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一元二次方程的概念

时间:2016-09-29


1.复习提问 (1)什么叫做方程?曾学过哪些方程? (2)什么叫做一元一次方程?“元”和“次”的含义? 整式方程:方程的两边都是关于未知数的整式,这样的方程称为整式方程. .引例:剪一块面积为 150cm2 的长方形铁片使它的长比宽多 5cm,这块铁片应怎样剪? 设未知数列方程,并整理得方程 x2+5x-150=0, 2.1 一元二次方程的概念: 一元二次方程:像 x
2

+5x-150=0,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2,

这样的整式方程叫做一元二次方程. 注意:根据一元二次方程的定义.一元二次方程必须满足四个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0; (3)是整式方程;

(4)含有一个未知数.
例如:(1)

(2)

(3)

(4)

(5)



变式 1:指出下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x(5x-2)=x(x+1)+4x ; (3)
2

(2)7x +6=2x(3x+1);
2 2

2

1 ?7 2x 2

(4)6x =x; (5)2x =5y; (6)-x =0

2

任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式. 即:一元二次方程的一般形式:ax +bx+c=0(a≠0). ax 称二次项,bx 称一次项,c 称常数项,a 称二次项系数,b 称一次项系数. 一般式中的“a≠0”为什么? 例 1:把方程 3x(x-1)=2(x+1)+8 化成一般形式,并写出二次项系数,一次项系数及 常数项?
2 2

练习 2:下列关于 x 的方程是否是一元二次方程?为什么?若是一元二次方程,请分别指出 其二次项系数、一次项系数、常数项:.

(1)ax2 ? 2x ? 3 ? 0 (2)3x 2 ? 2mx ? 0

(3)(m ? 1) x 2 ? 8mx ? 2m ? 1 ? 0
(5)2tx(x-5)=7-4tx.

(4)(b +1)x -bx+b=2;

2

2

例 2: .方程(m+1)x

+(m﹣3)x﹣1=0;

(1)m 取何值时是一元二次方程,并求出此方程的解; (2)m 取何值时是一元一次方程. 考点: 一元二次方程的定义;一元一次方程的定义. 2 分析: (1)要使关于 x 的方程是一元二次方程,则 m +1=2 且系数不为 0.先确定 m 的值, 然后求出一元二次方程的根. (2)当二次项系数为 0,一次项系数不为零的时候,此方程为一元一次方程. 2 解答: 解: (1)解:若方程是一元二次方程,则 m +1=2,
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∴m=±1. 显然 m=﹣1 时 m+1=0 故 m=1 符合题意. 当 m=1 时,原方程可化简为 2x ﹣2x﹣1=0, 即: (x﹣1) (2x+1)=0, ∴x1= ,x2= . ,x2= .
2

因此 m=1,方程的两根为 x1=

(2)当 m+1=0 时,解得:m=﹣1, 此时方程为﹣4x﹣1=0. 2 当 m +1=1 时,解得 m=0, 此时方程为﹣2x﹣1=0, ∴当 m=﹣1 或 m=0 时,方程为一元一次方程.
2 2

变式 1:关于 x 的方程(a ﹣a﹣2)x +ax+b=0 是一元二次方程的条件是( A.a≠﹣1 B.a≠2 C.a≠﹣1 且 a≠2 D.a≠﹣1 或 a≠2 考点: 专题: 分析: 解答: 一元二次方程的定义. 计算题. 根据一元二次方程的定义解答:二次项系数不为 0. 解:根据题意,得
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a ﹣a﹣2≠0,即(a+1) (a﹣2)≠0, 解得,a≠﹣1 且 a≠2. 故选 C. 点评: 本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是 否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2, 二次项系数不为零.

2

变式 2: .求证:关于 x 的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论 m 取何值,该方程都是一元 二次方程. 分析:要证明不论 m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明 m2-8m+17?≠0 即可. 证明:m2-8m+17=(m-4)2+1 ∵(m-4)2≥0 ∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0 ∴不论 m 取何值,该方程都是一元二次方程.

练习巩固:

一、基础过关
1. (2012?汉川市模拟)下列方程是一元二次方程的是( 2 2 A.x2﹣1=y B.(x+2) (x+1)=x C.6x =5 ) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

一元二次方程的定义. 存在型. 根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可. 解:A、是二元二次方程,故本选项错误; B、原方程可化为:3x+2=0 是一元一次方程,故本选项错误; C、符合一元二次方程的定义,故本选项正确; D、是分式方程,故本选项错误. 故选 C. 点评: 本题考查的是一元二次方程的定义,即只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是 2 的整式方程叫一元二次方程.
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2. (2002?甘肃)方程(m+2)x +3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程,则( A.m=±2 B.m=2 C.m=﹣2 D.m≠±2 考点: 一元二次方程的定义. 专题: 压轴题. 分析: 本题根据一元二次方程的定义,必须满足两个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0.据此即可求解. 解答: 解:由一元二次方程的定义可得 ,解得:m=2.故选 B.
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|m|



点评: 一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c 是常数且 a≠0)特别要注意 a≠0 的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.

3.若关于 x 的方程(k﹣1)x ﹣4x﹣5=0 是一元二次方程,则 k 的取值范围是( A.k≠0 B.k≠1 C.k≠0 且 k≠1 D.k=0

2



考点: 一元二次方程的定义. 专题: 方程思想. 分析: 本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0; (3)是整式方程; (4)含有一个未知数. 解答: 解:根据题意,得 k﹣1≠0,即 k≠1. 故选 B. 点评: 本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是 否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2, 切记,二次项系数不为零.
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4.方程① 元二次方程的为( A.①

;②3y ﹣2y=﹣1;③2x ﹣5xy+3y =0;④ ) B.②

2

2

2

中,是一

C .③

D.④

考点: 一元二次方程的定义. 专题: 推理填空题. 分析: 本题根据一元二次方程的定义解答. 一元二次方程必须满足四个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0; (3)是整式方程; (4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正 确答案. 解答: 解:①未知数的最高次数是 1,故本选项错误; ②符合一元二次方程的定义,故本选项正确; ③方程含有两个未知数,故本选项错误; ④不是整式方程,故本选项错误; 故选 B. 点评: 本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是 否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2.
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5.一元二次方程 A.1,﹣4,

的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B.0,﹣4,﹣ C.0,﹣4, D.1,﹣4,﹣



考点: 一元二次方程的定义. 2 2 分析: 在一元二次方程的一般形式 ax +bx+c=0(a、b、c 是常数,且 a≠0) ,ax 叫二次项, bx 是一次项, c 是常数项, 其中 a, b, c 分别是二次项系数, 一次项系数, 常数项. 根 据定义即可判断. 解答: 解:由定义直接可得出二次项系数,一次项系数,常数项分别为 1,﹣4,﹣ .故 选:D 点评: 在说明二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要把一元二次方程首先化为一般 形式.
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二、综合训练
6.关于 x 的方程 mx +3x=x +4 是一元二次方程,则 m 应满足条件是 m≠1 . 考点: 一元二次方程的定义. 2 分析: 先移项,再合并同类项得出(m﹣1)x +3x﹣4=0,根据一元二次方程的定义得出 m ﹣1≠0,求出即可. 2 2 解答: 解:mx +3x=x +4, 2 2 mx ﹣x +3x﹣4=0, 2 (m﹣1)x +3x﹣4=0,
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2

2

∵关于 x 的方程 mx +3x=x +4 是一元二次方程, ∴m﹣1≠0, ∴m≠1, 故答案为:m≠1. 点评: 本题考查了一元二次方程的定义,注意:一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a b c 都是常数,且 a≠0) .

2

2

7.若

是关于 x 的一元二次方程,则 a= ﹣1 .

考点: 一元二次方程的定义. 专题: 探究型. 分析: 根据一元二次方程的定义列出关于 a 的不等式组,求出 a 的值即可. 解答: 解:∵此方程是一元二次方程,
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解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查的是一元二次方程的定义,根据题意列出关于 a 的不等式组是解答此题的 关键.

8.当 k= ﹣2 时, (k﹣1)

﹣(2k﹣1)x﹣3=0 是关于 x 的一元二次方程.

考点: 专题: 分析:

解答:

一元二次方程的定义. 方程思想. 本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0; (3)是整式方程; (4)含 有一个未知数. 解:根据题意,知
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, 解得,k=﹣2. 故答案为:﹣2. 本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看 是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2.
|m|﹣2

点评:

9.方程(m+4)x 考点: 分析: 解答:

+5x+3=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m=

4 .

点评:

一元二次方程的定义. 本题根据一元二次方程的定义 (只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式 方程)解答. 解:根据题意,得 |m|﹣2=2,且 m+4≠0, 解得,m=4; 故答案是:4. 本题考查了一元二次方程的定义.一元二次方程必须满足四个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0; (3)是整式方程; (4)含有一个未知数.
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三、拓展应用
1.x
2a+b

﹣2x

a+b

+3=0 是关于 x 的一元二次方程,求 a 与 b 的值.

考点: 一元二次方程的定义. 分析: 本题根据一元二次方程的定义求解.分 5 种情况分别求解即可.
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解答: 2a+b a+b 解:∵x ﹣2x +3=0 是关于 x 的一元二次方程, ∴① ② ③ ④ ⑤ 综上所述 ,解得 ,解得 ,解得 ,解得 ,解得 , . , , , . ; ; ; ;

点评: 本题主要考查了一元二次方程的概念.解题的关键是分 5 种情况讨论 x 的指数.

方程(m+1)x

+(m﹣3)x﹣1=0;

(1)m 取何值时是一元二次方程,并求出此方程的解; (2)m 取何值时是一元一次方程.


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