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2019高三数学理北师大版一轮课件:第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数_图文

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第 第一节



三角函数、解三角形

任意角、弧度制及任意角的三角函数

[考纲传真]

(教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度

与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练

(对应学生用书第 47 页) [基础知识填充] 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形.
? ?按旋转方向不同分为正角 、 负角 、零角 (2)分类? ? ?按终边位置不同分为 象限角 和轴线角.

.

(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集
360° ,k∈Z} 合 S= {β|β=α+k·



(4)象限角:使角的顶点与 原点 重合,角的始边与 x轴的非负半轴 重合,那 么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标 轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

2.弧度制的定义和公式 (1)定义:在单位圆中,长度为 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角,它的单 位符号是 rad.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的 弧度数是 0.

(2)公式: 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|= (弧长用 l 表示) r
?180? π ? ①1° = rad;②1 rad=? ? π ?° 180 ? ?

弧长 l=|α|r
1 2 1 S= 2lr = 2|α|r

3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(u,v),那 么 定义

v 叫作 α 的正弦, u 叫作 α 的余弦, v u 叫作 α 的正 记作 sin α 记作 cos α 切,记作 tan α

各 象 限 符 号

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

+ + - -

+ - - +

+ - + -

三角函数 线 有向线段 MP 为正 有向线段 OM 为余 有向线段 AT 为正 弦线 弦线 切线

[知识拓展]

1.任意角的三角函数的定义(推广)

设 P(x,y)是角 α 终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距离为 r,则 sin α= y x y r ,cos α=r ,tan α=x(y≠0). 2.单位圆上任意一点可设为(cos θ,sin θ)(θ∈R). 3.若
? π? α∈?0,2?,则 ? ?

sin α<α<tan α.

[基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于 90° 的角是锐角.( ) ) ) )

(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(

(3)三角形的内角必是第一、第二象限角.(

(4)角 α 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关.( (5)终边相同的角的同一三角函数值相等.( (6)若 α 为第一象限角,则 sin α+cos α>1.( ) )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√

2.若 cos θ>0,且 sin 2θ<0,则角 θ 的终边所在象限为( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

D [由 cos θ>0,sin 2θ=2sin θ cos θ<0 得 sin θ<0,则角 θ 的终边在第四 象限,故选 D.]

3.(教材改编)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 3 A. 2 2 C. 2
B [由题意知|r| 3 ± 2 .]
2

?1 ? M?2,y?,则 ? ?

sin α=(

)

3 B.± 2 2 D.± 2
?1?2 =?2? +y2=1,所以 ? ?

3 y=± 2 .由三角函数定义知 sin α=y=

4.已知圆的一条弦的长等于半径长,则这条弦所对的圆心角的大小为________ 弧度.
π 3 [∵弧长等于半径长.

∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形. π 故该弦所对的圆心角的大小为3.]

5.3 900° 是第________象限角,-1 000° 是第________象限角.
四 一 [∵3 900° =10×360° +300° ,∴3 900° 是第四象限角. ∵-1 000° =-3×360° +80° ,∴-1 000° 是第一象限角.]

(对应学生用书第 48 页)

角的有关概念及其集合表示
α (1)若角 α 是第二象限角,则2是( A.第一象限角 C.第一或第三象限角 )

B.第二象限角 D.第二或第四象限角

(2)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是________.

(1)C (2){β|β=60° +k· 180° ,k∈Z} π+2kπ,k∈Z, π α π ∴4+kπ<2<2+kπ,k∈Z. α 当 k 为偶数时,2是第一象限角; α 当 k 为奇数时,2是第三象限角. α 综上,2是第一或第三象限角.

π [(1)∵α 是第二象限角,∴2+2kπ<α<

(2)如图,直线 y= 3x 过原点,倾斜角为 60° ,

在 0° ~360° 范围内, 终边落在射线 OA 上的角是 60° ,终边落在射线 OB 上的角是 240° ,所以以 射线 OA,OB 为终边的角的集合为:

S1={β|β=60° +k· 360° ,k∈Z}, S2={β|β=240° +k· 360° ,k∈Z}, 所以角 β 的集合 S=S1∪S2 ={β|β=60° +k· 360° ,k∈Z}∪{β|β=60° +180° +k· 360° ,k∈Z} ={β|β=60° +2k· 180° ,k∈Z}∪{β|β=60° +(2k+1)· 180° ,k∈Z} ={β|β=60° +k· 180° ,k∈Z}.]

[规律方法]

1.终边在某直线上角的求法四步骤

?1?数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线. ?2?按逆时针方向写出[0,2π?内的角. ?3?再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合. ?4?求并集化简集合.

α 2.确定 kα, k ?k∈N+?终边位置的步骤 ?1?用终边相同角的形式表示出角 α 的范围. α ?2?再写出 kα 或 k 的范围. α ?3?然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或 k 的终边所在位置. 3.注意角度与弧度不能混用.

4.终边落在 x 轴上角的集合 x|x=kπ,k∈Z . 终边落在 y
? ? ? π 轴上角的集合?x?x=kπ+2,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? kπ ? ? 终边落在坐标轴上的角的集合 x x= 2 ,k∈Z. ? ? ?

[跟踪训练]

(1)设集合

? ? ? k ? ? 180° +45° ,k∈Z M= x x=2· ? ? ? ? ? ?,那么( ? ?

? ? ?,N= ? ?

? ? ? k ?x?x= · 180° +45° ,k∈Z 4 ? ? ?

)

A.M=N C.N?M

B.M?N D.M∩N=?

(2)已知角 α=45° , 在区间[-720° , 0° ]内与角 α 有相同终边的角 β=________. 【导学号:79140099】

(1)B

(2)-675° 或-315° [(1)法一:由于

? ? ? k ? ? 180° +45° ,k∈ Z M= x x=2· ? ? ?

? ? ?= ? ?

{…,-45° ,45° ,135° ,225° ,…},
? ? ? k ? 180° +45° ,k∈Z N= x?x=4· ? ? ? ? ? ?={…,-45° ,0° ,45° ,90° ,135° ,180° , ? ?

225° ,…},显然有 M?N,故选 B. k 法二: 由于 M 中, x=2· 180° +45° =k· 90° +45° =(2k+1)· 45° , 2k+1 是奇数; k 而 N 中,x=4· 180° +45° =k· 45° +45° =(k+1)· 45° ,k+1 是整数,因此必有 M?N,故选 B. (2)由终边相同的角的关系知 β=k· 360° +45° ,k∈Z, 所以取 k=-2,-1,得 β=-675° 或 β=-315° .]

扇形的弧长、面积公式

(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最 大?

[解] (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则 r=4, ? ? ? ?2r+rθ=10, ? r = 1 , ? ?1 2 解得? (舍去)或? 1 ? θ· r =4, θ=2, ?θ=8 ? ? 2 ? ? 1 ∴扇形的圆心角为2. (2)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40. 1 2 1 又 S=2θr =2r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100. 当且仅当 r=10 时,Smax=100,此时 2×10+10θ=40,θ=2,∴当 r=10, θ=2 时,扇形的面积最大.

[规律方法]

解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项

?1?解决有关扇形的弧长和面积问题时,要注意角的单位,一般将角度化为弧度. ?2?求解扇形面积的最值问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使 问题得到解决. ?3?在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

[跟踪训练] cm2.

(1)扇形弧长为 20 cm,圆心角为 100° ,则该扇形的面积为________

(2)如图 311,已知扇形的圆心角 α=120° ,弦 AB 长 12 cm,则该扇形的弧 长 l=________ cm.

图 311

360 (1) π

8 3 (2) 3 π

20 36 [(1)由弧长公式 l=|α|r,得 r=100π= π , 180

1 1 36 360 ∴S 扇形=2lr=2×20× π = π .

(2)设扇形的半径为 r cm,如图.

6 由 sin 60° = r ,得 r=4 3, 2π 8 3 ∴l=|α|· r= 3 ×4 3= 3 π cm.]

三角函数的定义

◎角度 1 三角函数定义的应用 (2017· 河南八市联考)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重 合,点 P(-4m,3m)(m>0)是角 α 终边上的一点,则 2sin α+cos α=________.

2 2 2 [ ∵ | OP | = ? - 4 m ? + ? 3 m ? =5|m|=5m(m>0), 5 -4m 3m 3 4 ∴sin α=5m=5,cos α= 5m =-5, 3 4 2 ∴2sin α+cos α=2×5-5=5.]

◎角度 2

三角函数值符号的判定 cos α 若 sin αtan α<0,且 tan α <0,则角 α 是( )

A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

C [由 sin αtan α<0 可知 sin α,tan α 异号,从而可判断角 α 为第二或第三 象限角. cos α 由 tan α <0 可知 cos α,tan α 异号,从而可判断角 α 为第三或第四象限角. 综上可知,角 α 为第三象限角.]

◎角度 3

三角函数线的应用 函数 y= 2cos x-1的定义域为________.

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 3 3? ?

1 [∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2.

由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).

? π π? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z).] ? ?

[规律方法]

1.用定义法求三角函数值的两种情况.

?1?已知角 α 终边上一点 P 的坐标, 则可先求出点 P 到原点的距离 r, 然后用三角 函数的定义求解. ?2?已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点 到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题. 2.确定三角函数值的符号,可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.

[跟踪训练] 的值为(

(1)(2018· 陕西质检(一))已知角 α 的终边过点 P(4, -3), 则 ) 7 2 B. 10 2 D. 10

? π? cos?α+4? ? ?

7 2 A.- 10 2 C.- 10

4 (2)已知角 α 的终边过点 P(-8m, -6sin 30° ), 且 cos α=-5, 则 m 的值为(

)

【导学号:79140100】 1 A.-2 3 C.- 2 1 B.2 3 D. 2

(1)B (2)B [(1)∵角 α 的终边过点 P(4,-3),∴r=5,由三角函数的定义
? π? 3 4 π π 4 2 ? 3? 得 sin α=-5, cos α=5, ∴cos?α+4?=cos α cos4-sin α sin 4=5× 2 -?-5? ? ? ? ?

2 7 2 × 2 = 10 ,故选 B. (2)∵r= 64m2+9, -8m 4 ∴cos α= =-5, 2 64m +9 4m2 1 1 ∴m>0,∴ = ,因此 m=2.] 64m2+9 25

课时分层训练(十八)
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