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1.1.3导数的几何意义

时间:2012-04-18


1.1.3导数的几何意义 导数的几何意义

先来复习导数的概念

定义:设函数 在点x 定义:设函数y=f(x)在点 0处及其附近有定义 当 在点 处及其附近有定义,当 自变量x在点 处有改变量Δ 时函数有相应的改变量 在点x 自变量 在点 0处有改变量Δx时函数有相应的改变量 如果当?x→ 的极限存在, Δy=f(x0+ ?x)- f(x0).如果当 →0 时,?y/?x的极限存在 如果当 的极限存在 这个极限就叫做函数f(x)在点 0处的导数 或变化率 记 在点x 或变化率)记 这个极限就叫做函数 在点 处的导数(或变化率 f ′( x0 )或y ′ 即x: , |x= 作 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y f ′( x0 ) = lim = lim . ?x →0 ?x ?x →0 ?x
0

下面来看导数的几何意义:
如图,曲线 是函数 如图 曲线C是函数 曲线 是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线 上的 是曲线C上的 的图象 是曲线 任意一点,Q(x0+?x,y0+?y) 任意一点 邻近一点,PQ为C的割线 的割线, 为P邻近一点 邻近一点 为 的割线 PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 轴 轴 为 的 倾斜角. 倾斜角
则: MP = ?x, MQ = ?y, ?y = tanβ . ?x ?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x
O P
β

y

y=f(x) Q

Δy M x

Δx

斜 率!

请看当点Q沿着曲线逐渐向点 接近时 割线PQ绕着 请看当点 沿着曲线逐渐向点P接近时 割线 绕着 沿着曲线逐渐向点 接近时,割线 逐渐转动的情况. 点P逐渐转动的情况 逐渐转动的情况 y
y=f(x) Q

割 线 T 切线

P

α
x

o

我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点 即 → 时 割线PQ 当点 沿着曲线无限接近点 割线 有一个极限位置PT.则我们把直线 称为曲线在点P处的切线. 则我们把直线PT称为曲线在点 处的切线 有一个极限位置 则我们把直线 称为曲线在点 处的切线 初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时, 初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时, 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线, 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点 叫做切点。 叫做切点。

切线. 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线 曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。 曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α 那么当 那么当?x→0时,割线 的斜率 称 割线PQ的斜率 设切线的倾斜角为α,那么当 时 割线 的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率. 处的切线的斜率 为曲线在点 处的切线的斜率

f (x0 +?x) ? f (x0 ) ?y = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ?x→0 ?x ?x→0 ?x
'

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ② 这个概念 ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在 函数在x=x0处的导数 处的导数. 切线斜率的本质 函数在

求曲线y=f(x)=x2+1在点 在点P(1,2)处的切线方程 处的切线方程. 例1:求曲线 求曲线 在点 处的切线方程 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 解 : k = lim y ?x→0 Q ?x (1 + ?x)2 + 1 ? (1 + 1) = lim 2 ?x→0 y = x +1 ?x 2?x + (?x)2 = lim = 2. ?x→0 ?x P 因此,切线方程为 切线方程为y-2=2(x-1), 因此 切线方程为 ?x 即y=2x.
1
?

?y

M

x

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的基本步骤 先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 的定义求出切线的斜率 然后 利用点斜式求切线方程. 利用点斜式求切线方程

-1 O

1

1 3 8 y = x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 练习 如图已知曲线 求 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率 (2)点P处的切线方程 处的切线的斜率; 处的切线方程. 点 处的切线的斜率 点 处的切线方程
1 1 3 3 ( x + ?x ) ? x 1 3 ?y 3 (1 = lim 3 解: ) y = x ,∴ y ′ = lim ?x → 0 ? x ?x → 0 3 ?x y 1 y= x 2 2 3 3 4 1 3 x ?x + 3 x ( ?x ) + ( ?x ) = lim 3 3 ?x → 0 ?x 2 1 2 2 2 = lim [3 x + 3 x?x + ( ?x ) ] = x . 1 3 ?x → 0

3

P

∴ y′ | x=2 = 22 = 4.
即点P处的切线的斜率等于 即点 处的切线的斜率等于4. 处的切线的斜率等于

x

-2 -1

O -1 -2

1

2

(2)在点 处的切线方程是 在点P处的切线方程是 在点 处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 即

归纳:求切线方程的步骤 归纳 求切线方程的步骤
(1)求出函数在点 0处的变化率 f ′( x 0 ) ,得到曲线 )求出函数在点x 在点(x 的切线的斜率。 在点 0,f(x0))的切线的斜率。 的切线的斜率 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即 )根据直线方程的点斜式写出切线方程,

y ? f (x0 ) = f ′(x0 )(x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想, 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 数概念。 导 数概念。

作业:

2.

例3:已知曲线C : y = x ? x + 2
3

和点A(1,2),求曲线C在点A处的 切线方程? 变式1:求过点A的曲线C的切线方程? 变式2 : 若曲线C上一点P处的切线 恰好平行于直线y = 11x ? 1, 则P点坐标为 切线方程为

例4:已知曲线C:x = 4 y
2

()直线L:x-y-4=0在曲线C上求一点P, 1 使P到直线L的距离最短,并求出最短距离 (2)直线M通过C的焦点且与抛物线 相交A,B两点,分别在A,B两点处的曲线C的 两条切线相交与点M,求证:∠AMB=90 .
o

1. y = 3 x ? 4 x + 2在点x = 1的切线方程是---------。
2

2.在曲线y = x + 3 x + 6 x + 10的切线中
3 2

斜率最小的切线方程------。 3.曲线y = ln x上的点到直线x ? y + 3 = 0 的最短距离是-----。


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