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一元二次方程基本概念

时间:2018-06-30


一元二次方程基本概念
1、基本概念:
方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次) 的方程(等式),叫做一元二次方程. 一般地, 任何一个关于 x 的一元二次方程, ?经过整理, ?都能化成如下形式 ax2+bx+c=0 (a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中 ax2 是二次项,a 是二次 项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项.

2、解方程常用方法:
(1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如 x2=p(p≥0),那么 x=± 形如(mx+n)2=p(p≥0),那么 mx+n=± (2).配方法: 左边不含有 x 的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有 x 的完 全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下: x2-64x+768=0 移项→ 两边加( x2-64x=-768 x2-64x+322=-768+1024 (x-32)2=?256 ? x-32=±16 即 x-32=16 或 x-32=-16 解一次方程→ 可以验证: x1=48,x2=16 x1=48, x2=16 都是方程的根

p 转化为应用直接开平方法解

p ,达到降次转化之目的.

?64 2 ) 使左边配成 x2+2bx+b2 的形式 → 2
左边写成平方形式 → 降次→

例 1.解下列方程 (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一 个含有 x 的完全平方.

解:(1)移项,得:x2+6x=-5 配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得:x+3=±2,即 x1=-1,x2=-5 (2)移项,得:2x2+6x=-2 二次项系数化为 1,得:x2+3x=-1 配方 x2+3x+(

3 2 3 3 5 ) =-1+( )2(x+ )2= 2 2 2 4

由此可得 x+

3 5 5 3 5 3 =± ,即 x1= - ,x2=2 2 2 2 2 2

(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0 移项,得 x2+4x=1 配方,得(x+2)2=5 x+2=± 5 ,即 x1= 5 -2,x2=- 5 -2 总结用配方法解一元二次方程的步骤. (1)移项; (2)化二次项系数为 1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m)2=n 的形式; (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元 二次方程无解.

(3)公式法:
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)且 b2-4ac≥0,它的两个根 x1=

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2= 2a 2a

解:移项,得:ax2+bx=-c

b c x=a a b b 2 c b 2 配方,得:x2+ x+( ) =- +( ) a 2a a 2a
二次项系数化为 1,得 x2+ 即(x+

b 2 b 2 ? 4ac )= 2a 4a 2

∵b2-4ac≥0 且 4a2>0

b2 ? 4 a c ∴ ≥0 4a 2

b 2 ? 4ac b 直接开平方,得:x+ =± 2a 2a

即 x=

?b ? b2 ? 4ac 2a ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ,x2= 2a 2a

∴x1=

由上可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数 a、b、c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0,当 b-4ac≥0 时,? 将 a、b、c 代入式子 x=

?b ? b2 ? 4ac 就得到方程的根. 2a

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.


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