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匀速圆周运动的多解问题 专题辅导 不分版本

时间:2015-08-12


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匀速圆

周运动的多解问题
郭建 白头然 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动, 其一做匀速圆周运动, 另 一个物体做其他形式的运动。 因此, 依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本 思路。特别需要提醒同学们注意的是,因匀速圆周运动具有周期性,使得前一个周期中发生 的事件在后一个周期中同样可能发生, 这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间 时,必须把各种可能都考虑进去,以下几例运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学 外化。 例 1:如图 1 所示,直径为 d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动,枪口发射的子弹速度为 v,并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔,则圆筒运动的角速度 为多少?

解析:子弹穿过圆筒后作匀速直线运动,当它再次到达圆筒壁时,若原来的弹孔也恰好 运动到此处,则圆筒上只留下一个弹孔。在子弹运动位移为 d 的时间内,圆筒转过的角度为

2n? ? ? ,其中 n ? 0,1,2,3?, 即

d 2 n? ? ? ? v ?
解得角速度为: ? ?

2n? ? ? v (n ? 0,1, 2 , 3? ) d

例 2:质点 P 以 O 为圆心做半径为 R 的匀速圆周运动,如图 2 所示,周期为 T。当 P 经 过图中 D 点时,有一质量为 m 的另一质点 Q 受到力 F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。 为使 P、Q 两质点在某时刻的速度相同,则 F 的大小应满足什么条件?

解析:速度相同包括大小相等和方向相同。由质点 P 的旋转情况可知,只有当 P 运动到 圆周上的 C 点时 P、 Q 速度方向才相同。 即质点 P 应转过 (n ? ) 周 ( n ? 0,1,2,3? ) , 经历的时间

3 4

1

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3 t ? (n ? )T 4

(n ? 0,1, 2 , 3? ) (1) 2?R T ( 2)

质点 P 的速度 v ?

在同样的时间内,质点 Q 做匀加速直线运动,速度应达到 v,由牛顿第二定律及速度公 式得

v?

F t m

(3)

联立以上三式,解得: F ?

8?mR (4n ? 3)T 2

(n ? 0,1,2 ,3?)

例 3:如图 3 所示,在同一竖直面内 A 物体从 a 点做半径为 R 的匀速圆周运动,同时 B 物体从圆心 O 处自由落下,要使两物体在 b 点相遇,求 A 物体的角速度。

解析:A、B 两物体在 b 点相遇,则要求 A 从 a 匀速转到 b 和 B 从 O 自由下落到 b 用的 时间相等。 A 从 a 匀速转到 b 的时间 t 1 ? ( n ?

3 3 2? )T ? (n ? ) 4 4 ?

(n ? 0,1,2,3?)
例 4:如图 4 所示,半径为 R 的水平圆盘正以中心 O 为转轴匀速转动,从圆板中心 O 的 正上方 h 高处水平抛出一球, 此时半径 OB 恰与球的初速度方向一致。 要使球正好落在 B 点, 则小球的初速度及圆盘的角速度分别为多少?

解析:要使球正好落在 B 点,则要求小球在做平抛运动的时间内,圆盘恰好转了 n 圈 ( n ? 1,2,3? ) 。 对小球: h ?

1 2 gt 2

(1)

2

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R ? v0 t

(2)

对圆盘: 2n? ? ?t

(n ? 1,2,3?)

(3)

联立以上三式:解得: ? ? n? ?

2g (n ? 1,2,3?) h

v0 ? R

g 2h

3


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