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乐山市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学试卷及答案

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乐山市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 第一部分(选择题 共 30 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题,30 分,四选一。 ( B )1. -5 的倒数是 A . -5 B. 1 5 C. 5 D. 1 5 别为 29,31,23,26,

( B )2.乐山大佛景区 2013 年 5 月份某周的最高气温(单位:?C)分 29,29,29。这组数据的极差为 A . 29 B. 28 C. 8 D. 6 ( C )3.如图 1,已知直线 a//b,∠1=131?,则∠2 等于 A . 39? B.41? C.49? D.59? ( D )4.若 a>b,则下列不等式变形错误的是 .. A.a+1 > b+1 B. a b > 2 2 C. 3a-4 > 3b-4 D.4-3a > 4-3b

( D )5.如图 2,点 E 是平行四边形 ABCD 的边 CD 的中点, AD、BE 的延长线相交于点 F,DF=3,DE=2,则平行四边 形 ABCD 的周长为 A. 5 B. 7 C.10 D. 14 ( A )6.如图 3,在平面直角坐标系中,点 P(3,m)是 第一象限内的点,且 OP 与 x 轴正半轴的夹角α 的 4 正切值为 ,则 sinα 的值为 3 4 A. 5 5 4 5 3 ( A )7.甲、乙两人同时分别从 A、B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地,已知 A、C 两地间的距离为 110 千米,B、 C 两地间的距离为 100 千米。甲骑自行车的平均速度比乙快 2 千米/时,结果两人同时到达 C 地,求两人的平均 速度。为解决此问题,设乙骑自行车的平均速度为 x 千 米/时, 由题意列出 方程,其中正确的是 .. ( D)8.一个立体图形的三视图如图 4 所示, 根据图中数据求得这个立体图形的表面积为 A.2Π B.6П C.7П D.8П ( C )9.如图 5,圆心在 y 轴的负半轴上,半径为 5 的⊙B 与 y 轴的正半 过点 P(0,-7)的直线 l 与⊙B 相交于 C、D 两点,则弦 CD 长的所有可能 个。 A.1 B.2 C.3 D.4 ( CD=8,9,10 ) 轴交于点 A(0,1), 的整数值有( ) C. 3 5 B. D.

( B )10.如图 6,已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y = 内的点 B 在反比例函数 y =

2 的 x

图象上, 第二象限 3 ,则 k 的值为 3

k 的图象上,且 OA⊥0B ,cotA= x

A.-3 B.-6 C.- 3 D.-2 3 二、填空题:本大题 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。 11.如果规定向东为正,那么向西为负,汽车向东行驶了 3 千米 记作 3 千米, 向西 行驶 2 千米应记作 -2 千米。 12.在一个布口袋内装有白、红、黑三种颜色的小球,它们除颜色之外没有任何其他区别,其中有白球 5 只、红 球 3 只、黑球 1 只。袋中的球已经搅匀,闭上眼睛随机地从袋中取出 1 只球,取出红球的概率是 13.把多项式分解因式:ax2-ay2= a(x + y) (x - y) 。 14.如图 7,在四边形 ABCD 中,∠A=45?。直线 l 与边 AB、AD 分别 1+∠2= 225 ?. 15.如图 8,小方格都是边长为 1 的正方形,则以格点为圆心,半 弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2П-4 。 16.对非负实数 x “四舍五入”到个位的值记为<x>,即当 n 为非 ≤x <n+ 1 ,则<x>=n,如<0.46>=0,<3.67>=4,给出下列关于<x>的 2 ② <2x>=2<x>, 1 ③ 若< x-1>=4,则实数 x 的取值范围是 9≤x<11, 2 ⑤ <x+y>=<x>+<y>. 其中,正确的结论有 1 3 。

相交于点 M、N,则∠ 径为 1 和 2 的两种 1 负整数时, n若 2 结 论 : ①

<1.493>=1,

④ 当 x≥0,m 为非负

整数时,有<m+2013x >= m+<2013x>, 序号) 。

①③④ (填写所有正确的

二、 本大题共 3 小题,每小题 9 分,共 27 分。X Kb 1. Co m 17.计算:∣-2∣- 4sin45? + (-1)2013 + 8 . 解:原式=2-2 2 -1+ 2 2 =1 18.如图 9,已知线段 AB. (1)用尺规作图的方法作出线段 AB 的垂直平分线 l (保留作图痕迹,不要求写出作法) ; (2)在(1)中所作的直线 l 上任意取两点 M、 线 ( N 段 AB 的上方) .连结 AM、AN、BM、BN.求证:∠MAN=∠MBN. 解: 如图, (1) 直线 l 为线段 AB 的垂直平分线。 (2)∵直线 l 为线段 AB 的垂直平分线,点 M、 N 在直线 l 上,∴ MA=MB,NA=NB(中垂线上一点到线段两端的距离相 等) MN=MN 公共边) ( , ∴△MAN≌△MBN (SSS) ∴∠MAN=∠MBN 1 1 2x-y 19.化简并求值: ( + )÷ 2 2 ,其中 x、 x-y x+y x -y +(2x-y-3)2=0. 解:∵∣x-2∣+(2x-y-3)2=0, ∣x-2∣=0 , ∴ y 满 足 ∣ x-2 ∣

x=2 (2x-y-3)2=0 ,

y=1 , 将原式化简: ( 将 1 1 2x-y 2x (x-y)(x+y) 2x + )÷ 2 2 = = x-y x+y x -y (x-y)(x+y) 2x-y 2x-y x=2,y=1 代入 2x 得: 2x-y

原式=

2×2 3 = . X Kb 1. Co m 2×2-1 4

三、 本大题共 3 小题,每题 10 分,共 30 分,其中第 22 题为选做题。 20.中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注,为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种 现象的态度(态度分为:A.无所谓;B.基本赞成;C.赞成;D.反对) ,并将调查结果绘制成频数折线统计图 10.1 和扇形统计图 10.2(不完整) 。请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)此次抽样调查中,共调查了 200 名中学生家长; (2)将图 10.1 补充完整; (3)根据抽样调查结果,请你估计该市城 区 6000 名中学生家 长中有多少名家长持反对态度。 解: (3)6000×60%=3600(名) 答:该市城区 6000 名中学生家长中有 3600 名家长持反对 态度。

21.如图 11,山顶有一铁塔 AB 的高度为 20 米, 为测量山的高度 BC,在山脚点 D 处测得塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别 为 60?和 45?,求山的高度 BC.(结果保留根号) 解:根据题意得: AC=AB+BC=20+BC, CD=AC·cot60?=BC·cot45?; (20+BC)·cot60?= BC·cot45?, 20× 3 3 + BC = BC , 3 3

BC=10+10 3 答:山的高度 BC 为 10+10 3 米。 22.选做题:从甲、乙两题中选做一题,如果两题都做,只以甲题 题甲:如图 12,AB 是⊙O 的直径,经过圆上点 D 的直线 CD 恰使 (1) 求证:直线 CD 是⊙O 的切线; (2) 过点 A 作直线 AB 的垂线交 BD 的延长线于点 E,且 求线段 AE 的长. 解: (1)证明:连结 OD,OD=OB,∠ODB=∠B, ∠ADC=∠B,∠ODB=∠ADC; ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90 ?, ∠ADO+∠ADC =90 ?,∠ODC=90 ?,OD⊥CD,

计分。 ∠ADC=∠B. AB= 5 ,BD=2,

∴直线 CD 是⊙O 的切线。 (2)AB= 5 ,BD=2,DA= AB2-BD2 =1, ∵AE⊥AB,∠EAB=∠ADB=90 ?,∠B=∠B,△EAB∽△ADB, AE AB AB·DA 5 = , AE= = . DA DB DB 2 答:线段 AE 的长为 5 。 2 的解满足不等式组

题乙:已知关于 x、y 的方程组

求满足条件的 m 的整数值。 4 8 8 4 , x= m + ,∵x= m + , y= 满足 7 7 7 7 3m + , x + 5y >0 ∴ m + 8 20 + >0 7 7 24 4 + ≤0 7 7 , 解得:-4<m ≤4 , 3

解:由②-①×2 得 7y = 4, y= 3x + y ≤0 不等式组

m 为整数时,m=-3 或 m=-2, ∴ 满足条件的 m 的整数值为-3 或-2。 五、本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分。 23.已知一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0 . (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边 BC 的长为 5. 当△ABC 是等腰三角形时,求 k 的值. 解: (1)证明:∵一元二次方程为 x2-(2k+1)x+k2+k=0, △ =[-(2k+1)]2-4 (k2+k)=1>0, ∴此方程有两个不相等的实数根。 (2) ∵△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,AB≠AC,△ABC 第三边 BC 的长为 5,且△ABC 是等腰三角形, ∴必然有 AB=5 或 AC=5,即 x=5 是原方程的一个解。 将 x=5 代入方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0, 25-5(2k+1) +k2 +k=0,解得 k=4 或 k=5. 当 k=4 时,原方程为 x2 -9x +20 = 0 ,x1=5, x2= 4, 以 5,5,4 为边长能构成等腰三角形; 当 k=5 时,原方程为 x2 -11x +30 = 0 ,x1=5, x2=6, 以 5,5, 6 为边长能构成等腰三角形; (必须检验 方程的另一个解大于 0 小于 10 且不等于 5) ∴k 的值为 4 或 5。

24.如图 13,已知直线 y=4-x 与反比例函数 y= D 两点.

m (m>0,x>0)的图象交于 A、B 两点,与 x 轴、y 轴分别相交于 C、 x

m (1)如果点 A 的横坐标为 1,利用函数图象求关于 x 的不等式 4-x< 的解集; x (2)是否存在以 AB 为直径的圆经过点 P(1,0)?若存在,求 存在,请说明理由. 解: (1)∴点 A 的横坐标为 1,点 A 在直线 y=4-x 的图象上,y=4-1=3, ∴点 A 的坐标为(1,3) , 点 A 在反比例函数 y= m (m>0,x>0)的图象的 x 出 m 的值;若不

图象上,m = xy =3 , ∵点 A、B 是直线 y=4-x 与反比例函数 y= 3 3 (x>0)的图象的交点,∴4-x= , x x m 的解集为 x<1 或 x>3 。 x

解得 x=1 或 x=3,点 B 的横坐标为 3,∴4-x<

(2)存在以 AB 为直径的圆经过点 P(1,0)。 连结 AP、BP,分别过点 A、B 作 x 轴的垂线 AE、BF,垂足分别为点 E、F。 m 4-x= ,x2-4x+m=0, 令 a、b 是该方程的解,则 a + b = 4, b = 4 – a , x 令点 A 的坐标为(a,4-a) ,则点 B 的坐标为(4-a,a) ; 以 AB 为直径的圆经过点 P(1,0) ,则∠APB=90?, ∠APB+∠EPA+∠FPB=180 ? ,∠EPA+∠FPB=90?,∵AE⊥x 轴,BF⊥x 轴, ∴∠AEP=∠PFB=90?,∠EAP+∠EPA=90?,∠EPA=∠FPB,△AEP∽△PFB, AE PF 4-a 4-a-1 = , = , EP FB 1-a a a=2+ 4-a=2∵点 A(2+ y= 10 ,22 10 ) 或(22 10 2 10 2 10 ,2+ 2 10 )(22 或 a=24-a=2+ 10 2 10 , 2

10 )在反比例函数 2 10 3 )= . 2 2 DC 上,且 MN//AD,记

m (m>0,x>0)的图象上,∴ m =(2+ x

六、本大题共 2 小题,第 25 题 12 分,第 26 题 13 分,共 25 分. 25.如图 14.1,在梯形 ABCD 中,AD//BC,点 M、N 分别在边 AB、 AD=a ,BC=b. 若 AM m bm+an = ,则有结论:MN = . MB n m+n

请根据以上结论,解答下列问题: 如图 14.2、14.3,BE、CF 是△ABC 的两条角平分线,过 EF 上 三边的垂线段 PP1、PP2、PP3,交 BC 于点 P1,交 AB 于点 P2,交 AC 于点 P3 . (1)若点 P 为线段 EF 的中点,求证: PP1 = PP2 + PP3 ;

一点 P 分别作△ABC

(2) 若 任 意 PP2 、 给 出

点 P 为线段 EF 上的 .. 点,试探究 PP1 、 PP3 的数量关系, 并 证明。

解: (1)证明:过点 E 分别作 BC、AB 的垂线,垂足分别为 M、N,过点 F 分别作 BC、AC 的垂线,垂足分别为 G、 H。 BE、CF 分别为∠ABC、∠ACB 的角平分线,EN=EM,FH=FG, PP2//EN,PP3//FH,点 P 为线段 EF 的中点,PP2= PP1//FG//EM , 1 1 1 1 EN= EM,PP3= FH= FG. 2 2 2 2

FP FG+EM FG+EM 1 1 =1 , PP1= = = FG+ EM = PP2+ PP3. PE 1+1 2 2 2

(2) PP1= PP2+ PP3. 证明:过点 E 分别作 BC、AB 的垂线,垂足分别为 M、N,过点 F 分别作 BC、AC 的垂线,垂足分别为 G、H。 令 FG = a ,EM = b, EM=EN, FP m bm+an = , PP1//FG//EM , PP1= ; PE n m+n

PP2 FP FP m m m bm = = = ,PP2= ·EN= ·EM= ; EN FE FP+PE m+n m+n m+n m+n n n an bm an bm+an ·FH = ·FG = ; + = , m+n m+n m+n m+n m+n m+n

同理可得:PP3 =

PP1= PP2+ PP3. 26.如图 15.1, 已知抛物线 C 经过原点, 对称轴 x=-3 与抛物线相交于第三象限的点 M, x 轴相交于点 N, tan 与 且 ∠MON = 3. (1)求抛物线 C 的解析式; (2)将抛物线 C 绕原点 O 旋转 180?得到抛物线 C’,抛物线 C’与 x 轴的另一交点为 A,B 为抛物线 C’上横向坐 标为 2 的点. ①若 P 为线段 AB 上一动点,PD⊥y 轴于点 D,求△APD 面积的最大值; ②过线段 OA 上的两点 E、 分别 F 作 x 轴的垂线,交 折线 O –B -A 于点 E1、F1,再 分别以线段 EE1 、 FF1 为边作如图 15.2 所示的等 边△EE1E2、等边△ FF1F2,点 E 以每秒 1 个单位长度 的速度从点 O 向点 A 运动,点 F 以每秒 1 个单位长 度的速度从点 A 向 点 O 运动,当△EE1E2 有一边与 △ FF1F2 的 某 一 边 在同一直线上时,求时间 t 的 值.

解: (1)对称轴 MN 的解析式为 x =-3, ON=3,tan∠MON = 3 ,MN=9,M(-3,-9) , 2 2 令抛物线 C 的解析式为 y=a(x+3) -9,它经过原点,则 0=a(0+3) -9, a=1, y=1(x+3)2-9=x2+6x ,所以抛物线 C 的解析式为 y=x2+6x; (2)①抛物线 C’的解析式为 y=- x2+6x,当 y=0 时,x=0 或 6,点 A 的坐标为(6,0) 点 B 在抛物线 C’上,且其横坐标为 2,y=8,有点 B , (2,8) ,直线 AB 的解析式为 y=-2x +12 ,点 P 在线段 AB 上,令点 P 的坐标为(p,-2p+12), S△APD = 1 p(-2p+12)=- p2+6p =-(p-3)2+9, 当 p=3 2 (2<3<8)时,

S△APD 的 max 值为 9; ② 据(2)①知,直线 OB 解析式为 y=4x, 直线 AB 解析式为 y=-2x +12; 如图 15.3, ∵EE1//FF1, △EE1E2、 FF1F2 是等边三角 △ EE2//F1F2, 直线 EE1 的解析式为 x=t,直线 FF1 的解析式为 x=6-t, (t,0) 、 E2 (t+ y= 3y y , ),设直线 EE2 的解析式为 2 2

形,∴E1E2//FF2, 令 E1 (t,y)则有 E

3 3 x + a,直线 F1F2 的解析式为 y= x + b,直线 E1E2 的解析式 3 3

3 3 x + c,直线 FF2 的解析式为 y=x + d,错误!未指定书签。 3 3 Ⅰ、当 EE1 与 FF1 在同一直线上时,x=t=6-t,t=3 ; 为 y=Ⅱ、当 0≤t≤2 时,点 E1 在直线 OB 上,点 F1 在直线 AB 上,有 E(t,0) 1 (t,4t)、F (6-t,0)、F1(6-t,2t) 、E (a)当 EE2 与 F1F2 在同一直线上时,有 0 = 2t= 3 3 t + a,a=t, 3 3

3 3 3 3 (6-t) + b, b= (2+ )t-2 3 , a=b, t=(2+ )t-2 3 , 3 3 3 3

t=

3

3-3 ; 2 3 3 t + c,c=(4+ )t, 3 3 3 3 t, 3

(b) 当 E1E2 与 FF2 在同一直线上时,有 4t=0=t=

3 3 3 (6-t) + d, d=2 3 t, c=d, (4+ )t = 2 3 3 3

6 3-3 ; 11 3-3 6 3-3 或 . 2 11

通过作图观察可知,当 2<t≤6 时,EE1 与 FF1 不可能在同一直线上,E1E2 与 FF2 也不可能在同一直线上。 3 综上所述,当△EE1E2 有一边与△FF1F2 的某一边在同一直线上时,t 的值为 3,

下面的讨论旨在说明 2< t≤6 时,EE1 与 FF1、E1E2 与 FF2 的位置关系,答题时可以省去。 [ Ⅲ、 2 <t≤4 时, E1 在直线 AB 上, F1 在直线 AB 上, E 当 点 点 有 (t,0) E1 (t,-2t+12)、 (6-t,0)、 1 、 F F (6-t,2t) (a)当 EE2 与 F1F2 在同一直线上时,有 0 = 2t= t= 3 3 3 t + a,a=t, 3 3

3 3 3 3 (6-t) + b, b= (2+ )t-2 3 , a=b, t=(2+ )t-2 3 , 3 3 3 3 3-3 3 3-3 ( < 2,舍去) ; 2 2 3 3 t + c,c=( -2)t+12, 3 3 3 3 t, 3

(b) 当 E1E2 与 FF2 在同一直线上时,有-2t+12=0=t=

3 3 3 (6-t) + d, d=2 3 t, c=d, ( -2)t+12 = 2 3 3 3

3 3+15 3 3+15 ( >4,舍去); 2 2 Ⅳ、 4<t≤6 时, E1 在直线 AB 上, F1 在直线 OB 上, E 当 点 点 有 (t,0) E1 (t,-2t+12)、 (6-t,0)、 (6-t,24-4t) 、 F F1 , (a)当 EE2 与 F1F2 在同一直线上时,有 0= 24-4t= 3 3 t + a, a=t, 3 3

3 3 (6-t) + b, b=24-2 3 + t-4t,a=b, 3 3

3 3 69+6 3 69+6 3 t=24-2 3 + t-4t, t= ( >6,舍去); 3 3 11 11 3 3 3 t + c, c=12+ t-2t, 0=(6-t) + d , d=2 3 3 3 3

(b) 当 E1E2 与 FF2 在同一直线上时,有-2t+12=3 t , c = d, 3

3 3 3 3+15 3 3+15 t-2t=2 3 t ,t= ( >6,舍去); 3 3 2 2 综上所述,当△EE1E2 有一边与△FF1F2 的某一边在同一直线上时, 12+ 3 t 的值为 3, 3-3 6 3-3 或 . 2 11


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