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上海市闸北区2013届高三上学期期末教学质量调研 数学理试题

时间:2013-08-18


闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷(一模)
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并 在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个 空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1.已知 (a ? i)2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ? 【答案】 a ? ?1 【 Ks5U 解 析 】 因 为 (a ? i)2 ? a2 ? 2ai ? i 2 ? 2i , 所 以 a ? 1 ? 2ai ? 2i , 即 a ? 1 ? 0, 且
2 2



?2a ? 2 ,解得 a ? ?1 。
6 2.已知 (1 ? px2 ) 5 的展开式中, x 的系数为 80 ,则 p ?



【答案】2
k k k 2k 【 Ks5U 解析】二项展开式的通项为 Tk ?1 ? C5 ( px2 )k ? C5 p x ,由 2k ? 6 得, k ? 3 ,即 3 3 6 T4 ? C5 p x ? 10 p 3x 6 ,因为 x 6 的系数为 80,所以 10 p3 ? 80 ,即 p3 ? 8, p ? 2 。

3.设 ?an ? 是公比为 【答案】3

1 的等比数列,且 lim(a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ) ? 4 ,则 a1 ? n ?? 2



【Ks5U 解析】因为 {a2 n?1} 的公比为 q ?
2

a 1 ,所以 lim(a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n?1 ) ? 1 ? 4 ,解 n?? 1 4 1? 4

得 a1 ? 3 。

4.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过点 F 且与双曲线的一条渐近线平行 9 16


的直线与另一条渐近线交于点 B ,则 ?AFB 的面积为 【答案】

10 3

4 x ,过 3 4 4 20 4 20 点 F 且 与 y ? x 平 行 的 直 线 为 y ? x? m, 则 m ? ? ,即 y ? x? ,由 3 3 3 3 3
【Ks5U 解析】双曲线的右顶点为 A(3, 0) ,右焦点 F (5, 0) ,双曲线的渐近线为 y ? ?

4 20 ? y ? x? ? 10 10 ? 3 3 , 解 得 y?? , 即 yB ? ? , 所 以 ?A F B 的 面 积 为 ? 3 3 ?y ? ? 4 x ? 3 ?
1 A F 2
B

y ?

1 1 0 1 0 ? ( 5 ? 3 )? .? 2 3 3


?21? x ,  x ? 0, 5.函数 f ( x) ? ? 则 f (3.5)的值为 ? f ( x ? 1), x ? 0.
【答案】 2 2

【Ks5U 解析】 f (3.5) ? f (3.5 ? 4) ? f (?0.5) ? 21?0.5 ? 2 2 。 6.一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 ? (0 ? ? ? 45 ) ,在海面上向山顶的方向行进 m
? ?

米后,测得山顶 C 的仰角为 90? ? ? ,则该山的高度为 【答案】 m tan 2?

米. (结果化简)

1 2

【 Ks5U 解析】由题意知 ?CAB ? ? , ?CDB ? 90 ? ? , ?CDA ? 90 ? ? ,且 AD ? m ,则

?ACD ? 90 ? 2? 。由正弦定理得
AC ? m cos ? cos 2?
, 所 以 山

m AC AD AC ? ? ,即 ,即 cos 2? cos? sin(90 ? 2? ) sin(90 ? ? )


B C ?

sA ? iC ? n

ms ? i n ? c o s 1 ? ?t m。 a n c o? s 2 2

2

? 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之 7.已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上, 那么点 P 到点 Q(2,
2

和取得最小值时,点 P 的坐标为



【答案】 P ( , ?1) 【 Ks5U 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 (1, 0) , 准 线 方 程 为 x ? ?1 。

1 4

, 过 点 P 做 准 线 的 垂 线 PE , 则 P E ? P F, 所 以

PF ? PQ ? PQ ? PE ? QM ,当且仅当 Q, P, E 三点共线时,最小,此时 yP ? yQ ? ?1 ,所以
xP ? 1 1 ,即 P ( , ?1) . 4 4

8.甲、乙、丙 3 人安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每 天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有 【答案】20
3 2 【Ks5U 解析】从 5 天中任选 3 天有 C5 种,其中先安排甲,然后在任意安排,乙、丙有 A2 , 3 2 所以不同的安排方法有 C5 A2 ? 20 种。

种.

9. (理)设不等式 log a (1 ? ) ? 1 的解集为 D ,若 ? 1 ? D ,则 D ? 【答案】 D ? (

1 x



1 , 0) 1? a

【Ks5U 解析】因为 ? 1 ? D ,所以 loga 2 ? 1 ,即 loga 2 ? log a a 。若 a ? 1 ,则 2 ? a ,此时

1 1 1 ? a ? 2 。 若 0 ? a ? 1 , 则 2 ? a , 此 时 无 解 。 由 log a (1 ? ) ? 1 得 1 ? ? a , 解 得 x x 1 1 ? x ? 0 ,即 D ? ( , 0) 。 1? a 1? a

? x ? 2 x ,  x ? 0, 2 10. (理)设函数 f ( x ) ? ? 则方程 f ( x) ? x ? 1 的实数解的个数为 ? 2 sin 2 x , x ? 0 . ?



【答案】 3
x 2 【Ks5U 解析】当 x ? 0 时,由 f ( x) ? x 2 ? 1 得, x 2 ? x ? 1 ,即 2 ? x ?
x

1 ,在坐标系中, x

做出函数 y ? 2 , y ? x ?
x

1 的图象,由图象可知,当 x ? 0 时,有一个交点。当 x ? 0 时,由 x

做出 y ? 2sin 2 x, y ? x2 ? 1 的图象, 由图象可知当 x ? 0 f ( x) ? x 2 ? 1 得 ?2sin 2 x ? x 2 ? 1 , 时,两函数有 2 个交点,所以总共有 3 个交点,即方程 f ( x) ? x 2 ? 1 的实数解的个数为 3. 二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的, 必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11. (理)曲线 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0( y ? 0) 与直线 y ? k ( x ? 2) 有公共点的充要条件是【 A. k ? ?? 【答案】C 【Ks5U 解析】曲线方程为 ( x ? 3) ? y ? 9 ,表示圆心为 (3, 0) ,半径为 3 的上半圆。当直线
2 2



? 3 ? ,0 ? ? 4 ?

B. k ? ? 0, ? 3

? ?

4? ?

C. k ? ? 0, ? 4

? ?

3? ?

D. k ? ? ?

? 3 3? , ? 4 4? ?

y ? k ( x ? 2) 相切时,则有圆心到直线的距离为
y ? k ( x ? 2) 有公共点,则有 0 ? k ?

5k k 2 ?1

? 3 ,解得 k ?

3 ,要使曲线与直线 4

3 3 ,即 k ? (0, ] ,选 C. 4 4

12.已知向量 a , b 满足: | a |?| b |? 1,且 | k a ? b |? 3 | a ? k b | ( k ? 0 ) .则向量 a 与向 量 b 的夹角的最大值为 A. 【 】

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

【答案】B 【 Ks5U 解 析 】 由 | k a ? b |? 3 | a ? k b | 得 , | ka ? b | ? ( 3 | a ? kb |)
2 2

, 即

k 2 a ? 2ka b ? b ? 3(a ? 2ka b ? k 2 b ) , 所 以 k 2 ? 2ka b ?1 ? 3(1 ? 2ka b ? k 2 ) , 即
a b? 1 1 1 1 1 1 1 ( k ? ) , 因 为 k ? 0 , 所 以 a b ? (k ? ) ? ? 2 k ? , 所 以 4 k 4 k 4 k 2

2

2

2

2

cos ? a, b ??

ab a b

?

? ? 1 , ? a, b ?? [0, ] ,即向量 a 与向量 b 的夹角的最大值为 ,选 B. 3 3 2

13.以下四个命题中,真命题的个数为 ①集合 ?a1 , a2 , a3 , a4 ?的真子集的个数为 15 ; ②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角;
2 2 ③设 z1 , z 2 ? C ,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? 0 且 z 2 ? 0 ;





④设无穷数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 ?S n ? 是等差数列,则 ?an ? 一定是常数列. A. 0 【答案】B
2 2 【Ks5U 解析】①正确。②错误。③当 z1 ? i, z2 ? 1 时,满足 z1 ? z2 ? 0 ,但 z1 ? 0 且 z2 ? 0 ,

B. 1

C. 2

D. 3

所以错误。④错误。若 Sn 为等差数列,设 Sn ? S1 ? (n ?1)d ,n=1 时, a1 ? S1 , n ? 1 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? d ,所以若 S1 ? d ,则 {an } 为常数列。若 S1 ? d ,则 {an } 不是常数列,它从
第 2 项开始为常数,但第 1 项不等于第 2 项。选 B. 三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 14. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) , x ? R . (1)请指出函数 f ( x) 的奇偶性,并给予证明; (2)当 x ? ?0,

? ?? ? 时,求 f ( x) 的取值范围. ? 2?

15. (理) (本题满分 14 分) 如图,某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内

种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个 形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区 域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为

800 平方米,问:应怎样设计试验田 ABCD 的长与宽,
才能使其占地面积最小?最小占地面积是多少? 16. (理) (本题满分 15 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 8 分) 假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念,但还没有学习过对数的相关概 念 . 由 指 数 函 数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 在 实 数 集 R 上 是 单 调 函 数 , 可 知 指 数 函 数

f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) , x ? ?0,??? .请你依据上述假设和已知,
在不涉及对数的定义和表达形式的前提下,证明下列命题: (1)对于任意的正实数 x1 , x2 ,都有 f (2)函数 y ? f
?1 ?1

( x1 x2 ) ? f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) ;

( x) 是单调函数.

17. (理) (本题满分 16 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分) 设点 F1 (?c,0) ,F2 (c,0) 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的左、 右焦点,P 为椭圆 C 上 2 a

0 任意一点,且 PF 1 ? PF 2 最小值为 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设定点 D(m,0) ,已知过点 F2 且与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点, 满足 AD ? BD ,求 m 的取值范围. 18. (理) (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) 若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N ,都有 bn?2 ? bn ? d (常数) , 则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的
?

准等差数列.如:若 c n ? ?

?4n ? 1,当n为奇数时; . ?4n ? 9,当n为偶数时

则 ?cn ? 是公差为 8 的准等差数列.

(1)求上述准等差数列 ?cn ? 的前 9 项的和 T9 ; (2)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证: ?an ? 为准等
?

差数列,并求其通项公式;

(3)设(2)中的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试研究:是否存在实数 a ,使得数列 ?S n ? 有 连续的两项都等于 50 .若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷答案
一、1. ? 1 ; 2.2; 3.3; 9. ? 4.

10 ; 3

5. 2 2 ;

6. m tan 2? ;

1 2

7. ? , ? 1? ; 二、11.C.

?1 ?4

? ?

8.20; 13.B.

? 1 ? (理) 3 ,0 ? ; 10. ?1? a ?

12.B.

三、14.解: f ( x) ?

2 ? ?? 1 sin ? 2 x ? ? ? 2 4? 2 ?

(3 分)

(1)? f ? ?

2 ?1 ? ?? 1 ?? ? ? ? f ? ? ,? f ( x) 是非奇非偶函数. ?? ?? 2 ? 8? 2 ?8?

(3 分)

注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如? f (0) ? 1 ? 0 ,? f ( x) 不是奇函数. (2)由 x ? ?0, 所以 0 ?

? ? 5? 2 ?? ? ?? ? ,得 ? 2 x ? ? ,? ? sin? 2 x ? ? ? 1 . ? 4 4 4 2 4? ? 2? ?
? 2 ? 1? 2 ?1 .即 f ( x) ? ?0, ?. 2 ? 2 ?

(4 分)

2 ? ?? 1 sin? 2 x ? ? ? ? 2 4? 2 ?

(2 分)

15.解:设 ABCD 的长与宽分别为 x 和 y ,则

( x ? 4)( y ? 2) ? 800
y? 792 ? 2 x x?4

(3 分) (2 分)

试验田 ABCD 的面积 S ? xy ?

(792 ? 2 x ) x (2 分) x?4

令 x ? 4 ? t , t ? 0 ,则 S ? 2t ? 当且仅当 2t ?

3200 ? 808 ? 968 , t

(4 分) (2 分)
2

3200 时, t ? 40 ,即 x ? 44 ,此时, y ? 22 . t

答: 试验田 ABCD 的长与宽分别为 44 米、22 米时,占地面积最小为 968 米 . (1 分) 16. (理)证明: (1)设 y1 ? f ?1 ( x1 ) , y2 ? f ?1 ( x2 ) ,由题意,有 x1 ? a 1 , x2 ? a
y y2

, (2 分)

所以 x1 x2 ? a

y1

? a y2 ? a y1 ? y2 ,
?1

(3 分) (2 分)

所以, y1 ? y2 ? f

( x1 x2 ) ,即 f ?1 ( x1 x2 ) ? f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) .
?1

(2)当 a ? 1 时, y ? f

( x) 是增函数.
y1

证明:设 x1 ? x2 ? 0 ,即 a

?a y2 ? 0 ,又由指数函数 y ? a x (a ? 1) 是增函数,得
(4 分) (2 分) (2 分) (1 分)

y1 ? y2 ,即 f ?1 ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) .
所以,当 a ? 1 时, y ? f
?1

( x) 是增函数.

同理,当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 是减函数. 17. (理)解: (1)设 P( x, y) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y) , F2 P ? ( x ? c, y)

PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ?
2

a2 ?1 2 x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a? a2
2

(3 分)

由题意, 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a ? 2 , 所以,椭圆 C 的方程为

(2 分)

x2 ? y2 ? 1. 2

(1 分) (1 分) (2 分)

(2)由(1)得 F (1, 0) ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

?2k 2k 2 ? 1
(2 分)

2k 2 k ,? 2 ) , 设 AB 的中点为 M ,则 M ( 2 2k ? 1 2k ? 1

? AD ? BD ,? DM ? AB ,即 kCM ? k AB ? ?1

4k 2 ?2k ? 2 ? 2m ? 2 k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m 2k ? 1 2k ? 1
因为直线 l 不与坐标轴垂直的,所以 k ?
2

(2 分)

m . 1 ? 2m
(2 分) (4 分)

?

m 1 ?0?0?m? . 1 ? 2m 2 (3 ? 35) ? 5 (17 ? 41) ? 4 ? ? 211 . 18. (理)解: (1) T9 ? 2 2
(2)? an ? an?1 ? 2n ( n ? N )①
?

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1)


?

②-①得 an?2 ? an ? 2 ( n ? N ) . 所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列. 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?

(2 分) (1 分)

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ?
? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ? 2 ?

(2 分)

当 n 为奇数时,解法一: a n ? a ? ?

(2 分)

解法二: an ? 2(n ? 1) ? an?1 ? 2(n ? 1) ? ??n ? 1? ? a? ? n ? a ? 1 ; 解法三:先求 n 为奇数时的 an ,再用①求 n 为偶数时的 an 同样给分.

( , n为奇数) ?n ? a ? 1 ? an ? ? ?n ? a,  (n为偶数)
(3)解一:

(1 分)

n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n 2?2 ? n 2?2 ? 1 当 n 为偶数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? ? 2 ? n2 ; 2 2 2 2 2

(1 分)

n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 n ?1 2 ? 2 2 ? 2 ? ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? 2 2 2 2

1 2 1 n ?a? . 2 2 1 2 当 k 为偶数时, S k ? k ? 50 ,得 k ? 10 . 2 1 2 1 由题意,有 S 9 ? ? 9 ? a ? ? 50 ? a ? 10 ; 2 2 ?

(1 分) (1 分) (1 分)

或 S11 ?

1 1 ? 112 ? a ? ? 50 ? a ? ?10 . 2 2
1 2 n 2

(1 分) (1 分) (1 分) (1 分)

所以, a ? ?10 . 解二:当 n 为偶数时,? an ? an?1 ? 2n , ? S n ? 2 ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? n ? 1? ? 当 n 为奇数时, S n ? S n ?1 ? a n ? 以下与解法一相同.

1 1 1 ? (n ? 1) 2 ? n ? a ? 1 ? n 2 ? a ? . 2 2 2


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