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2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-103概率与统计解答题

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2008 届全国百套高考数学模拟试题分类汇编 10 概率与统计
三、解答题
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游 线路,每个旅游团任选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率. (3)求选择甲线路旅游团数的期望. 解:(1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 ? 43 8

(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

2 2 C 4 ? C32 ? A2 9 ? 3 16 4

(3)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3 P(ξ =0)=
33 27 ? 4 3 64

P(ξ =1)=

1 C3 ? 32 27 ? 64 43

1 C3 ? 3 9 ? P(ξ =2)= 3 64 4

P(ξ =3)=

3 C3 1 ? 3 64 4

∴ξ 的分布列为: ξ 0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

P

∴期望 Eξ =0×

27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = 64 64 64 64 4

2、(江苏省启东中学高三综合测试二)一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药的效果,把它给 10个 病人服用,且规定若10个病人中至少有4个被治好,则认为这种试验有效;反之, 则认为试验无效。若服用新药后,病患者的痊愈率提高,则认为新药有效;反之, 则认为新药无效.试求: (I)虽新药有效,且把痊愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率. (II)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.(精确到 0.001) 解:(I)0.514 (II)0.224 3、(江苏省启东中学高三综合测试三)甲、乙、丙三人分别独立解一道题,已知甲做对这道题的概率是 丙两人都做错的概率是

3 ,甲、 4

1 1 ,乙、丙两人都做对的概率是 , 12 4

(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率;

(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率。 解:(1)乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为

3 2 21 、 ;(2) 8 3 32

4、(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网, A1 、

A2 、 A3 、 A4 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处,今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到M,N
处, 他们分别随机地选择一条沿街的最短路径, 同时以每10分钟一格的速度分别向N, M处行走, 直到到达N, M为止。 (1)求甲经过 A2 的概率; (2)求甲、乙两人相遇经 A2 点的概率; (3)求甲、乙两人相遇的概率; M A1 A2 A3 A4 N

1 解:(1)甲经过 A2 到达N,可分为两步:第一步:甲从M经过 A2 的方法数: C3 种;第二步:甲从 A2 到 1 1 N的方法数: C3 种;所以:甲经过 A2 的方法数为 (C3 ) 2 ;
1 (C3 ) 2 9 所以:甲经过 A2 的概率 P ? ? 3 20 C6

1 1 (2)由(1)知:甲经过 A2 的方法数为: (C3 ) 2 ;乙经过 A2 的方法数也为: (C3 ) 2 ;所以甲、乙两人 1 相遇经 A2 点的方法数为: (C3 ) 4 =81;
1 (C3 ) 4 81 ? 3 3 C6 C6 400

甲、乙两人相遇经 A2 点的概率 P ?

(3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在 A1 、 A2 、 A3 、 A4 处相遇,他们在 Ai (i ? 1,2,3,4) 相遇的
i 走法有 (C3?1 ) 4 种方法; 0 1 2 3 所以: (C3 ) 4 ? (C3 ) 4 ? (C3 ) 4 ? (C3 ) 4 =164

甲、乙两人相遇的概率 P ?

164 41 ? 400 100

5、(江西省五校 2008 届高三开学联考)下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有 50 人,成绩分 1~5 五个档 次.例如表中所示英语成绩为 4 分、数学成绩为 2 分的学生为 5 人.将全班学生的姓名卡片混在一起,任取 一枚,该卡片同学的英语成绩为 x ,数学成绩为 y 。设 x, y 为随机变量(注:没有相同姓名的学生) (I) x ? 1 的概率为多少? x ? 3且y ? 3 的概率为多少?

y

x
5 4 3 2 1

数学

133 (II) a ? b 等于多少?当 y 的期望为 时,试确定 a , b 的值 . 50
英 语

5
1 1 2 1 0

4
3 0 1

3
1 7 0 6 1

2
0 5 9 0 1

1
1 1 3

b
0

a
3

1? 3 ?1 1 8 4 ? , P( x ? 3, y ? 3) ? ? ; 50 10 50 25 5 35 10 a ? b ? 7 (2) P( x ? 2) ? 1 ? P( x ? 1) ? P( x ? 3) ? 1 ? ? ? ? 50 50 50 50 ? a?b ? 3 ①; 5 b?4 15 15 8 ? a 133 ? 3 ? ? 2 ? ? 1? ? 又 5? ? 4? 50 50 50 50 50 50 ? a ? 4b ? 9 ②; 结合①②可得 a ? 1 , b ? 2 .
解:(1) P( x ? 1) ? 6、(安徽省蚌埠二中 2008 届高三 8 月月考)某次有奖竞猜活动中,主持人准备了 A`、B 两个相互独立问题,并且 宣布:观众答对问题 A 可获奖金 a 元,答对问题 B 可获奖金 2 a 元,先答哪个问题由观众选择,只有第一个问题 答对才能再答第 2 个问题,否则终止答题。若你被选为幸运观众,且假设你答对问题 A 、B 的概率分别为 问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大?说明理由。 解:设甲先答 A、B 所得奖金分别为 ? 和 ? ,则

1 1 , 。 2 3

1 ? 2 1 P(? ? 0) ? 1 ? ? 3 p(? ? 0) ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 5 , p(? ? a) ? (1 ? ) ? , p(? ? 3a) ? ? ? ,? E? ? a 2 2 3 3 2 3 6 6 2 1 1 1 1 1 1 5 , p(? ? 2a) ? ? (1 ? ) ? , p(? ? 3a) ? ? ? ? E? ? a 3 3 2 6 3 2 6 6

? E? ? E? ?故先答哪一题都一样。
7、 (安徽省蚌埠二中 2008 届高三 8 月月考)某校一年级新生英语成绩 ? ~ N (75,10 ) , 已知 95 分以上的有 21 人,
2

如果按成绩高低选前 130 人进入快班,问快班的分数线应如何确定?

?(2) ? 0 ? 9772 ?(1.08) ? 0.86) ,
答:快班的分数线最低为 85。8 分。 8、(安徽省蚌埠二中 2008 届高三 8 月月考)某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 射击的结果互不影响 ①求射手在 3 次击中,至少有 2 次连续击中目标的概率(用数字作答) ②求射手第 3 次击中目标时,恰好射击了 4 次的概率(用数字作答) ③设随机变量 ? 表示射手第 3 次击中目标时射击的次数,求 ? 的分布列。 解:① ③

3 ,且每次 5.

63 125



162 625
? ?

?
P

3

4

k

27 125

162 625

?

3 2 3 C k2?1 ( ) 2 ( ) k ?3 ( ) 5 5 5

?

9、 (四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训, 以提高下岗人 员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影 响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布列和期望. 解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A ,“该人参加过计算机培训”为事件 B ,由题设 知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P ? P( A?B) ? P( A)?P(B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 1
所以该人参加过培训的概率是 P ? 1 ? P ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 2 1 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P ? P( A?B) ? P( A?B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 3
该人参加过两项培训的概率是 P ? P( A? ) ? 0.6 ? 0.75 ? 0.45 . B 4 所以该人参加过培训的概率是 P ? P ? P ? 0.45 ? 0.45 ? 0.9 . 5 3 4 (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ? 服从二项分布 B(3, , 0.9)
k 1, 3 P(? ? k ) ? C3 ? 0.9k ? 0.13?k , k ? 0,2,,即 ? 的分布列是

?
P

0 0.001

1 0.027

2 0. 243

3 0.729

? 的期望是 E? ? 1? 0.027 ? 2 ? 0.243 ? 3 ? 0.729 ? 2.7 .
(或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.9 ? 2.7 ) 10、(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会 唱歌的有 2 人, 会跳舞的有 5 人, 现从中选 2 人. ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数, P (? ? 0) ? 设 且 (1)求文娱队的人数; (2)写出 ? 的概率分布列并计算 E? . 解:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是(7-2 x)人. (I)∵ P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ?

7 . 10

7 , 10

∴ P(? ? 0) ?
2 C7 ? 2x 3 ? 2 C7 ? x 10

3 . 10





(7 ? 2x)(6 ? 2x) 3 ? . (7 ? x)(6 ? x) 10

∴x=2. 故文娱队共有 5 人. (II) ? 的概率分布列为

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10

P(? ? 1) ?

C1 ? C1 3 2 3 ? , 2 C5 5 C2 1 2 ? , 2 C5 10

P(? ? 2) ?
∴ E? ? 0 ?

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? = . 10 5 10 5

11、 (四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资, 由甲、 丙三位决策人投票决定. 乙、 他们三人都有“同意”、 “中立”、“反对”三类票各一张.投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都 为

1 ,他们的投票相互没有影响.规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放 3

弃对该项目投资. (Ⅰ)求此公司决定对该项目投资的概率; (Ⅱ)记投票结果中“中立”票的张数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? . 解:(1)此公司决定对该项目投资的概率为 7 2 1 2 2 3 1 3 P=C3 ( ) ( )+C3 ( ) = 3 3 3 27 (2)ξ 的取值为 0、1、2、3 1 3 8 P(ξ =0)=(1- ) = 3 27 2 2 4 1 1 P(ξ =1)=C3 ( )( ) = 3 3 9 2 2 1 2 2 P(ξ =2)=C3 ( ) ( )= 3 3 9 1 3 1 P(ξ =3)=( ) = 3 27 ∴ξ 的分布列为 ??6 分

ξ P ??4 分 1 ∴Eξ =nP=3× =1 3

0 8 27

1 4 9

2 2 9

3 1 27

12、(四川省乐山市 2008 届第一次调研考试)在一个箱子里装有标记分别为 1,2,3,4 的 4 个小球,记下数字后 再放回,连续摸三次,若三次摸出的小球标记的数字最大为 ? ①求 ? ? 3 的概率;②求 ? 的概率分布及数学期望。 答:① p(? ? 3) ? 19 ;② E? ? 55

64

16

13、(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)在盒子里有大小相同,仅颜色不同的乒乓球共 10 个,其中红 球 5 个,白球 3 个,蓝球 2 个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取 3 次,过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求:(1)最多取两次就结束的概率; (2)整个过程中恰好取到 2 个白球的概率; (3)取球次数的分布列和数学期望. 解析:(1)设取球次数为 ξ,则

P ?? ? 1? ?

1 1 1 C8 C2 4 1 4 C2 1 . ? , P ?? ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 C10 5 C10 C10 5 5 25

所以最多取两次的概率 P ?

1 4 9 ? ? 5 25 25

????????4 分

(2)由题意知可以如下取球:红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况,所以恰有两次取到白球的概率为

5 3 3 3 3 2 153 ? ? ?3? ? ? ? ????????8 分 10 10 10 10 10 10 1000 2 1 8 2 4 ? , P ?? ? 2 ? ? ? ? (3)设取球次数为η ,则 P ?? ? 1? ? 10 5 10 10 25 P?

P ?? ? 3? ?

8 8 ? 2 8 ? 16 ,则分布列为 ? ?? ? ? ? 10 10 ? 10 10 ? 25
η P 1 2 3

1 5 1 4 16 61 ? 2 ? ? 3? ? 5 25 25 25

4 25

16 25

取球次数的数学期望为 E? ? 1?

14、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题 中一次性随机抽取 3 题, 按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定: 至少正确完成其中 2 题的便可提高通过. 已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成,2 题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成 与否互不影响. 求: (1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.

解:(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? 、 ? ,

则 ? 取值分别为 1,2,3; ? 取值分别为 0,1,2,3。?????????????2 分

P(? ? 1) ?

1 2 C4C2 1 C 2C 1 3 C 3C 0 1 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , P(? ? 3) ? 4 3 2 ? 。 3 C6 5 C6 5 C6 5

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
?

1
1 5

2
3 5

3
1 5

p

???????????4 分

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 。???????????????????????5 分 5 5 5
∵ P(? ? 0) ? C3 (1 ? ) ?
0 3

2 3

1 , 27

同理: P (? ? 1) ?

6 12 8 , P ( ? ? 2) ? , P (? ? 3) ? 。 27 27 27

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:

?
p

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

?????????8 分

E? ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2 。?????????????????9 分 27 27 27 27
2

(2)∵ D? ? (2 ? 1) ?

1 3 1 2 ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? , 5 5 5 5

D? ? (2 ? 0) 2 ?

1 6 12 8 2 ? (2 ? 1) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? 。 27 27 27 27 3 2 1 2 ? ? )。∴ D? ? D? 。 3 3 3

(或 D? ? npq ? 3 ?

∵ P(? ? 2) ?

3 1 12 8 ? ? 0.8 , P (? ? 2) ? ? ? 0.74 , 5 5 27 27

∴ P(? ? 2) ? P(? ? 2) 。

从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成 2 题的概率 考察,甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。 说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分。 15、 (安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)某工厂在试验阶段大量生产一种零件。 这种零件有 A 、
B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为
5 ,至 12

少一项技术指标达标的概率为

11 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? . 解:(Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2
5 ? 1 ? P ? (1 ? P2 ) ? (1 ? P ) ? P2 ? 12 ? 1 由题意得: ? ?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P )? ? 11 1 2 ? ? 12

????3 分

1 3 2 2 3 解得: P ? , P2 ? 或 P ? , P2 ? ,∴ P ? P P2 ? . 1 1 1 2 4 3 3 4 1 即,一个零件经过检测为合格品的概率为 . 2

????6 分

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为
13 ?1? 5?1? 1 ? C54 ? ? ? C5 ? ? ? ?2? ? 2 ? 16
5 5

??????10 分

1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~B(4, ), E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 2 2 2 2 16、 (北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)某市举行的一次数学新课程骨干培训, 共邀请 15 名使用不同版本 教材的教师,数据如下表所示:

版本 性别 人数 男教师 6

人教 A 版 女教师 3 男教师 4

人教 B 版 女教师 2

(Ⅰ)从这 15 名教师中随机选出 2 名,则 2 人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少? (Ⅱ)培训活动随机选出 2 名代表发言,设发言代表中使用人教 B 版的女教师人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列 和数学期望 E? .

2 解:(Ⅰ)从 15 名教师中随机选出 2 名共 C15 种选法,

??????????2 分

所以这 2 人恰好是教不同版本的男教师的概率是 (Ⅱ)由题意得 ? ? 0,1, 2

1 1 C6C4 8 ? . ???????5 分 2 C15 35

P(? ? 0) ?

2 C13 26 ; ? 2 C15 35

P(? ? 1) ?

1 1 C2C13 26 ; ? 2 C15 105

2 0 C2 C13 1 .????????????????????????9 分 P(? ? 2) ? ? 2 C15 105

故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

26 35

26 105

1 105

所以,数学期望 E? ? 0 ?

26 26 1 4 ? 1? ? 2? ? . 35 105 105 15 4 3 和 . 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. 5 4

17、 (北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)某工厂为了保障安全生产, 每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、 乙两名工人通过每次测试的概率分别是

(I)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率; (II)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率; (III)工厂规定:工人连续 2 次没通过测试,则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加 4 次测试后被撤销上岗 资格的概率. 解:(I)记“甲工人连续 3 个月参加技能测试,至少有 1 次未通过”为事件 A1,

4 61 P( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ? ( ) 3 ? . ??????5 分 5 125
(II)记“连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2,“连续 3 个月参加技能测试,乙工 人恰好通过 1 次”为事件 B1,则

4 4 48 3 3 9 1 P( A2 ) ? C32 ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? , P( B2 ) ? C3 ? ( ) ? (1 ? ) 2 ? , 5 5 125 4 4 64 48 9 27 P( A2 B2 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? ? ? . 125 64 500
两人各连续 3 月参加技能测试,甲工人恰好 2 次通过且乙工人恰好 1 次通过的概率为

27 . ??????????????????????????????10 分 500
(III)记“乙恰好测试 4 次后,被撤销上网资格”为事件 A3,

3 1 1 3 1 3 P( A3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) 2 ? . 4 4 4 4 4 64
18、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一)甲、乙、丙三人进行某项比赛,每局有两人参加,没有平局,在一 局比赛中,甲胜乙的概率为

3 4 3 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ,比赛的规则是先由甲和乙进行第 5 5 5

一局的比赛,然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛,在比赛中,有人获胜两局就算取 得比赛的胜利,比赛结束. (I)求只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率; (II)求只进行两局比赛,比赛就结束的概率; (III)求甲取得比赛胜利的概率. 解:(I)只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率为:

P1 ?

3 4 12 ? ? . 5 5 25 3 4 2 3 18 ? ? ? ? . 5 5 5 5 25 3 4 12 ? ? ; 5 5 25

????4 分

(II)只进行两局比赛,比赛就结束的概率为:

P2 ?

????8 分

(III)甲取得比赛胜利共有三种情形: 若甲胜乙,甲胜丙,则概率为

3 1 3 3 27 ? ? ? ? ; 5 5 5 5 625 2 2 4 3 48 . 若甲负乙,则乙负丙,甲胜丙,甲胜乙,概率为 ? ? ? ? 5 5 5 5 625 12 27 48 3 ? ? ? . 所以,甲获胜的概率为 25 625 625 5
若甲胜乙,甲负丙,则丙负乙,甲胜乙,概率为 19、(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为 ...

1 . 27
(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率; (2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ ,求随机 变量ξ 的分布列及期望 Eξ . (1)解:设抛掷一次这样的硬币,正面朝上的概率为 P,依题意有:
3 C3 ? P 3 ?

1 . 27

1 可得 P ? . 3

所以,抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为

1 2 2 P ? C 32 ? ( ) 2 ? ? . ??????????????????6 分 3 3 9
(2)解:随机变量ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4.

2 1 4 0 P(? ? 0) ? C3 ? ( ) 3 ? ? ; 3 2 27 2 1 1 2 1 10 0 1 P(? ? 1) ? C3 ? ( ) 3 ? ? C3 ? ? ( ) 2 ? ? ; 3 2 3 3 2 27 1 2 1 1 2 1 9 1 P(? ? 2) ? C3 ? ? ( ) 2 ? ? C32 ? ( ) 2 ? ? ? ; 3 3 2 3 3 2 27
1 2 1 1 1 7 3 P (? ? 3) ? C 32 ? ( ) 2 ? ? ? C 3 ? ( ) 3 ? ? ; 3 3 2 3 2 54 1 1 1 3 P (? ? 4) ? C 3 ? ( ) 3 ? ? . 3 2 54
所以ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4

4 10 9 27 27 27 4 10 9 7 1 3 Eξ =0× +1× +2× +3× +4× = . 27 27 27 54 54 2
P

7 54

1 54

20、(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒 内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望. 解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A,“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B. 由于事件 A、B 相互独立, 2 C2 2 且 P( A) ? C3 ? 1 , P( B) ? 4 ? .????????????? 3 分 2 2 C4 2 C6 5 所以取出的 4 个球均为黑球的概率为 1 2 1 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? .???????????? 4 分 2 5 5 (Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球”为事 件 C,“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均为黑球” 2 1 C1 C 2 1 C1 为事件 D.由于事件 C、 互斥, P(C ) ? C3 ?C2 ? 4 ? 4 , D 且 P( D) ? 3 ? 4 ? .??????? 2 2 2 2 C4 C6 5 C4 C6 15 7分 所以取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 4 1 7 ???????????? 8 分 P(C ? D) ? P(C ) ? P( D) ? ? ? . 15 5 15 (Ⅲ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.
1 由(Ⅰ)、(Ⅱ)得 P(? ? 0) ? 1 , P(? ? 1) ? 7 , P(? ? 3) ? C3 ? 1 ? 1 . 2 2 5 15 C4 C6 30 所以 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 3 . ??????? 11 分 10 ? 的分布列为

?
P
∴ ? 的数学期望

0
1 5

1
7 15

2
3 10

3
1 30

1 7 3 1 7 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 5 15 10 30 6

21、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率; (Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 ? 为摸出两球中白球的个数,求 ? 的期望和方差. 解:(Ⅰ)记“摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件 A,

(Ⅱ)由题知 ? 可取 0,1,2,

2 , 5 3 摸出一球得黑球的概率为 , 5 2 3 3 2 12 . ∴ P(A)= × + × = 5 5 5 5 25 12 . 答:两球颜色不同的概率是 25
摸出一球得白球的概率为

4分 5分

6分

依题意得 3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 P (? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , P(? ? 2) ? ? ? , 5 4 10 5 4 5 4 5 5 4 10 3 3 1 4 ? ,11 分 则 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? 10 5 10 5

9分

? 4? 3 ? 4? 3 ? 4? 1 9 D? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? . ? 5 ? 10 ? 5 ? 5 ? 5 ? 10 25
答:摸出白球个数 ? 的期望和方差分别是

2

2

2

13 分

4 5



9 25

.

22、 f1 ( x) ? x, f2 ( x) ? x2 , f3 ( x) ? x3 , f4 ( x) ? sin x, f5 ( x) ? cos x, f6 ( x) ? lg( x ?1). (Ⅰ)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数卡片则停止抽取,否 则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. 解:(Ⅰ)计事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”, 所以 P( A) ?

C32 1 ? . ??????????????4 分 2 C6 5 P(? ? 1) ?
1 C3 1 C1 C1 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? , 1 1 1 C6 2 C6 C5 10

(Ⅱ) ? 可取 1,2,3,4.

P(? ? 3) ?

1 1 1 C3 C 2 C3 C1 C1 C1 C1 3 1 ;????8 分 ? 1 ? 1 ? , P(? ? 4) ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

故ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

1 2

3 10

3 20
????10 分

1 20
答: ? 的数学期望为 .

E? ? 1 ?

1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 2 10 20 20 4

7 4

23、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试)盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球. 规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得 ?1 分 . 现从盒内任取 3 个 球. (Ⅰ)求取出的 3 个球颜色互不相同的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ? 的分布列和数学期望. (Ⅰ)解: 记 “取出 1 个红色球,1 个白色球,1 个黑色球”为事件 A , 则

C1 C1 C1 2 3 P( A) ? 2 3 4 ? . C9 7

????.. 3 分

(Ⅱ)解: 记 “取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B ,“取出 2 个红色球, 1 个黑色球”为事件 C , 则

P( B ? C ) ? P( B) ? P(C ) ?

2 C1 C3 C2C1 5 2 ? 234 ? . 3 C9 C9 42

????.. 6 分

(Ⅲ)解:

1 3 , ? 可能的取值为 0,2,.

????.. 7 分

P(? ? 0) ?

C3 5 6 ? , C3 21 9

P(? ? 1) ?

2 C1 C6 45 3 , ? C3 84 9

2 C3 C1 3 P(? ? 2) ? 3 6 ? , C9 14

C3 1 3 P(? ? 3) ? 3 ? . C9 84

????.. 11 分

? 的分布列为: ?
P
0 1 2 3

5 21

45 84

3 14

1 84
????.. 12 分

? 的数学期望 E? ? 0 ?

5 45 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 . 21 84 14 84

24、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要 回答一个问题。规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰。已知某选手通过初赛、复赛、决赛
3 1 1 的概率分别是 , , ,且各阶段通过与否相互独立。 4 2 4 (Ⅰ)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (Ⅱ)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ? ,求 ? 的数学期望和方差。

25、 (北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会, 共邀请 50 名一线教师 参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,问这 2 人使用相同版本教材的概率是多少? (2)若随机选出的 2 名教师都使用人教版教材, 现设使用人教 A 版教材的教师人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布 列和数学期望。
2 解:(1)50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C50 ? 1225,

选出的 2 人所使用版本相同的方法数为
2 2 2 2 C20 ? C15 ? C5 ? C10 =190+105+10+45=350,

? 2 人所使用版本相同的概率为
(2)?

350 2 ? ??????????????????..6 分 1225 7

P(? ? 0) ?

2 C15 3 ? , 2 C35 17

P(? ? 1) ?

1 1 C20 ? C15 60 , ? 2 119 C35

2 C10 38 P(? ? 2) ? 2 ? C35 119

? 随机变量 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3 17 3 60 38 8 ?1 ? ?2 ? ? E? ? ? 0 ? 17 119 119 7

60 119

38 119

26、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知暗箱中开始有 3 个红球,2 个白裘。现每次从暗箱中取出 一个球后,再将此球以及与它同色的 5 个球(共 6 个球)一起放回箱中。 (1)求第二次取出红球的概率; (2)求第三次取出白球的概率; (3)设取出白球得 5 分,取出红球得 8 分,求连续取球 3 次得分的期望值。 解:设第 n 次取出白球的概率为 Pn,Qn (1)第二次取出红球的概率是

Q2 ?

2 3 3 3?5 3 ? ? ? ? 5 5?5 5 5?5 5

????????????????4 分

(2)三次取的过程共有以下情况: 白白白,白红白,红白白,红红白 所以第三次取出白球的概率是

P3 ?

2 2?5 2?5?5 2 3 2?5 3 2 2?5 ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5?5 5?5?5 5 5?5 5?5?5 5 5?5 5?5?5 3 3?5 2 2 ? ? ? ? ?????????????8 分 5 5?5 5?5?5 5

(3)连续取球 3 次,得分的情况共有 8 种 5+5+5,8+5+5,5+8+5,5+5+8,8+8+5,8+5+8,5+8+8,8+8+8

2 2 ? 5 2 ? 5 ? 5 28 ? ? ? 5 5 ? 5 5 ? 5 ? 5 125 2 3 2?5 2 2?5 3 P(? ? 18) ? ? ? ? ? ? 5 5?5 5?5?5 5 5?5 5?5?5 3 2 2?5 21 ? ? ? ? 5 5 ? 5 5 ? 5 ? 5 125 3 3?5 2 2 3 3?5 P(? ? 21) ? ? ? ? ? ? 5 5?5 5?5?5 5 5?5 5?5?5 3 2 3?5 24 ? ? ? ? 5 5 ? 5 5 ? 5 ? 5 125 P(? ? 15) ? 3 3 ? 5 3 ? 5 ? 5 52 P(? ? 24) ? ? ? ? 5 5 ? 5 5 ? 5 ? 5 125 28 21 24 52 106 ? 18 ? ? 21 ? ? 24 ? ? ∴ E? ? 15 ? 125 125 125 125 5
27、(四川省成都市高 2008 届毕业班摸底测试)一纸箱中装有大小相等,但已编有不同号码的白色和黄 色乒乓球,其中白色乒乓球有 6 个,黄色乒乓球有 2 个。 (Ⅰ)从中任取 2 个乒乓球,求恰好取得 1 个黄色乒乓球的概率; (Ⅱ)每次不放回地抽取一个乒乓球,求第一次取得白色乒乓球时已取出的黄色乒乓球个数ξ 的分布列及数 学期望 Eξ 。 解: (Ⅰ)记“任取 2 个乒乓球,恰好取得 1 个黄色乒乓球”为事件 A,则
1 1 C 2 C6 3 P( A) ? ? 7 C82

??????6 分

(Ⅱ)ξ 的可能取值为 0、1、2,则
1 C6 3 P(ξ =0)= 1 ? C8 4

P(ξ =1)=

1 1 C 2 C6 3 ? 1 1 C8 C7 14
1 1 1 C2 C1 C6 1 ? . 1 1 1 C8 C7 C6 28

P(ξ =2)=

∴第一次取得白色乒乓球时,已取出的黄色乒乓球个数ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2

3 3 4 14 3 3 1 2 ? 2? ? ξ 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1 ? 4 14 28 7

1 28

??6 分

28、(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即 先赢四局者为胜,若甲、乙两人水平相当,且已知甲先赢了前两局,求: (1)乙取胜的概率; (2)比赛进行完七局的概率。 (3)记比赛局数为 ? ,求 ? 的颁列为数学期望 E? . 解(1)乙取胜有两种情况

1 ?1? 一是乙连胜四局,其概率 P ? ? ? ? 1 16 ?2?
二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,
3 其概率 P2 ? C4 ? ? ?1 ?

4

?1? ? ? 2? ?

3

1? 1 1 ?? ? , 2? 2 8
3 16

所以乙胜概率为 P1 ? P2 ?

(2)比赛进行完 7 局有两种情况。 一是甲胜,第 3 局到第 6 局中甲胜一局,第 7 局甲胜

1 ? 1? 1 1 其概率 P3 ? C ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? 2 8
1 4

3

二是乙胜,同(1)中第二种情况, P4 ? P2 ? 所以比赛进行完 7 局的概率为 P3 ? P4 ?

1 8

1 4

(3)根据题意, ? 的可能取值为 4,5,6,7

1 1 1 ?1? 1 ?1? P?? ? 4 ? ? ? ? ? , P?? ? 5? ? C 2 ? ? ? ? ? , 4 ?2? ?2? 2 4 1 1 1 ?1? 1 ?1? P?? ? 6 ? ? ? ? ? C 3 ? ? ? ? ? , P?? ? 7 ? ? , 4 ?2? ?2? 2 4
所以 ? 的分布列为
4 3

2

2

?
P

4

5

6

7

1 4 1 1 1 1 ? E? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 5.5 4 4 4 4

1 4

1 4

1 4

29、(东北三校 2008 年高三第一次联考)一个袋中有大小相同的标有 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球,某 人做如下游戏,每次从袋中拿一个球(拿后放回),记下标号。若拿出球的标号是 3 的倍数,则得 1 分,否 则得 ? 1 分。 (1)求拿 4 次至少得 2 分的概率; (2)求拿 4 次所得分数 ? 的分布列和数学期望。 解:(1)设拿出球的号码是 3 的倍数的为事件 A,则 P( A) ? 和 4 分两种情况。

1 2 , P ( A) ? ,拿 4 次至少得 2 分包括 2 分 3 3

2 8 1 1 1 3 1 P1 ? C4 ( ) 3 ( ) ? , P2 ? ( ) 4 ? ,? P ? P ? P2 ? (6 分) 1 3 3 81 3 81 9
(2) ? 的可能取值为 ? 4,?2,0,2,4 ,则

2 16 32 1 1 2 P(? ? ?4) ? ( ) 4 ? ; P(? ? ?2) ? C4 ( )( ) 3 ? ; 3 81 3 3 81 2 24 8 1 2 1 P(? ? 0) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? ; P (? ? 2) ? ; P (? ? 4) ? ; 3 3 81 81 81 ? 分布列为 -4 -2 0 2 P 16 32 24 8 ? 81 81 81 81 16 32 24 8 1 3 E? ? ?4 ? ? (?2) ? ? 0? ? 2? ? 4? ? ? 81 81 81 81 81 4

4

1 81

30、(东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量? 表示所选 3 人中女生的人数. (1)求所选 3 人都是男生的概率; (2)求ξ 的分布列及数学期望; 解:(1)所选 3 人都是男生的概率为 (2)可能取的值为 0,1,2,
k 3 C2 ? C4 ?k P(? ? k ) ? , k ? 0, 1, 2 , 3 C6 3 C4 1 ? 3 C6 5

所以,ξ 的分布列为

ξ P

0

1

2

1 5

3 5

1 5

ξ 的数学期望为 E? ? 0 ?

1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 5 5 5

31、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一 个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇),只好把 笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ 表示笼内还剩下的 .. ... 果蝇的只数. .. (Ⅰ)写出ξ 的分布列(不要求写出计算过程); (Ⅱ)求数学期望 Eξ ; (Ⅲ)求概率 P(ξ ≥Eξ ). 解:(Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

5

6

7 28

6 28

5 28

4 28

3 28

2 28

1 28

2 (1? 6 ? 2 ? 5 ? 3 ? 4) ? 2 . 28 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 15 ? (Ⅲ)所求的概率为 P(? ≥ E? ) ? P(? ≥ 2) ? . 28 28
(Ⅱ)数学期望为 E? ? 32、(福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)在一次有奖竞猜活动中,有 A、B 两个相互独立的问题,现 规定:答对问题 A 可获奖金 1000 元,答对问题 B 可获奖金 2000 元,先答哪个题可自由选择,但只有第一个问题 答对,才能再答第二个问题,否则终止答题。若你参加答题,且假设答对问题 A、B 的概率分别为 (1)记先回答问题 A 获得的奖金数为随机变量 ? ,则 ? 的可能取值分别是多少? (2)先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由。

1 1 、 2 4

33、(福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术 进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核。若学员小李 1 1 独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 的等差数列, 他参加第一次考核合格的概率不超过 , 且他 2 8 9 直到参加第二次考核才合格的概率为 。 32

⑴求小李第一次参加考核就合格的概率 p1 ; ⑵求小李参加考核的次数 ? 的分布列和数学期望。

9 1 5 ,解得 p1 ? 或 p1 ? . 32 4 8 1 1 1 ∵ p1? ,∴ p1? ,即小李第一次参加考核就合格的概率为 ???(5 分) 2 4 4 1 3 1 5 ⑵由⑴的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次为 , , , , 4 8 2 8
解:⑴根据题意,得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ?
9 1 3 1 15 , P (? ?3)?(1? )?(1? )? ? ??????(8 分) 32 4 8 2 64 1 3 1 15 ?????????????(10 分) P (? ?4)?(1? )?(1? )?(1? )1? ? 4 8 2 64 1 9 15 15 157 ∴小李参加测试的次数 ? 的数学期望为 E? ?1? ?2? ?3? ?4? ? 4 32 64 64 64

1 8

∴ P (? ?1)? , P(? ?2)?

1 4

34、(福建省漳州一中 2008 年上期期末考试)一个袋子内装有若干个黑球, 3 个白球, 2 个红球(所有的球除颜 色外其它均相同),从中任取 2 个球,每取得一个黑球得 0 分,每取一个白球得 1 分,每取一个红球得 2 分, 已知得 0 分的概率为

1 ,用随机变量 ? 表示取 2 个球的总得分. 6

(Ⅰ)求袋子内黑球的个数; (Ⅱ)求 ? 的分布列; (Ⅲ)求 ? 的数学期望.
2 Cn 1 解:(Ⅰ)设袋中黑球的个数为 n,则 p(? ? 0) ? 2 ? ????????(2 分) Cn?5 6

化简得: n ? 3n ? 4 ? 0 ,解得 n ? 4 或 n ? ?1 (舍去),即有 4 个黑球???(4 分)
2

(Ⅱ) p(? ? 0) ?

1 1 C1 ? C1 1 C 2 ? C2 ? C4 11 1 , p(? ? 1) ? 4 2 3 ? , p(? ? 2) ? 3 ? 6 C9 3 C92 36

1 1 2 C3 ? C2 1 C2 1 p(? ? 3) ? ? , p(? ? 4) ? 2 ? ?????????????(8 分) 2 C9 6 C9 36

∴ ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 6

1 3

1 36

1 6

1 36

(直接写不扣分) (Ⅲ) E? ? 0 ?

1 1 11 1 1 14 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 6 3 36 6 36 9 2 3 和 ,假设两 3 4

35、(甘肃省河西五市 2008 年高三第一次联考)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 人每次射击是否击中目标相互之间没有影响
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(Ⅰ)求甲射击 5 次,有两次未击中目标的概率;

(Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次,且乙恰好击中目标 3 次的概率
2

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解:(I)设“甲射击 5 次,有两次未击中目标”为事件 A,则 P ( A) ? C 5 ( ) ? ( ) ?
3 2

2 3

1 3

80 243

答:甲射击 5 次,有两次未击中目标的概率为

80 243

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????5 分

(Ⅱ)设“两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次,且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则

1 3 1 1 2 2 P( B) ? C 4 ( ) 2 · ) 2 · 4 ( ) 3 · ? ( C3 3 3 4 4 8
答:两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次,且乙恰好击中目标 3 次的概率为

1 8

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36、(广东省惠州市 2008 届高三第三次调研考试)将 A、B 两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (I)共有多少种不同的结果? (II)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率为多少? 解: (I) 共有 6 ? 6 ? 36 种结果 ??????4 分

(II)若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数的结果有: (1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,5),(5,4), (3,6),(6,3),(6,6)共 12 种 (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是:P= ??????8 分

12 1 ? 36 3

37、(广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟)一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,从袋子里 随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分。 (Ⅰ)若从袋子里一次随机取出 3 个球,求得 4 分的概率; 频 率 (Ⅱ)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续 摸 3 次,求得分 ? 的概率分布列及数学期望。 解:(Ⅰ)设“一次取出 3 个球得 4 分”的事件记为 A,它表示 取出的球中有 1 个红球和 2 个黑球的情况 则 P( A) ?
组 距

0.025 0.015 0.01 0.005 分 数 40 50 60 70 80 90 100

CC 3 ? ????????4 分 3 5 C5

1 2

2 3

(Ⅱ)由题意, ? 的可能取值为 3、4、5、6。因为是有放 回地取球,所以每次取到红球的概率为

2 3 , 取到黑球的概率为 . ????????6 分 5 5

27 3 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) 3 ? 5 125 3 2 54 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? 5 5 125 2 36 1 3 P (? ? 5) ? C 3 ( ) ? ( ) 2 ? 5 5 125 8 0 2 P(? ? 6) ? C 3 ( ) 3 ? 5 125

? ? 的分布列为

?
P

3

4

5

6

27 125

54 125

36 125

8 125
????????10 分

数学期望:E ? =3×

27 54 36 8 21 +4× +5× +6× = ????12 分 125 125 125 125 5

38、 (广东省韶关市 2008 届高三第一次调研考试)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生, 将其成 绩(均为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答 下列问题: (Ⅰ)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和 平均分; (Ⅲ) 从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人, 求他们在同一分数段的概率. (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

f4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.03 ??2 分
直方图如右所示????????????.4 分 (Ⅱ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %......................................6 分 利用组中值估算抽样学生的平均分

45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f5 ? 95 ? f6 ???????.8 分
= 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分????????????????.9 分 (Ⅲ)[70, 80) ,[80, 90) ,[90, 100] ”的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选 两人,他们在同一分数段的概率。
2 2 87 C18 ? C15 ? C32 ????????????????????12 分 P? ? 2 210 C36

39、(广东省深圳市 2008 年高三年级第一次调研考试)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的 入口处,小球将自由下落.小球在 下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右 两边下落的概率都是

1 . 2 (Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A) ;
(Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为落入 A 袋中的小球个数,试求 ? ? 3 的概率和 ? 的数学期望

E? .

解: (Ⅰ)记“小球落入 A 袋中”为事件 A , “小球落入 B 袋中”为事件 B ,则事件 A 的对立事件为 B ,而小球 落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故

?1? ?1? 1 P( B) ? ? ? ? ? ? ? , ?2? ?2? 4
从而 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

3

3

1 3 ? ; 4 4

? 3? (Ⅱ)显然,随机变量 ? ? B ? 4 , ? ,故 ? 4?
? 3 ? 1 27 , P(? ? 3) ? C ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 64
3 4 3

3 E? ? 4 ? ? 3 . 4
40、(广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从桥上游漂 流而下的一巨大汽油罐.已知只有 5 发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次 射击命中率都是
2 .,每次命中与否互相独立. 3

(Ⅰ) 求油罐被引爆的概率. (Ⅱ) 如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ ,求ξ 的分布列及ξ 的数学期望; 解:(I)“油罐被引爆”的事件为事件 A,其对立事件为 A ,则 P( A )=C 1 ? ?? ? ? ? ? ????4 分 5
? 1 ? 2 ?? 1 ? 4 ? 1 ?5 ? 232 ∴P(A)=1- ?C5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 243 ? ? ?
? 2 ?? 1 ? ? 3 ?? 3 ?
4

?1? ?3?

5

答:油罐被引爆的概率为

232 ????6 分 243

(II)射击次数ξ 的可能取值为 2,3,4,5, ????7 分

P(ξ =2)= ? ? ?

?2? ?3?

2

4 , 9
2

2 1 2 8 P(ξ =3)=C 1 . . . ? 2 3 3 3 27
3



P(ξ =4)=C 1 . .? ? 3

2 ?1? 2 4 1 ? 2 ?? 1 ? ? 1 ? ? , P(ξ =5)=C 1 .? ?? ? ? ? ? ? ????10 分 4 3 ? 3 ? 3 27 3 ?? 3 ? ? 3 ? 9 ?

4

故ξ 的分布列为:

ξ

2
4 9

3
8 27

4
4 27

5
1 9

P
4 9 1 79 8 4 +4× +5× = 9 27 27 27

Eξ =2× +3×

????12 分

41、(广东省四校联合体第一次联考)甲、乙两射击运动员进行射击比赛,射击次数相同,已知两运动员射击的 环数 ? 稳定在 7,8,9,10 环,他们的这次成绩的频率分布直方图如下:

击中频率 0.3 0.2 0.15 0.35 0.2

击中频率

7

8 9 甲

10

射击环数

7 8 9 乙

10

射击环数

(1)求乙运动员击中 8 环的概率,并求甲、乙同时击中 9 环以上(包括 9 环)的概率。 (2)求甲运动员射击环数 ? 的概率分布列及期望;若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛,你认为让 谁参加比较合适? 解:(1)记“甲运动员击中 i 环”为事件 Ai ;“乙运动员击中 i 环”为事件 Bi ∴P(B8)=1- P(B7)- P(B9)- P(B10)=1-0.2-0.2-0.35=0.25 ∵P(A9)+P(A10)=1-0.15-0.2=0.65 P(B9)+P(B10)=0.2+0.35=0.55 ∴甲、乙同时击中 9 环以上(包括 9 环)的概率:0.65×0.55=0.3575 (2)ξ 的可能取值:7、8、9、10 分布列: ξ 7 8 9 10 P 0.2 0.15 0.3 0.35

期望 Eξ =7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8 42、(广东省五校 2008 年高三上期末联考)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:

f(x)=x,f(x)=x2 ,f(x)=x3 ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. 1 2 3 4 5 6
(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则 继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. 解:(1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知

C32 1 P( A) ? 2 ? . ????????????????????????4 分 C6 5
(2)ξ 可取 1,2,3,4.

1 1 1 C3 1 C3 C 3 3 P(? ? 1) ? 1 ? , P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? , C6 2 C6 C5 10
1 1 1 C3 C 2 C3 C1 C1 C1 C1 3 1 ; ????8 分 ? 1 ? 1 ? , P(? ? 4) ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

P(? ? 3) ?

故ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

1 2

3 10

3 20

1 20

???????????????????????10 分 1 3 3 1 7 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? . 2 10 20 20 4 答:ξ 的数学期望为 . ????????????????????????12 分 43、(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和 第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,两 道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品. 工序 (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 概 第一工序 第二工序 率 果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 产品 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (Ⅱ)(理)已知一件产品的利润如表二所示, 用ξ 、 ? 分别表示一件甲、乙产品的利润, 在(I)的条件下,求ξ 、 ? 的分布列及 Eξ 、E ? ; (Ⅱ)(文)已知一件产品的利润如表二所示, 求甲、乙产品同时获利 2.5 万元的概率。
甲 乙 0.8 0.75 0.85 0.8

7 4

(表一)

利 润 产品 甲 乙

等级 一等 5(万元) 二等 2.5 (万元)

2.5 (万元) 1.5 (万元)

(Ⅰ)解: P ? 0.8 ? 0.85 ? 0.68, 甲

P ? 0.75? 0.8 ? 0.6. ????6 分 乙

(表二)

(理)(Ⅱ)解:随机变量 ? 、 ? 的分别列是

?
P

5 0.68

2.5 0.32

?
P

2.5 0.6

1.5 0.4

E? ? 5 ? 0.68 ? 2.5 ? 0.32 ? 4.2, E? ? 2.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 0.4 ? 2.1. ????12 分
(文)(1-0.68) 0.6=0.192 ????12 分

44、(安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检)食品监管部门要对某品牌食品四项质量指标在进入市场前进行 严格的检测, 并规定四项指标中只要第四项不合格或其它三项指标中只要有两项不合格, 这种品牌的食品就不能 上市。巳知每项指标检测是相互独立的。若第四项不合格的概率为

2 1 , 且其它三项指标出现不合格的概率均是 5 5

(1)求该品牌的食品能上市的概率; (2)生产厂方规定:若四项指标均合格,每位职工可得质量保证奖 1500 元;若第一、第二、第三项指标中 仅有一项不合格且第四项指标合格,每位职工可得质量保证奖 500 元;若该品牌的食品不能上市,每位职工将被 扣除质量保证金 1000 元。设随机变量 ? 表示某位职工所得质量保证奖金数,求 ? 的期望。 解:(1)该品牌的食品能上市的概率等于 1 减去该品牌的食品不能上市的概率, 即 p ? 1 ? [C3

3 5

2

4 1 2 2 336 3 1 ( ) ? C3 ( )3 ] ? ? 5 5 5 5 625

6分

解法二:该品牌的食品能上市的概率等于四项指标都合格或第一、第二、第三项指标中仅有一项不合格 且第四项指标合格的概率,即 p ?

3 4 3 336 1 1 4 [( ) ? C3 ( ) 2 ] ? 5 5 5 5 625 3 4 3 192 3 11 4 144 , P(? ? 500) ? C3 ( ) 2 ? (2) P(? ? 1500) ? ( ) ? ; 5 5 625 5 5 5 625 336 289 ? 易知 P (? ? ?1000) ? 1 ? 625 625
∴ ? 的分布列为:

12 分

?
P

1500

500

?1000

144 625 192 144 289 ? 500 ? ? 1000 ? ? 113.6 ∴ ? 的期望为 E? ? 1500 ? 625 625 625

192 625

289 625

45、(河北省正定中学高 2008 届一模)2008 年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、 女子团体共四枚金牌,保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为 概率均为

3 ,中国乒乓球女队获得一枚金牌的 4

4 5

(1)求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率; (2)记中国乒乓球队获得金牌的数为 ? ,按此估计 ? 的分布列和数学期望 E? 。 (1)设中国乒乓球男队获 0 枚金牌,女队获 1 枚金牌为事件 A ,中国乒乓球男队获 1 枚金牌,女队获 2 枚 金牌为事件 B ,那么,

? 3? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) = C ?1 ? ? ? 4?
1 2

2

3 ?? 4 ? 13 ?4? ? 4? 1? 3? ? ? ?? 1 ? ? ? C2 ? ?? 1 ? ?? ? = ? ? ? ?5? ? 5? ? 4 ? ? 4 ?? 5 ? 50

2

(2)根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量 ? ,它的所有可能取值为 0,1,2,3,4(单位:枚)

? 3? 那么 P(? ? 0) ? C ?1 ? ? ? 4?
1 2

2

1 ? 4? ?1 ? ? ? ? 5 ? 400

2

3? ? 3? ?3? ? 4? 1? 4? ? P(? ? 1) ? C ?1 ? ?? ?? 1 ? ? ? C2 ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? 4? ?4? ? 5? ?5? ? 4?
1 2

2

2

7 ? 4? ?1 ? ? ? ? 5 ? 200
2

? 3 ? ? 3 ? ? 4 ?? 4 ? ? 4 ? P(? ? 2) ? C C ?1 ? ?? ?? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? ? 5 ?? 5 ? ? 5 ?
1 2 1 2

2

? 3? ? 1? ? ? ? 4?

? 4 ? ? 3 ? 73 ?1 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 4 ? 400

2

3? ? 3? ?4? 1? 1?3? P(? ? 3) ? C2 ?1 ? ?? ?? ? ? C2 ? ? ? ? ? 4? ? 4? ?5? ? 4? ?3? P(? ? 4) ? ? ? ?4?
则概率分布为:
2 2

2

2

? 4 ?? 4 ? 21 ? ??1 ? ? ? ? ? 5 ?? 5 ? 50

9 ? 4? ????????????????????(8 分) ? ? ? ? ? 5 ? 25

?
P

0

1

2

3

4

1 400

7 200

73 400

21 50

9 25

?????????????????????????????????(10 分)

1 7 73 21 9 31 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 4 ? ? (枚) 400 200 400 50 25 10 31 答:中国乒乓球队获得金牌数的期望为 枚。????????????.(12 分) 10
那么,所获金牌的数学期望 E? ? 0 ? 46、(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考理科)在雅典奥运会中,中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制 进行决赛,根据以往战况,中国女排在每一局中赢的概率都是

3 ,已知比赛中,俄罗斯女排先赢了第一局, 5

求: (1)中国女排在这种情况下取胜的概率; (2)设比赛局数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? (均用分数作答). 解:(1)中国女排取胜的情况有两种:一是中国女排连胜三局; 二是中国女排在 2 到 4 局中赢两局,再赢第五局.

--------2 分

3 3 297 2 3 2 2 3 所以中国女排取胜的概率为 ( ) ? C 3 ( ) ? ? ? -----------4 分 5 5 5 5 625 2 2 4 3 51 1 2 3 2 P(? ? 4) ? C 2 ? ? ? ? ( ) 3 ? (2) P(? ? 3) ? ( ) ? 5 25 5 5 5 5 125 3 2 3 2 3 270 1 2 P(? ? 5) ? C3 ? ? ( ) 2 ? ? C32 ? ( ) 2 ? ? ? --------------8 分 5 5 5 5 5 5 625 ? ? 的分布列为:

?
P

3

4

5

4 25 4 51 270 534 ? 4? ? 5? ? 所以 E? = 3 ? 。 25 125 625 125

51 125

270 625
-------------------------12 分

47、(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考文科)小张参加某电视台举办的百科知识竞赛的预选赛,只有闯过 了三关的人才能参加决赛。按规则:只有过了第一关,才能去闯第二关;只有过了第二关,才能去闯第三关。 对小张来说,过第一关的概率为 0.8,如果不按规则去闯第一关,而直接去闯第二关能通过的概率为 0.75, 直接去闯第三关能通过的概率为 0.5。

(1)求小张在第二关被淘汰的概率; (2)求小张不能参加决赛的概率。 解:记小张能过第一关的事件为 A,直接去闯第二关能通过的事件为 B,直接闯第三关能通过的事件为 C; 则 P(A)=0.8,P(B)=0.75,P(C)=0.5, --------6 分 (1)小张在第二关被淘汰的概率为 P( A ? B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? 0.8 ? (1 ? 0.75) ? 0.2. (2) 张不能参加决赛的概率为 -------12分 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? 0.8 ? 0.75? 0.5 ? 0.7 48、(河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检)体育课进行篮球投篮达标测试,规定:每位同学有 5 次投篮机会,若投中 3 次则“达标”;为节省测试时间,同时规定:若投篮不到 5 次已达标,则停止投篮; 若既使后面投篮全中,也不能达标(如前 3 次投中 0 次)则也停止投篮。同学甲投篮命中率为 篮互不影响。 (1)求同学甲测试达标的概率。 (2)设测试中甲投篮次数记 ? ,求 ? 的分布列及期望 E ? 。 解:(1)同学甲测试达标的概率

2 且每次投 3

2 2 64 1 1 2 2 1 P ? ( ) 3 ? C 3 ( )( ) 3 ? C 4 ( ) 2 ( ) 3 ? 3 3 3 3 3 81
(2) ? 的取值为 3,4,5

2 1 1 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 3 3 3 1 2 3 10 1 1 2 1 P(? ? 4) ? C 3 ( )( ) ? C 3 ( )( ) 3 ? 3 3 3 3 27 3 8 2 1 P(? ? 5) ? C 4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 3 27
? ? 的分布列

?
P

3

4

5

4 27

10 27

8 27

E? ? 3 ?

9 10 8 107 ? 4? ? 5? ? 27 27 27 27

49、(河南省濮阳市 2008 年高三摸底考试)最近,李师傅一家三口就如何将手中的 10 万块钱投资理财,提出 了三种方案: 第一种方案:将 10 万块钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利 40%, 也可能亏损 20%(只有这两种可能),且获利的概率为 .

第二种方案:将 10 万块钱全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年可能获利 20%,也可能损失 10%,也可能不赔不赚,且三种情况发生的概率分别为 , , .

第三种方案:将 10 万块钱全部存入银行一年,现在存款利率为 4%,存款利息税率为 5%. 针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.

50、(河南省许昌市 2008 年上期末质量评估)袋中装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球,从袋中随机取球,设取 到一个红球得 2 分,取到一个白球得 1 分.现从袋中每次取出一个球,记住得分后放回再次取出一个球· (Ⅰ)求连续取 3 次球,恰得 3 分的概率; (Ⅱ)求连续取 2 次球的得分ξ 的分布列及期望.

51、(黑龙江省哈尔滨九中 2008 年第三次模拟考试)一个均匀的正四面体的四个面分别涂有 1、2、3、4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体底面上的数字分别为 x1 , x2 ,记 ? ? ( x1 ? 3) ? ( x2 ? 3) ,
2 2

(1)分别求出 ? 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望.

解:(I)函数 x 可能是 1,2,3,4,则 x—3 分列得 2 —2,—1,0,1,于是(x-3) 所取的点分别为 0,1,4,因此ξ 的可能取值为, 0,1,2,4,5,8 ????2 分

1 1 1 ? ? 4 4 16 1 1 1 2 2 . 当 a1 ? 3且x 2 ? 3时, ? ? (? 1 ? 3) ? ( x 2 ? 3) 可取最小值 0, P(? 0) ? ? ? 4 4 16
当 a1 ? 1且x 2 ? 1时, ? ? (? 1 ? 3) ? ( x 2 ? 3) 可取得最大值 8, P(? ? 8) ?
2 2

(II)由(I)知ξ 的所有取值为 0,1,2,4,5,8

4 1 ? 16 4 4 1 当? ? 2时(? 1 , ? 2 )的所有值(2,2)(4,4)(4,2)即P(? ? 2) ? ? 16 4 2 1 当? ? 4时(? 1 , ? 2 )的所有值(1,3)(3,1)即P(? ? 4) ? ? 16 3 当? ? 1时(? , x1 )的所有值(2,3)(4,3)(3,2)即P(? ? 1) ?
当 ? ? 5时( x1 , x 2 )的所有值 (2,1)(1,4)(1,2)( 4,1)即P(? ? 5) ? 即ξ 的分布列为 ξ E P 0 1 2 4 5 8

4 1 ? ????8 分 16 4

1 1 1 1 1 1 16 4 4 8 4 16 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 8 ? ? 3 ????12 分 故期望 Eξ = 0 ? 16 4 4 8 4 16
52、(湖北省八校高 2008 第二次联考)高考数学试题中共有 10 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其 中有且仅有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选 1 项,答对得 5 分,不答或答错得 0 分.” 某考生每 道题都给出了一个答案,已确定有 6 道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项是错 误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜,试求出该考生: (Ⅰ)得 50 分的概率; (Ⅱ)得多少分的可能性最大; (Ⅲ)所得分数 ? 的数学期望. 解:(1)得分为 50 分,10 道题必须全做对.
1 1 1 在其余的四道题中,有两道题答对的概率为 ,有一道题答对的概率为 ,还有一道答对的概率为 , 2 4 3

1 1 1 1 1 所以得分为 50 分的概率为:P= ? ? ? ? . 2 2 3 4 48

???(3 分)

(2)依题意,该考生得分的范围为{30,35,40,45,50}.
1 1 2 3 6 1 得分为 30 分表示只做对了 6 道题,其余各题都做错,所以概率为: P ? ? ? ? ? ? ; 1 2 2 3 4 48 8 1 1 1 3 1 1 2 1 17 1 1 1 2 3 同样可以求得得分为 35 分的概率为: P2 ? C2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48

得分为 40 分的概率为: P3 ? 得分为 50 分的概率为: P5 ?

17 ; 48 1 . 48

得分为 45 分的概率为: P4 ?

7 ; 48

所以得 35 分或得 40 分的可能性最大.

??????(8 分)

(3)由(2)可知 ? 的分布列为:

?
P
? E? ? 30 ?

30
6 48

35
17 48

40
17 48

45
7 48

50
1 48

6 17 17 7 1 455 ? 35 ? ? 40 ? ? 45 ? ? 50 ? ? . 48 48 48 48 48 12

???(12 分)

53、(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)一个口袋中装有 n 个红球( n ? 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸 两个球,两个球颜色不同则为中奖. (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (Ⅲ)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P .当 n 取多少时, P 最大?
2 解:(Ⅰ)一次摸奖从 n ? 5 个球中任选两个,有 Cn?5 种, 1 1 它们等可能,其中两球不同色有 CnC5 种,?????????2 分

一次摸奖中奖的概率 p ?

10n .?????????4 分 (n ? 5)(n ? 4)
5 ,?????????6 分 9

(Ⅱ)若 n ? 5 ,一次摸奖中奖的概率 p ?

三次摸奖是独立重复试验,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是
1 P3 (1) ? C3 ? p ? (1 ? p ) 2 ?

80 . ?????????8 分 243 (Ⅲ)设每次摸奖中奖的概率为 p ,则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为
1 P ? P (1) ? C3 ? p ? (1? p)2 ? 3 p3 ? 6 p2 ? 3 p , 0 ? p ? 1 , ????????10 分 3

1 1 1 知在 (0, ) 上 P 为增函数, ( ,1) 上 P 为减函数, p ? 时 P 取 在 当 P ' ? 9 p2 ?12 p ? 3 ? 3( p ?1)(3 p ?1) , 3 3 3
得最大值.又 p ?

10n 1 ? ,解得 n ? 20 .????12 分 (n ? 5)(n ? 4) 3

答:当 n ? 20 时,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大. 【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题,体现了不同概型的综合.第Ⅲ小题中的函 数是三次函数,运用了导数求三次函数的最值.如果学生直接用

10n 代替 p ,函数将比较烦琐,这时 (n ? 5)(n ? 4)

需要运用换元的方法,将

10n 看成一个整体,再求最值. (n ? 5)(n ? 4)

54、(湖北省黄冈市麻城博达学校 2008 届三月综合测试)甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习,第一次甲传给其 他三人中的一人,第二次由拿球者再传给其他 三人中的一人,??,且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的,求: (Ⅰ)共传了四次,第四次球传回到甲的概率; (Ⅱ)若规定:最多传五次球,且在传球过程中,球传回到甲手中即停止传球;设 ξ 表示传球停止时传 球的次数,求 P(? ? 5).

解:(Ⅰ) P ?

3 ?1? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 7 ? 27 34 3? 2 ? 2 ? 2 ? 3 8 ? (Ⅱ) P (? ? 5) ? 27 35

55、(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)一个袋子中装有 m 个红球和 n 个白球(m>n≥4),它们除颜 色不同外,其余都相同,现从中任取两个球. (1)若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍,求证:m 必为奇数; (2)若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个颜色不同的概率,求满足 m+n≤20 的所有数组(m, n). 解:(1)设“取出两个红球”为事件 A,“取出一红一白两个球”为事件 B,则
P( A) ?
2 Cm C1 C1 , P( B) ? m n ??2 分 2 2 Cm? n Cm? n

由题意得 P( A) ? kP( B) (k ? N * ) 2 1 1 则有 Cm ? kCmCn ,可得 m ? 2kn ?1??4 分 ∵ k , n ? N * ,∴m 为奇数??6 分 (2)设“取出两个白球”为事件 C,则 P(C ) ?
2 1 1 由题意知 P ( A) ? P (C ) ? P ( B ) ,即有 Cm ? Cn2 ? CmCn

2 Cn ??7 分 2 Cm ? n

可得到 m ? n ? (m ? n) 2 ,从而 m+n 为完全平方数??9 分 又 m≥n≥4 及 m+n≤20 得 9≤m+n≤20 得到方程组: ? 解得: ?
?m ? n ? 9 ?m ? n ? 16 ;? m?n ?3 ? ?m ? n ? 4

?m ? 6 ?m ? 10 ,(不合题意舍去) ? ??11 分 n?3 ? ?n ? 6

故满足条件的数组(m, n)只有一组(10,6)??12 分

(B 56、(湖北省荆州市 2008 届高中毕业班质量检测)如图是两个独立的转盘 ( A)、 ) ,在两个图中三个扇形区域的 120 180 圆心角分别为 60 、 、 。用这两个转盘进行玩游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘
中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开 始),记转盘 ( A) 指针所对的区域数为 x ,转盘 ( B ) 指针所对的 区域为 y , x、y ?{1, 2,3} ,设 x ? y 的值为 ? ,每一次游戏得 到奖励分为 ? ⑴求 x ? 2 且 y ? 1 的概率;
(A) 1 3 2 2 1 (B) 3
? ? ?

⑵某人进行了 12 次游戏,求他平均可以得到的奖励分 (注:这是一个几何概率题,几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应,利用几何区域的度量来计算事件发 生的概率,即事件 A 的概率 ?

A的面积 ) 全面积
1 1 1 , P( x ? 2) ? , P( x ? 3) ? ; 6 3 2

解:⑴由几何概率模型可知: P( x ? 1) ?

1 1 1 P( y ? 1) ? , P( y ? 2) ? , P( y ? 3) ? 3 2 6 1 2 则 P( x ? 2) ? P( x ? 1) ? , P( y ? 1) ? P( y ? 2) ? p( y ? 3) ? , 6 3 1 所以 P( x ? 2, y ? 1) ? P ( x ? 2)?P( y ? 1) ? 9
3、、 6 ⑵由条件可知 ? 的取值为: 2、 4 5、 ,则 ? 的分布列为:

?
P

2

3

3

4

5

1 18

7 36

13 36

11 36

1 12

他平均一次得到的奖励分即为 ? 的期望值:

E? ? 2 ?

1 7 13 11 1 25 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 18 36 36 36 12 6

所以给他玩 12 次,平均可以得到 12?E? ? 50 分 57、(湖北省随州市 2008 年高三五月模拟)春节期间,某鲜花店中某种鲜花的进货价为每束 2.5 元,销售价为 每束 5 元,若在春节期间内没售完,则在春节期间营业结束后以每束 1.5 元的价格处理,根据前 5 年的有关资料 统计,春节期间这种鲜花的需求量 ? 服从以下分布

?
P

20 0.20

30 0.35

40 0.30

50 0.15

问该鲜花店今年春节前应进多少束(每次进货数是 10 的倍数)该鲜花利润最大?

58、(湖北省武汉市武昌区 2008 届高中毕业生元月调研测试)设有 3 个投球手,其中一人命中率为 q,剩下的 两人水平相当且命中率均为 p p, q? ? 0,1? , 每位投球手均独立投球一次, 记投球命中的总次数为随机变量为

?

?

?.
(Ⅰ)当 p ? q ?

1 时,求 E? 及 D? ; 2

(Ⅱ)当 p ? q ? 1时,求 ? 的分布列和 E? .

解:(Ⅰ)当 p ? q ?

1 ? 1? 时, ? ~ B ? 3, ? . 2 ? 2? 1 3 1 ? 1? 3 ? , D? ? np ?1 ? p ? ? 3 ? ? ?1 ? ? ? . 2 2 2 ? 2? 4
????6 分

故 E? ? np ? 3 ?

(Ⅱ) ? 的可取值为 0,1,2,3.

P ?? ? 0 ? ? ?1 ? q ??1 ? p ? ? pq 2 ;
2 1 P ?? ? 1? ? q ?1 ? q ? ? ?1 ? q ? C2 p ?1 ? p ? ? q 3 ? 2 p 2 q ; 2 1 P ?? ? 2 ? ? qqC2 p ?1 ? p ? ? ?1 ? q ? p 2 ? 2 pq 2 ? p 3 ;

P ?? ? 3? ? qp2 .

????????????10 分

? 的分布列为
?
P 0 1 2 3

pq2

q3 ? 2 p 2 q

2 pq2 ? p3

qp 2

E? =0× pq2 +1× ? q 3 ? 2 p 2 q ? +2× ? 2 pq 2 ? p 3 ? +3× qp 2 =1 ? p . ?????12 分 .
59、(湖南省十二校 2008 届高三第一次联考)旅游公司为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁 4 条旅游线路,每 个旅游团任选其中一条. (Ⅰ)求 3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率 P1; (Ⅱ)求恰有 2 条线路没有被选择的概率 P2; (Ⅲ)求选择甲线路的旅游团数?的分布列与数学期望. A3 3 解:(Ⅰ) P ? 34 ? ; ???????3 分 1 4 8 2 2 2 C C3 A 9 (Ⅱ) P2 ? 4 3 2 ? ; ???????12 分 4 16 (Ⅲ)?的取值为 0、1、2、3. C1 ? 3 ? 3 27 C2 ? 3 9 33 27 1 1 P (? ? 0) ? 3 ? , P (? ? 1) ? 3 3 ? , P (? ? 3) ? 3 ? , P (? ? 2) ? 3 3 ? . 4 64 4 64 4 64 4 64 ∴?的分布列为: ? 0 1 2 3

P
∴E?=

27 64

27 64

9 64

1 64

3 . ???????12 分 4

60、 (湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考)国家射击队为备战 2008 年北京奥运会进行紧张艰苦的训练, 训练项目完成后,教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动。在一次速射“飞碟”的游戏活动中,教练制定 如下规则:每次飞碟飞行过程中只允许射击三次,根据飞碟飞行的规律,队员甲在飞行距离为 50 米远处命中的 概率为

2 . 3

(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏,试求队员甲在这三次游戏中第一枪至少有一次击中的概 ... 率。 (2)如果队员甲射击飞行距离为 50 米远处的飞碟,如果第一次未命中,则进行第二次射击,同时第二次射 击时飞碟行距离变为 100 米; 如果第二次未命中, 则进行第三次射击, 第三次射击时飞碟飞行距离变为 150 米 (此 后飞碟不在射程之内) .已知, 命中的概率与飞碟飞和地距离的平方成反比.求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概 ..... 率。 解:(1)记“队员甲在三次游戏中,第一枪至少有一次命中”为事件 A.

P( A) ? 1 ? P( A) ?

26 ??????????????????????????(5 分) 27

(2)记在一次游戏中“第 i 次击中飞碟”为事件 Bi (i ? 1,2,3).

P( B1 ) ?

2 2 1 1 2 1 2 , P( B2 ) ? ? ( ) 2 ? , P( B3 ) ? ? ( ) 2 ? . ??????????(8 分) 3 3 2 6 3 3 27

又 Bi 是相互独立事件.

? P(B) ? P(B1 ) ? P(B1 ? B2 ) ? P(B1 ? B2 ? B3 ) ? P(B1 ) ? P(B1 ) ? P(B2 ) ? P(B1 ) ? P(B2 ) ? P(B3 )
? 2 1 1 1 5 2 361 ? ? ? ? ? ? . ?????????????????????(12 分) 3 3 6 3 6 27 486 1 ,乙 2

61、(湖南省雅礼中学 2008 年高三年级第六次月考)某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行,比赛采用积 分制,比赛规则规定赢一局得 2 分,平一局得 1 分,输一局得 0 分, 根据以往经验,每局甲赢的概率为

1 ,且每局比赛输赢互不影响.若甲第 n 局的得分记为 an ,令 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an 3 (I)求 S3 ? 5 的概率;
赢的概率为 共进行的局数,求 ? 的分布列及数学期望。 解:(I)S3=5,即前 3 局甲 2 胜 1 平.

(Ⅱ)若规定:当其中一方的积分达到或超过 4 分时,比赛结束,否则,继续进行。设随机变量 ? 表示此次比赛

1 2 1 2 1 2 1 得 S3=5 的概率为 C 3 ( ) ( ) ? 2 6 8
(II)

由已知甲赢的概率为 ,平的概率为

1 1 ,输的概率为 , ????????????2 分 6 3
????????????5 分 3 4

?

2

P

13 36 13 101 37 607 ? 3? ? 4? ? 36 216 216 216

101 216

37 216

E? ? 2 ?

62、(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球 1 的概率是 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p. 3 (1)从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止. ① 求恰好摸 5 次停止的概率; ② 记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布率及数学期望 E ? .

(2)若 A、B 两个袋子中的球数之比为 1∶2,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是 求 p 的值.
2 2 2 解析:(1)(i)P= C4 ? ( ) ? ( ) ?

2 , 5

(ii)随机变量 ? 的取值为 0, 1, 2, 3.
k 由 n 次独立重复试验概率公式 P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k , 得 n

1 3

2 3

1 8 ? . 3 81

???????3 分

1 32 1 1 80 1 P(? ? 0) ? C50 ? (1 ? )5 ? , P(? ? 1) ? C5 ? ? (1 ? ) 4 ? , 3 243 3 3 243 1 1 80 32 ? 80 ? 2 17 P(? ? 2) ? C52 ? ( ) 2 ? (1 ? )3 ? , P(? ? 3) ? 1 ? ? . 3 3 243 243 81 随机变量 ? 的分布列是 0 1 2 3 ? 32 80 80 17 P 243 243 243 81 32 80 80 17 131 ?0? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ???8 分 ? 的数学期望是 E? ? 243 243 243 81 81
(2) 设袋子 A 有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球.

? 6分

1 m ? 2mp 13 2 3 由 ? , 得p? . 30 3m 5

??????12 分

63、(黄家中学高 08 级十二月月考)在盒子里有大小相同,仅颜色不同的乒乓球共 10 个,其中红球 5 个,白球 3 个,蓝球 2 个。现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里,最多取 3 次,取出蓝球则不再取球。 求(1)最多取两次就结束的概率; (2)正好取到 2 个白球的概率; (3)取球次数的分布列和数学期望。 1 1 1 【解】:(1)设取球次数为 ?1 ,则 P ??1 ? 1? ? C2 ? 1 , P ??1 ? 2 ? ? C8 ? C2 ? 4 ? 1 ? 4 1 1 1 C10 5 C10 C10 5 5 25 1 4 9 所以最多取两次的概率 P ? ? ? 5 25 25 (2)由题意知可以如下取球:红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况, 5 3 3 3 3 2 153 所以恰有两次取到白球的概率为 P ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 10 10 10 10 10 10 1000 (3)设取球次数为 ? ,则 P ?? ? 1? ? 2 ? 1 , P ?? ? 2 ? ? 8 ? 2 ? 4 10 5 10 10 25
P ? ? ? 3? ? 8 8 ? 2 8 ? 16 , ? ?? ? ? ? 10 10 ? 10 10 ? 25

则分布列为:

取球次数的数学期望为 E? ? 1? ? 2 ?

1 5

4 16 61 。 ? 3? ? 25 25 25

64、(吉林省吉林市 2008 届上期末)某网站的网络服务器共有 3 个外网端口,据以往的安全监控分析得知,这 3 个网络端口各自受黑客入侵的概率为 0.1,只要有一个网络端口被入侵都会导致服务器瘫痪,从而导致被迫 中断工作. (1)求该服务器中断工作的概率; (2)假设网站有两台相同的服务器,互相独立工作,而网站只要有一台能工作,该网站都能正常运营,求该 网站能够正常运营的概率(精确到 3 个有效数字). 解:(1)该服务器继续工作的条件是三个网终络口均未被黑客入侵,其概率为

P?(1 ? 0.1) ? (1 ? 0.1) ? (1 ? 0.1) ? 0.729
∴该服务器中断工作的概率为 P2=1-P′=1-0.729=0.271??????8 分

(2)该网站能正常运营的概率 解法一: P3=C1×(1-0.271)×0.271+(1-0.271)×(1-0.271) =0.926559≈0.927??????????12 分 解法二:∵只有两台网络服务器都不能工作时,该网站才不能正常运营 ∴该网站不能正常运营的概率 P=0.271×0.271=0.073441 ∴该网站能正常运营的概率 P3=1-P=1-0.073441 =0.926559≈0.927??????????12 分 65、(湖南省岳阳市 2008 届高三第一次模拟)甲、乙二人各有一个放有 3 个红球,2 个黄球,1 个白球的箱子,两 个人各自从自己的箱子中任取一球,规定:当两球同色时甲胜,异色时乙胜. (Ⅰ)求甲取胜的概率; (Ⅱ)若又规定:当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为 1、2、3 分,否则得 0 分, 求甲得分的期望. 解:(Ⅰ)设甲取红、黄、白球的事件分别为 A、B 、C ,乙取红、黄、白球的事件分别为 A?、B ?、C ? ,则事

C C 件 A、A?, B 、B ?, 、C ? 相互独立,而事件 A ? A?, B ? B ?, ? C ? 两两互斥,
由题知 P ? A ? ? P ? A? ? ?

1 1 1 , P ? B ? ? P ? B ?? ? , P ?C ? ? P ?C ?? ? , 2 3 6

则甲取胜的概率 P ? A ? A? ? B ? B ?+ C ? C ?? ? P ? A ? A?? ? P ? B ? B ?) ? P( ? C ?? C

1 1 1 7 ? ? P ? A? P ? A?? ? P ? B? P ? B?? ? P ?C ? P ?C?? = ? ? 4 9 36 18 7 所以甲取胜的概率为 . 18 (Ⅱ)设甲得分数为随机变量 ? ,则 ? 取值为 0,1,2,3. 1 1 1 7 11 , P ?? ? 0 ? ? 1 ? ? . 由题知 P ?? ? 1? ? , P ?? ? 2 ? ? , P ?? ? 3? ? 4 9 36 18 18 11 1 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 所以甲得分的期望 E ?? ? ? 0 ? 18 4 9 36 9
66、(吉林省实验中学 2008 届高三年级第五次模拟考试)袋中装有大小相等的 3 个白球,2 个红球和 n 个黑 球,现从中任取 2 个球,每取得一个白球得 1 分,每取得一个红球得 2 分,每取得一个黑球 0 分,用 ? 表示 所得分数,已知得 0 分的概率为 (Ⅰ)袋中黑球的个数 n ; (Ⅱ) ? 的概率分布列及数学期望 E? 。 解:(Ⅰ)? p(? ? 0) ?
2 Cn 1 ? , ????????????????3 分 2 C n ?5 6

1 。 6

? n 2 ? 3n ? 4 ? 0, 解得n ? ?1(舍去)或n ? 4 即袋中有 4 个黑球。 ????5 分
(Ⅱ) ?可能的取值0, 1, 2, 3, 4。

1 1 1 1 C 4 C3 1 C32 ? C4 ? C2 11 1 ? p (? ? 0) ? , P(? ? 1) ? ? P(? ? 2) ? ? , 6 3, 36 C92 C92 1 1 C3 ? C 2 1 C2 1 ? , P(? ? 4) ? 2 ? 2 2 6 C9 C9 36

P(? ? 3) ?

????????8 分

??的概率分布列为

?
P
E? ? 0 ?

0
1 6

1
1 3

2
11 36

3
1 6

4
1 36

1 1 11 1 1 14 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? ??????????12 分 6 3 36 6 36 9

67、(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)在一次面试中,每位考生从 4 道题 a,b,c,d 中任抽两题做,假 设每位考生抽到各题的可能性相等,且考生相互之间没有影响. (1)若甲考生抽到 a,b 题,求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率; (2)设某两位考生抽到的题中恰好有 X 道相同,求随机变量 X 的概率分布和期望 E(X). 解:(1)
1 1 C2 ? C2 2 ? 2 3 C4

2 答:乙考生与甲考生恰有一题相同的概率为 . 3 (2) X 的可能取值为 0,1,2,
2 2 C4 ? C2 1 P( X ? 0) ? 2 2 ? C4 ? C4 6

P( X ? 2) ?

2 C4 ? 1 2 1 ? , P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 2 2 3 C4 ? C4 6

所以随机变量 X 的概率分布为??????????????????10 分 X P 0 1 6 1 2 3 2 1 6

X 的期望 E ( x) ? 0 ?

1 2 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 1??????????????12 分 6 3 6

68、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3, 4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和为偶数算甲赢, 否则算乙赢. (Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 解: (I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.????????2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5= 25( 个 ) 等 可 能 的 结 果 , ????????4分 所以 P( A) ?

5 1 ? . ???????????????????????????6分 25 5

1 答:编号的和为6的概率为 .?????????????????????????7分 5 (Ⅱ)这种游戏规则不公平.??????????????????????????9分 设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, ?????????????????10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, , 2) (4, 4), (5, , 1) (5,3), (5,5). 13 13 12 ,从而乙胜的概率P(C)=1- = .????14分 25 25 25 由于P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. ????????????15分 评讲建议: 本题主要考查古典概率的计算及其相关知识, 要求学生列举全面, 书写规范. 尤其注意此类问题的答题格式: 设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答. 引申:连续玩此游戏三次, 若以 D 表示甲至少赢一次的事件, 表示乙至少赢两次的事件, E 试问 D 与 E 是否为 互斥事件?为什么?( D 与 E 不是互斥事件.因为事件 D 与 E 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件 即符合题意;亦可分别求 P( D)、 P( E),由 P( D)+ P( E)>1 可得两者一互斥.)
所以甲胜的概率P(B)= 69、(江苏省前黄高级中学 2008 届高三调研)在一次数学考试中, 第 14 题和第 15 题为选做题。规定每位考生必 1 须且只须在其中选做一题. 设 4 名考生选做这两题的可能性均为 . 2 (Ⅰ)其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率; (Ⅱ)设这 4 名考生中选做第 15 题的学生数为 X 个,求 X 的分布列及数学期望. 解: (Ⅰ)设事件 A 表示“甲选做 14 题”,事件 B 表示“乙选做 14 题”,则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为 “ AB ? AB ”,且事件 A 、 B 相互独立

1 1 1 1 1 P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) = ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 2 2 2 2 1 (Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 ? ? B (4, ) . 2 1 k 1 k 1 P(? ? k ) ? C4 ( ) k (1 ? ) 4? k ? C4 ( ) 4 (k ? 0,1, 2,3, 4) ∴ 2 2 2
∴ 所以变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

E? ? 0 ?

1 1 3 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 或 E? ? np ? 4 ? ? 2 16 4 8 4 16 2

70、 (江苏省如东高级中学 2008 届高三四月份模拟)A 有一只放有 x 个红球, 个白球, 个黄球的箱子 x,y,z≥0, y z ( 且 x ? y ? z ? 6 ),B 有一只放有 3 个红球,2 个白球,1 个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球比 颜色,规定同色时为 A 胜,异色时为 B 胜 (1)写出 A 胜的所有基本事件 (2)用 x, y,z 表示 B 胜的概率;
王新敞
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(3)当 A 如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大? 解:⑴显然 A 胜与 B 胜为对立事件,A 胜分为三个基本事件: ①A1:“A B 均取红球”;②A2:“A B 均取白球”;③A3:“A
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

B 均取黄球”

王新敞
奎屯

新疆

x 1 y 1 z 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? 6 2 6 3 6 6 3x ? 2 y ? z 3x ? 2 y ? z ? P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? , ? P( B) ? 1 ? 36 36 3x ? 2 y ? z (3)由(1)知 P ( A) ? , 又x ? y ? z ? 6, x ? 0, y ? 0, z ? 0 36
⑵? P( A1 ) ? 于是 P( A) ?

3x ? 2 y ? z 12 ? x ? z 1 ? ? 36 36 2

1 ? x ? 6, y ? z ? 0 ,即 A 在箱中只放 6 个红球时,获胜概率最大,其值为 2 71、(江苏省泰兴市 2007—2008 学年第一学期高三调研)某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分 布列为

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付 款,其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (1)求事件 A :“购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P ( A) ; (2)求? 的分布列及期望 E? . 解(1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”. 知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”

P( A) ? (1 ? 0.4)2 ? 0.216 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784 .????4 分
(2)? 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元.

P(? ? 200) ? P(? ? 1) ? 0.4 , P(? ? 250) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 , P(? ? 300) ? 1 ? P(? ? 200) ? P(? ? 250) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 .

? 的分布列为 ?
P

200 0.4

250 0.4

300 0.2

E? ? 200 ? 0.4 ? 250 ? 0.4 ? 300 ? 0.2 ? 240 (元).????????10 分
72、(江苏省南通通州市 2008 届高三年级第二次统一测试)某人在水池中养了 10 条金鱼,其中 4 条为白色,6 条 为红色, 他每天随机地从水池中取出 3 条放入水箱中进行观察, 观察后又把这 3 条放回水池中, 连续 5 天的观察。 (1)问一天中,他取出两种颜色鱼的概率是多少? (2)设随机变量 X 是取出两种颜色鱼的天数,求 X 的概率分布。 解:(1)取出两种鱼有两种可能,即 1 条白色鱼,2 条红色鱼;或.2 条白色鱼,1 条红色鱼。取出 1 条白色鱼, 2 条红色鱼的方法数为 C4C6 ; 取出 2 条白色鱼,1 条红色鱼的方法数为 C4 C6 。
2 1 1 2

3 而从 10 条鱼中取出 3 条鱼的方法数为 C10 。
1 2 2 1 C4C6 ? C4 C6 4 = ; 3 C10 5

故所求的概率为: (2) X P 0

5′

1

2

3

4

5

1 3125

20 3125

160 3125

640 3125

1280 3125

1024 3125

可以化简为 X P 0 1 2 3 4 5

1 3125

4 625

32 625

128 625

256 3125

1024 3125

10′ 73、(江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟)在一次语文测试中,有一道我国四大文学名著《水浒传》、《三国 演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者的连线题,已知连对一个得 2 分,连错一个不得分. (Ⅰ)求该同学得分的分布列; (Ⅱ)求该同学得分的数学期望. 解:(I)设该同学连对线的个数为 y,得分为ξ ,则 y=0,1,2,4 ∴ξ =0,2,4,8?????1 分

P(? ? 0) ?

9 9 ?????3 分 ? 4 A4 24

1 1 C4 C2 8 1 P(? ? 2) ? ? ? ?????5 分 4 24 3 A4 2 C4 6 1 ? ? ?????7 分 4 A4 24 4

P(? ? 4) ?
P(? ? 8) ?

1 1 ???????9 分 ? 4 A4 24
0 2 1 3 4 1 4 8

则ξ 的分布列为 ξ P

9 24

1 24

????????10 分 (II)Eξ =0×

9 1 1 1 +2× +4× +8× =2 24 3 4 24

答:该人得分的期望为 2 分???????12 分 74、(宁夏区银川一中 2008 届第六次月考)某车间在三天内,每天生产 10 件某产品,其中第一天,第二 天分别生产出了 1 件、2 件次品,而质检部每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查,若发现有 次品,则当天的产品不能通过. (Ⅰ)求第一天通过检查的概率; (Ⅱ)求前两天全部通过检查的概率; (Ⅲ)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得 0 分,通过 1 天、2 天分别得 1 分、2 分, 求该车间在这两天内得分 X 的数学期望.

解:(I)?随意抽取 4 件产品检查是随机事件,而第一天有 9 件正品
4 ?第一天通过检查的概率为 P1 ? C9 ? 3 4

??5 分

C10

5

4 (II)同(I),第二天通过检查的概率为 P2 ? C8 ? 1 4 C10 3

??7 分

因第一天,第二天是否通过检查相互独立 所以,两天全部通过检查的概率为: P ? P1 P2 ? 3 ? 1 ? 1 5 3 5 (Ⅲ)记得分为 ? ,则 ? 的值分别为 0,1,2 ??10 分

? P(? ? 0) ?

2 2 4 ? ? 5 3 15

??11 分 ??12 分 ??13 分

P(? ? 1) ?
P(? ? 2) ?

3 2 1 2 8 ? ? ? ? 5 3 3 5 15

3 1 1 ? ? 5 3 5 因此, E? ? 0 ? 4 ? 1 ? 8 ? 2 ? 1 ? 14 15 15 5 15

75、(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)甲乙两个奥运会主办城市之间有 7 条网线并联,这 7 条网线能通 过的信息量分别为 l,1,2,2,2,3,3,现从中任选三条网线,设可通过的信息量为 X,当可通过的信息量 X ≥6,则可保证信息通畅. (1)求线路信息通畅的概率; (2)求线路可通过的信息量 X 的分布列; (3)求线路可通过的信息量 X 的数学期望. 解:(1) P( X ? 8) ?
2 1 C2 C3 3 C 2C1 ? C 2C1 8 ? , P( X ? 7) ? 3 2 3 2 2 ? 3 C7 35 C7 35

1 1 1 3 C2C3C2 ? C3 13 P( X ? 6) ? ? 3 C7 35

3分

所以线路信息通畅的概率为 (2) P( X ? 5) ? X 的分布列为 X 4

24 35

5分

2 1 1 C2 C2 ? C32C2 8 C 2C1 3 ? , P( X ? 4) ? 2 3 3 ? 3 C7 35 C7 35

5

6

7

8

P

3 35

8 35

13 35

8 35

3 35
9分

(3)由分布列知 E ( X ) ?

4 ? 3 5 ? 8 6 ?13 7 ? 8 8 ? 3 ? ? ? ? ?6 35 35 35 35 35

12 分

76、 (山东省实验中学 2008 届高三第三次诊断性测试)在一次数学考试中, 第 14 题和第 15 题为选做题.规定每位 1 考生必须且只需在其中选做一题. 设 4 名考生选做这两题的可能性均为 . 2 (1)其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 15 题的学生数为 X 个,求 X 的分布列及数学期望. 解:(Ⅰ)设事件 A 表示“甲选做 14 题”,事件 B 表示“乙选做 14 题”,则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事 件为“ AB ? AB ”,且事件 A 、 B 相互独立

1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ???6 分 2 2 2 2 2 1 (Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 ? ? B (4, ) . 2 1 k 1 k 1 P(? ? k ) ? C4 ( ) k (1 ? ) 4? k ? C4 ( ) 4 (k ? 0,1, 2,3, 4) ????.8 分 ∴ 2 2 2
∴ P( AB ? AB) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) = 所以变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

??.10 分 ……..12 分

E? ? 0 ?

1 1 3 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 或 E? ? np ? 4 ? ? 2 16 4 8 4 16 2

77、(山西省实验中学 2007—2008 学年度高三年级第四次月考)有 A、B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张 写 0,2 张写 1,3 张写有 2;B 袋中 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张写有 1,2 张写有 2,从 A 袋中取 1 张 卡片,B 袋中取 2 张卡片,共 3 张卡片, 求:(1)取出的 3 张卡片都写 0 的概率; (2)取出的 3 张卡片数字之积是 4 的概率; (3)取出的 3 张卡片数字之积的数字期望。 解:(1) P ?

1 21 4 (2) P ? 63
ξ P 0 2 4

????2 分 ?????6 分 8

37 42
32 63

2 63

4 63

32 63
????12 分

E? ?

78、 (山西大学附中 2008 届二月月考)设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品, 抽取 3 次进行检验, 每次任取一个, 并且取出不再放回,若以 ? 表示取出次品的个数. 求 ? 的分布列,期望及方差. 解: ? 的可能值为 0,1,2. 若 ? =0 表示没有取出次品,其概率为 P(? ? 0) ? 同理 P ?? ? 1? ?
1 2 C2 C10 C 1C 1 9 1 ? , P(? ? 2) ? 2 3 10 ? . ∴ ? 的分布为 3 22 22 C12 C12 0 3 C2 C10 6 ? ; 3 11 C12

?

0

1

2

p

6 11
2 2

9 22
2

1 22

1? 6 ? 1? 9 ? 1 ? 1 15 6 9 1 1 ? ∴ E? ? 0? ? 1? ? 3? ? , D? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? . 2 ? 11 ? 2 ? 22 ? 2 ? 22 44 11 22 22 2 ? 79、


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