 1 ?? , ?2? 3

?? ? 2 f ? ? ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ?2? 3

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示: 食物类型 维生素 C (单位/kg) 维生素 D (单位/kg) 成本(元/kg) 甲 300 700 5 乙 500 100 4 丙 300 300 3

某工厂欲将这三种食物混合成 100 kg 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为 x kg、 y kg、 z kg. (1) 试以 x 、 y 表示混合食物的成本 P ; (2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D ,问 x 、 y 、 z 取什 么值时,混合食物的成本最少? 18. (本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN ? ABCD , 下半部分是长方体 ABCD ? A B1C1D1 (如 1 图 5). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6, 其中正(主)视图由正方形和等 腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM ? 平面 CDMN ; (3)求该建筑物的体积.

2

M D A

N C B
3 /4

1

1

4

4

19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F , 1 直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方 程及点 P 的坐标.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n?N ,都有 an ? 0 且 Sn ?
*

? an ? 1?? an ? 2 ? ,
2

令 bn ?

ln an?1 . ln an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)使乘积 b1 ? b2 ????? bk 为整数的 k (k ? N ) 叫“龙数” ,求区间 ?1, 2012? 内的所有
*

“龙数”之和;

4 /4

(3)判断 bn 与 bn ?1 的大小关系,并说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x , a ?R. 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.

5 /4

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ? ?3,1? 12.

1 3

13. ?

? 2 ? ,1? 2 ? ?

14. ? 2 3,

? ?

2? ? ? 3 ?

15.

2

说明:第 14 题答案可以是 ? 2 3,

? ?

2? ? ? 2k ? ? ( k ? Z ) 3 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正 弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1)解:∵ f ? x ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ?

? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2x ,
∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? (2)解:由(1)得 f ? x ? ? cos2x . ∴ cos ? ?

????? 4 分 ????? 6 分

2? ?? . 2
∵f?

?? ? 1 ?? , ?2? 3

?? ? 2 f ? ?? , ?2? 3

1 2 , cos ? ? . 3 3
2

∵0 ?? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2



∴ sin ? ? 1 ? cos

??

2 2 5 2 ,sin ? ? 1 ? cos ? ? . 3 3

?????10 分

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

?????11 分

?

2 2 2 1 5 ? ? ? 3 3 3 3

?

4 2? 5 9

?????12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意得 ?

? x ? y ? z ? 100, ? P ? 5x ? 4 y ? 3z.
6 /4

????? 2 分

由 x ? y ? z ? 100 ,得 z ? 100 ? x ? y ,代入 P ? 5x ? 4 y ? 3z , 得 P ? 300 ? 2 x ? y . ????? 3 分

? x ? 0, y ? 0, z ? 0, ? (2) 解:依题意知 x 、 y 、 z 要满足的条件为 ?300 x ? 500 y ? 300 z ? 35000, ?700 x ? 100 y ? 300 z ? 40000. ?

??? 6 分

? x ? 0, y ? 0, ?100 ? x ? y ? 0, ? 把 z ? 100 ? x ? y 代入方程组得 ? ?? 9 分 2 x ? y ? 50, ? ? y ? 25. ?
如图可行域(阴影部分)的一个顶点为 A ? 37.5,25? .? 10 分 让目标函数 2 x ? y ? 300 ? P 在可行域上移动,

y 2x-y=50

A

y=25 x x+y=100

由此可知 P ? 300 ? 2 x ? y 在 A ? 37.5,25? 处取得最小值. ??? 11 分 ∴当 x ? 37.5 (kg), y ? 25 (kg), z ? 37.5 (kg)时, 混合食物的成本最少. 18. (本小题满分 14 分)

O

??? 12 分

(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:作 MO ? 平面 ABCD ,垂足为 O ,连接 AO , 由于 AB ? 平面 ABCD ,故 MO ? AB .作 MP ? AB ,垂足为 P ,连接 PO , 又 MO ? MP ? M ,且 MO ? 平面 MPO , MP ? 平面 MPO , ∴ AB ? 平面 MPO . 由题意知 MO ? PO ? AP ? 1, AA ? 4 , AD ? 2 ,?? 2 分 1 在 Rt△ POM 中, PM ? 在 Rt△ APM 中, AM ? ∴线段 AM 的长为 3 . (2)解:延长 PO 交 CD 于点 Q ,连接 MQ , 由(1)知 AB ? 平面 MPO . ∵ MQ ? 平面 MPO ,∴ AB ? MQ . ∵ MN / / AB ,∴ MN ? MQ . ??? 6 分

PO2 ? MO2 ? 2 , AP2 ? PM 2 ? 3 ,

????? 3 分 ????? 4 分 ????? 5 分

M D A O P P1 Q

N Q1 B C

D1
7 /4

C1 B1

A1

在△ PMQ 中, MQ ? MP ? 2, PQ ? 2 , ∵ MP2 ? MQ2 ? 4 ? PQ2 ,∴ MP ? MQ . ????? 7 分

∵ MP ? MN ? M , MP ? 平面 ABNM , MN ? 平面 ABNM , ∴ MQ ? 平面 ABNM . ∵ MQ ? 平面 CDMN ,∴平面 ABNM ? 平面 CDMN .? 9 分 (3)解法 1:作 NP / / MP 交 AB 于点 P1 ,作 NQ1 / / MQ 交 CD 于点 Q1 , 1 由题意知多面体 MN ? ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M ? APQD 和

N ? PBCQ1 和一个直三棱柱 MPQ ? NPQ1 . 1 1
1 2 ?1? 2 ?1 ? , ???? 10 分 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ ? NPQ1 的体积为 V2 ? ?MP ?MQ?MN ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,?11 分 1 2 2 2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V ? 2V1 ? V2 ? 2 ? ? 2 ? . ????? 12 分 3 3
四棱锥 M ? APQD 的体积为 V1 ? ?AP ?AD ?MO ? 长方体 ABCD ? A B1C1D1 的体积为 V3 ? AB? ?AA ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ??? 13 分 BC 1 1 ∴建筑物的体积为 V ? V3 ?

1 3

106 . 3

??? 14 分

解法 2:如图将多面体 MN ? ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ ? BCQ1 , 依题意知 AQ ? DQ ? BQ1 ? CQ1 ? 2, MQ ? NQ1 ? 1 , AD ? 2 . 多面体 MN ? ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积 减去两个等体积的三棱锥 M ? ADQ 和 N ? BCQ1 的体积. ∵ AQ ? DQ ? 4 ? AD ,∴ ?AQD ? 90 .
2 2 2 ?

Q D A

M

N

Q1 C B

O P

D1 B1

C1

A1 1 1 ?AQ?DQ?AB ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 4 ,? 10 分 2 2 1 1 1 1 1 三棱锥 M ? ADQ 的体积为 V2 ? ? ?AQ ?DQ ?MQ ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? . ? 11 分 3 2 3 2 3 2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V ? V1 ? 2V2 ? 4 ? ? . ?? 12 分 3 3
直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积为 V1 ? 长方体 ABCD ? A B1C1D1 的体积为 V3 ? AB? ?AA ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ??? 13 分 BC 1 1 ∴建筑物的体积为 V ? V3 ?

106 . 3
8 /4

?????? 14 分

19.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程 的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 ?

? y ? 2 x ? m, 2 消去 y ,得 x ? 8x ? 4m ? 0 . 2 ? x ? 4y
2

????? 1 分

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,∴ ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? ?4 .? 3 分 ∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 . 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ? x0 , y0 ? , ∴直线 l 的斜率 k ? y
'

????? 4 分 由y?

1 2 1 x ,得 y ' ? x , 4 2

x ? x0

?

1 1 x0 .依题意得 x0 ? 2 ,解得 x0 ? 4 . ???? 2 分 2 2
∵点 ? x0 , y0 ? 在直线 l 上, ???? 4 分

把 x0 ? 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 ? 4 . ∴ 4 ? 2 ? 4 ? m ,解得 m ? ?4 .

∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .

(2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F ? 0,1? , 1 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? . 1 设点 F ? 0,1? 关于直线 l 的对称点为 F ? x0 , y0 ? , 1 1
'

????? 5 分

y

? y0 ? 1 ? 2 ? ?1, ? x0 ? 则? ????? 7 分 y0 ? 1 x0 ? ? 2 ? ? 4. ? 2 ? 2
解得 ?

F1

P x P0 F1
'

? x0 ? 4, ? y0 ? ?1.

∴点 F ? 4, ?1? . 1
'

????? 8 分

O F2

∴直线 l 与直线 F ' F2 : y ? ?1 的交点为 P0 ? 1 由椭圆的定义及平面几何知识得:

?3 ? , ?1? . ?2 ?

????? 9 分

' ' 椭圆 C1 的长轴长 2a ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4 , ????? 11 分

其中当点 P 与点 P 重合时,上面不等式取等号. 0 ∴当 a ? 2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4 . ????? 12 分

9 /4

此时椭圆 C1 的方程为

y 2 x2 ?3 ? ? ? 1 , P 的坐标为 ? , ?1? . 点 4 3 ?2 ?

????? 14 分

解法 2:∵抛物线 C2 的焦点为 F ? 0,1? , 1 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? . 1 ????? 5 分

y2 x2 ? 1? a ? 1? , 设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 a a ?1

? y ? 2 x ? 4, ? 由 ? y2 消去 y , x2 ? 2 ?1 ? 2 a ?1 ?a

2 2 2 2 2 得 5a ? 4 x ? 16 a ? 1 x ? a ? 1 16 ? a ? 0 .(*)

?

?

?

?

?

??

?

????? 7 分 ????? 8 分

2 2 2 2 由 ? ? ?16 a ? 1 ? ? 4 5a ? 4 a ? 1 16 ? a ? 0 ,

?

?

??

2

?

??

??

?

得 5a ? 20a ? 0 .
4 2

解得 a ? 4 .
2

∴a ? 2.

????? 11 分 ????? 12 分

∴当 a ? 2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4 .

3 y 2 x2 ? ? 1 . 把 a ? 2 代入(*)方程,得 x ? , y ? ?1 , 此时椭圆 C1 的方程为 2 4 3
∴点 P 的坐标为 ? , ?1? . 20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于 Sn

?3 ?2

? ?

????? 14 分

? a ? 1?? an ? 2 ? ? n
2

2 an ? an ? 2 ? , 2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

a12 ? a1 ? 2 , 2

2 整理得 a1 ? a1 ? 2 ? 0 ,

解得 a1 ? 2 或 a1 ? ?1 . ∵ an ? 0 , ∴ a1 ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?

????? 2 分

2 2 an ? an ? 2 an ?1 ? an ?1 ? 2 ? , ????? 3 分 2 2

2 2 化简得 an ? an?1 ? an ? an?1 ? 0 ,

∴ ? an ? an?1 ?? an ? an?1 ?1? ? 0 . ????? 4 分

∵ an ? 0 ,

∴ an ? an?1 ? 1 .

10 / 4

∴数列 ?an ? 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列.∴ an ? 2 ? ? n ?1? ? n ?1 . 5 分 (2)解:∵ bn ?

ln an?1 ln ? n ? 2 ? , ? ln an ln ? n ? 1?

∴ b1 ? b2 ????? bk ?

ln ? k ? 2 ? ln 3 ln 4 ? ? ?? ln 2 ln 3 ln ? k ? 1?

?

ln ? k ? 2 ? ln 2

? log2 ? k ? 2? .? 6 分

令 log2 ? k ? 2? ? m ,则 k ? 2m ? 2(m 为整数) , 由 1 ? 2 ? 2 ? 2012 ,得 3 ? 2 ? 2014 ,
m m

????? 7 分 ∴ m ? 2,3, 4,?,10 . ????? 8 分

∴在区间 ?1, 2012? 内的 k 值为 22 ? 2, 23 ? 2,?, 210 ? 2 ,
2 3 10 其和为 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2

?

? ?

?

?

? ? ?2

2

? 23 ? ? ? 210 ? ? 2 ? 9
????? 10 分

?

22 ? ?1 ? 29 ? 1? 2

? 18 ? 2026 .

(3) 解法 1: bn ? ∵

n ? n 2 ?l l ? n

n ? n1 ?l l ? n

?

1? n ?

1? n ?

? ?

ln ? n ? 3? ln ? n ? 2 ? ln ? n ? 3??ln ? n ? 1? b ? 1 ∴ n?1 ? ? ln ? n ? 2 ? bn ln 2 ? n ? 2 ? ln ? n ? 1?
2

? ln ? n ? 3? ? ln ? n ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ln ? n ? 2 ?

?ln ? n ? 3?? n ? 1? ? ? ?? 2 4ln ? n ? 2 ?

2

? ? n ? 3 ? n ? 1 ?2 ? ?ln ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 4ln ? n ? 2 ?
解法 2:∵ bn ?

2

? 1 . ∴ bn?1 ? bn .

? 14 分

ln ? n ? 2 ? ln ? n ? 1?

?

ln ? n ? 1? ln ? n ? 1?

? 1 , ∴ bn?1 ? bn ?

ln ? n ? 2 ?

ln ? n ? 3?

?

ln ? n ? 2 ? ln ? n ? 1?
2

?

ln ? n ? 3??ln ? n ? 1? ? ln 2 ? n ? 2 ? ln ? n ? 2 ??ln ? n ? 1?
2

? ln ? n ? 3? ? ln ? n ? 1? ? 2 ? ? ? ln ? n ? 2 ? 2 ? ?? ln ? n ? 2 ??ln ? n ? 1?
2

? ln ? n ? 3?? n ? 1? ? 2 ? ? ? ln ? n ? 2 ? 2 ? ?? ln ? n ? 2 ??ln ? n ? 1?
∴ bn?1 ? bn .

? 1 ? n ? 3 ? n ? 1 ?2 ? 2 ? ln ? ? ? ? ln ? n ? 2 ? 2 ? ? ?2 ? ? ? 0. ?? ln ? n ? 2 ?? ? n ? 1? ln
????? 14 分
11 / 4

1 1 ? x ? ? ? x ? 1? ln ln ln ? x ?1 ? x 解法 3:设 f ? x ? ? .??? 11 分 ? x ? 2? , 则 f ' ? x ? ? x ? 1 ln x ln 2 x ∵x ? 2, 1 1 1 1 ?ln x ? ?ln ? x ? 1? ? ?ln x ? ?ln ? x ? 1? ? 0 . ∴ x ?1 x x x
∴ f ' ? x? ? 0 . ∴ 2 ? n ?1 ? n ? 2 . ∴函数 f ? x ? 在 ? 2, ??? 上单调递减.∵ n?N ,
*

∴ f ? n ? 2? ? f ? n ? 1? . ∴ bn?1 ? bn . ????? 14 分



ln ? n ? 3? ln ? n ? 2 ? . ? ln ? n ? 2 ? ln ? n ? 1?

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? . ① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?

f ?? x? ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? .? 2 分 x x

1? x ,∵ x ? 0, ∴ f ' ? x ? ? 0 x
????? 3 分

∴ 函数 f ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ??? . ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 ?
2 ∵ x ? 0, ∴ ax ? x ? 1 ? 0 .

ax 2 ? x ? 1 ? 0, x

∴ ? ? 1 ? 4a .

(ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,得 ax ? x ? 1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 , 4
????? 4 分

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? . (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 4
????? 5 分

x1 ?
若?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , x2 ? . 2a 2a

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x?? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 4
若 a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ??? ,

12 / 4

此时,当 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0, ∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, 综上所述, 当 a ? 0 时 , 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 0,

? ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? . ?, ? 单调递减区间为 ? ? ? 2a 2a ? ? ? ? 1 ? 1 ? 4a ? ? ,单调递减区间为 ? ? 2a ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ; ? ? ? 2a ? ?
当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ,无单调递减区间. ???? 8 分 (2)解:由(1)得当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,故函数 f ? x ? 无极值; 当 a ? 0 时 , 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a ? ? ,单调递减区间为 ? ? 2a ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ; ? ? ? 2a ? ?
则 f ? x ? 有极大值,其值为 f ( x2 ) ? ln x2 ?

1 2 1 ? 1 ? 4a ax2 ? x2 ,其中 x2 ? . ? 10 分 2 2a x2 ? 1 . 2
? 11 分

2 2 而 ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ,即 ax2 ? x2 ? 1 ,∴ f ( x2 ) ? ln x2 ?

x ?1 1 1 ( x ? 0) ,则 h' ( x) ? ? ? 0 , ????? 12 分 2 x 2 x ?1 则 h( x) ? ln x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数.又 h(1) ? 0 ,则 h( x) ? 0 等价于 x ? 1 . 2 x ?1 ? 0 等价于 x2 ? 1 . ∴ f ( x2 ) ? ln x2 ? 2 ????? 13 分 2
设函数 h( x) ? ln x ?
2 即在 a ? 0 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的大根大于 1,

设 ? ( x) ? ax2 ? x ? 1,由于 ? ( x) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点 (0, ?1) ,对称 轴x?

1 ? 0 ,则只需 ? (1) ? 0 ,即 a ? 1 ? 1 ? 0 解得 a ? 2 ,而 a ? 0 , 2a
?????? 14 分

故实数 a 的取值范围为 ? 0, 2? .

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