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【最新版】高中数学新教材教案全套 06-不等式1

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第三章 不等式

第一教时

教材:不等式、不等式的综合性质

目的:首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本

性质ⅠⅡ。

过程:

一、引入新课

1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。

2.过去我们已经接触过许多不等式

从而提出课题

二、几个与不等式有关的名称

(例略)

1.“同向不等式与异向不等式”

2.“绝对不等式与矛盾不等式”

三、不等式的一个等价关系(充要条件)

1.从实数与数轴上的点一一对应谈起

a ?b ?a?b ?0 a ?b ?a?b ?0 a?b?a?b?0

2.应用:例一 比较 (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) 的大小

解:(取差) (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

? (a2 ? 2a ?15) ? (a2 ? 2a ? 8) ? ?7 ? 0

∴ (a ? 3)(a ? 5) < (a ? 2)(a ? 4)

例二 已知 x ?0, 比较 (x 2 ? 1)2 与 x4 ? x2 ?1的大小

解:(取差) (x 2 ? 1)2 ? (x 4 ? x 2 ? 1) ? x4 ? 2x2 ?1? x4 ? x2 ?1 ? x2

∵ x ? 0 ∴ x2 ? 0 从而 (x 2 ? 1)2 > x4 ? x2 ?1 小结:步骤:作差—变形—判断—结论 例三 比较大小 1. 1 和 10
3? 2

解:∵ 1 ? 3 ? 2 3? 2

∵ ( 3 ? 2)2 ? ( 10 )2 ? 2 6 ? 5 ? 24 ? 25 ? 0

∴ 1 < 10 3? 2

2. b 和 b ? m (a,b, m ? R ? ) a a?m

解:(取差) b ? b ? m ? m(b ? a) ∵ (a,b, m ? R ? ) a a ? m a(a ? m)

∴当 b ? a 时 b > b ? m ;当 b ? a 时 b = b ? m ;当 b ? a 时 b < b ? m

a a?m

a a?m

a a?m

3.设

a

?

0



a

?1,

t

?

0

比较

1 2

log a

t



log a

t

?1 2

的大小

解: t ? 1 ? t ? ( t ?1)2 ? 0 ∴ t ?1 ? t

2

2

2



a

?1时

1 2

log a

t



log

a

t

?1 2

;当

0

?

a

?

1时

1 2

log a

t



log a

t

?1 2

四、不等式的性质

1.性质 1:如果 a ? b ,那么 b ? a ;如果 b ? a ,那么 a ? b (对称性)

证:∵ a ? b ∴ a ? b ? 0 由正数的相反数是负数

? (a ? b) ? 0 b ? a ? 0 b ? a

2.性质 2:如果 a ? b , b ? c 那么 a ? c (传递性)

证:∵ a ? b , b ? c ∴ a ? b ? 0 , b ? c ? 0

∵两个正数的和仍是正数 ∴ (a ? b) ? (b ? c) ? 0

a?c?0 ∴a ? c 由对称性、性质 2 可以表示为如果 c ? b 且 b ? a 那么 c ? a 五、小结:1.不等式的概念 2.一个充要条件
3.性质 1、2 六、作业:P5 练习 P8 习题 6.1 1—3
补充题:1.若 2x ? 4y ? 1,比较 x2 ? y 2 与 1 的大小 20

解: x ? 1 ? 4 y 2

x 2 ? y 2 ? 1 =……= (5y ?1)2 ? 0 ∴ x 2 ? y 2 ≥ 1

20

5

20

2.比较 2sin?与 sin2?的大小(0<?<2?) 略解:2sin??sin2?=2sin?(1?cos?)
当??(0,?)时 2sin?(1?cos?)≥0 2sin?≥sin2? 当??(?,2?)时 2sin?(1?cos?)<0 2sin?<sin2?

3.设 a ? 0 且 a ? 1比较 log a (a3 ? 1) 与 log a (a 2 ? 1) 的大小

解: (a3 ? 1) ? (a 2 ? 1) ? a 2 (a ?1)

当 0 ? a ? 1时 a3 ?1 ? a2 ?1 ∴ log a (a3 ? 1) > log a (a 2 ? 1) 当 a ? 1 时 a3 ?1 ? a2 ?1 ∴ log a (a3 ? 1) > log a (a 2 ? 1) ∴总有 log a (a3 ? 1) > log a (a 2 ? 1)


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