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高中数学必修一至必修五知识点精选

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高中数学必修一至必修五知识点精选
必修一
1.函数奇偶性: (1)偶函数:对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x).图象关于 y 轴对 称. (2)奇函数:对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x).图象关于原点 对称. 奇函数和偶函数的性质: (1)若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . (2)奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减 性相反. 2.分数指数幂的运算性质 ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) 3.对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 4.几个重要的对数恒等式 ② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
5.常用对数: lg N ,即 log10 N 6.对数的运算性质 (1) loga M ? loga N ? loga (MN ) (3) n loga M ? loga M n (n ? R)
n (5) log ab M ?

自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 ?) .

(2) log a M ? log a N ? log a (4) a
log a N

M N

?N

n log a M (b ? 0, n ? R ) b

(6) log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

7.指数函数 (1)定义:形如 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的函数,叫指数函数。
x

(2)指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

图象

1

性质 定义域 值域 过定点 单调性 奇偶性 在 R 上是增函数 非奇非偶函数 R (0,+∞) (0,1),即当 x=0 时,y=1 在 R 上是减函数

8.对数函数 (1)定义:形如 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的函数,叫对数函数 (2)对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

图 象

性质 定义域 值域 过定点 单调性 奇偶性 9.幂函数 (1)定义:一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 是自变量, a 是常数.
a

(0,+∞) R (1,0),即当 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 非奇非偶函数

(2)幂函数的性质: (1)恒过点(1,1),且不过第四象限. (2)当 a >0 时,幂函数在(0,+∞)上都是增函数;当 a <0 时,幂函数在(0,+∞) 上都是减函数. (3)在第一象限内,直线 x=1 的右侧,图象由上到下,相应的指数由大变小. (4)当 a 为偶数时, y ? x 是偶函数;当 a 为奇数时, y ? x 是奇函数.
a a

10.二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

(1) 二次函数的图象是一条抛物线, 对称轴方程为 x ? ? (2)当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

b 4ac ? b 2 b , 顶点坐标是 (? , ). 2a 2a 4a

b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 2a 2a

x??

4ac ? b 2 b b ] 上递 时, f min ( x) ? ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? 2a 2a 4a
2

增,在 [ ?

4ac ? b2 b b , ?? ) 上递减,当 x ? ? 时, f max ( x) ? . 2a 2a 4a

(3)二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点. 11.函数的零点 对于函数 y ? f ( x) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点. 12.函数零点与方程根的关系 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴 交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 函数 y ? f ( x) 有零点. 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点

必修 2
1.空间几何体的表面积公式
2 圆柱的表面积 : S ? 2? rl ? 2? r

圆锥的表面积: S

? ? rl ? ? r 2

球的表面积: S

? 4? R2

2.空间几何体的体积公式 柱体的体积 : V 球体的体积: V

? S底 ? h

锥体的体积 : V ?

1 S ?h 3 底

4 ? ? R3 3

3.直线、平面之间的位置关系的判定 (1)线面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直 线和这个平面平行。 (2)面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平 面平行。 (3)线面垂直的判定定理:如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这 个平面。 (4)面面垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 4.两条异面直线所成的角 已知 a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a′∥a,b′∥b,则 a′ 和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. 异面直线所成的角的求法: 通过直线的平移, 把异面直线所成的角转化为平面内相交直
o o 线所成的角。异面直线所成角的范围: 0 ? ? ? 90 ;

3

5.直线与平面所成的角 一条直线与平面相交于 A,在直线取一点 P(异于 A 点) ,过 P 作平面的垂线,垂足为 O,则线段 AO 叫做直线 l 在平面内的射影,直线 l 与射影 AO 所成角就叫做直线 l 与平面所 成的角。直线与平面所成角的范围: 0 o ? ? ? 90o 6.直线的斜率 把一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示,即 k =tan ? . 7.直线的斜率公式 已知直线过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则其斜率 k= 8.直线方程的几种形式 (1) 点斜式: 直线 l 经过点 P 且斜率为 k , 则直线方程为 ( x0 , y0 ) , 0 y2-y1 (x1≠x2). x2-x1

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

(2)斜截式:直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) ,则直线方程为 (3)一般式: Ax ? By ? C 9.两条直线的位置关系 已知直线 l1:y=k1x+b1 与直线 l2:y=k2x+b2. (1) l1∥l2?k1=k2 且 b1≠b2. 10.两点间的距离公式 (2) l1⊥l2?k1·k2=-1.

y ? kx ? b

? 0 (当 B ? 0 时,斜率为 ?

A ) B

2 2 已知平面上的两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2),则它们的距离|P1P2|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) .

11.点到直线的距离公式 |Ax0+By0+C| 点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . 2 2 A +B 12.两条平行直线间的距离公式

两条平行直线 l1: Ax+By+C1=0 与 l2: Ax+By+C2=0 之间的距离 d=
13.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r
2 2 2 2 2

|C1-C2| . A2+B2

其中圆心为 C(a,b), ,半径为 r(r>0).
2 2

(2)圆的一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0(其中 D +E -4F>0).圆心为(- ,- ),半径为 2 2 1 2 2 D +E -4F. 2 14.点与圆的位置关系

D

E

4

已知点与圆心的距离为 d,圆的半径为 r,则 (1)d>r,点在圆外; (2)d=r,点在圆上; (3)d<r,点在圆内.

15.直线与圆的位置关系的判定方法 设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则 ①直线与圆相交?d<r; ②直线与圆相切?d=r; ③直线与圆相离?d>r. 16.圆与圆位置关系的判断 设两圆的半径分别为 r1、r2,两圆的圆心距为 l ,则 (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切;

(3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; 17. 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 : 已 知 空 间 中 两 点 p1 ( x1 , y1 , z1 ) , p2 ( x2 , y2 , z2 ) , 则

| p1 p2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

必修 3
1.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 2.几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

必修 4
1.象限角的定义 在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,则终边在 第几象限就是第几象限角. 2.终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角可表示成 β=α+k· 360° ,k∈Z. 3.角的弧度数的计算

5

l 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度数的绝对值是|α|= . r 4.一些特殊角与弧度数的对应关系. 度 弧 度 30° π 6 45° π 4 60° π 3 90° π 2 120° 2π 3 135° 3π 4 150° 5π 6 180° π 270° 3π 2 360° 2π

5.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R,弧长为 l,α 为其圆心角的弧度数,则 (1)扇形的弧长 l=αR 6.同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:sin2 α+cos2 α=1. 7.诱导公式 (1)sin( 2 k π+α)=sinα; (2)sin(π+α)=-sinα; (3)sin(-α)=-sinα; (4)sin(π-α)=sinα; cos( 2 k π+α)=cosα; cos(π+α)=-cosα; cos(-α)=cosα; cos(π-α)=-cosα; cos( tan( 2 k π+α)=tanα. tan(π+α)=tanα. tan(-α)=-tanα. tan(π-α)=-tanα. sin α π (2)商数关系: =tanα(α≠kπ+ ,k∈Z). cos α 2 1 1 (2)扇形的面积 S= lR= αR2 2 2

? -α)=cosα; 2 ? (6)sin( +α)=cosα; 2
(5)sin( 8.三角函数的定义

? -α)=sinα. 2 ? cos( +α)=-sinα. 2

在平面直角坐标系中,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y)那么: (1)y 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即 sin α=y; (2)x 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即 cos α=x; y y (3) 叫做 α 的正切,记作 tanα,即 tan α= (x≠0). x x

9.已知 ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是 r r ? 则 sin ? ?

?

x2 ? y 2 ? 0 ,

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10.三角函数在各象限的符号

6

口诀: “一全正,二正弦,三正切,四余弦” . 11.正弦函数和余弦函数的图像与性质 y=sin x 定义域 值域 周期性 R [-1,1] 最小正周期为 2π y=cos x

图象 奇偶性 单调性 奇函数 π π 在[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)上是增函数; 2 2 π 3 在[2kπ+ ,2kπ+ π](k∈Z)上是减函数 2 2 π x=kπ+ (k∈Z) 2 (kπ,0),(k∈Z) π x=2kπ+ (k∈Z)时,ymax=1; 2 π x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=-1 2 偶函数 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增函数; 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减函数 x=kπ(k∈Z) π (kπ+ ,0)(k∈Z) 2 x=2kπ 时,ymax=1;x=2kπ+π 时,ymin=-1

对称轴 对称中心

最值

12.正切函数 y=tan x 的图象与性质 解析式 图象

y=tan x

定义域 值域 周期 奇偶性

π {x|x∈R,且 x≠ +kπ,k∈Z} 2 R π 奇

13.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Atan(ωx+φ)的周期
7

(1)y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为 T=

2? π ;(2)y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为 T= . |ω| |? |

14.平面向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做向 量 a 与 b 的夹角.

15.向量的坐标运算 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2); 16.向量平行和垂直的判定 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a//b ? x1y2-x2y1=0 17.平面向量的数量积 已知两非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或 内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ. 常用结论: (1)a⊥b?a· b=0; (2)a· a=|a|2; (3)cos θ= a· b ; |a||b| (4)|a· b|≤|a||b|. (2)a⊥b ? x1x2+y1y2 ? 0 (2)a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)λa=(λx1,λy1).

18.平面向量数量积的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ, 则 (1)a· b=x1x2+y1y2 (3)cos θ = a·b x1x2+y1y2 = 2 . 2 2 2 |a|·|b| x1+y1· x2+y2
2 (2)|a|= x2 1+y1.

19.两角和与差的正弦、余弦和正切公式: (1)cos(α+β)=cosαcos β - sinαsin β; (3)sin(α+β)=sinαcos β+cosαsin β; (5)tan(α+β)= tan α+tan β ; 1-tan αtan β (2)cos(α-β)=cosαcos β+sinαsin β. (4)sin(α-β)=sinαcos β+cosαsin β . (6)tan(α-β)= tan α-tan β . 1+tan αtan β

20.二倍角正弦、余弦和正切公式: (1)sin 2α=2sin αcos α ; 2tan α (3)tan 2α= 1-tan2α (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

8

必修 5
B C 1.正弦定理: 在 ?A
中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, , 则有

a b c ? ? (R sin A sin B sin C

为 ?ABC 的外接圆的半径)
2 2 2 2 2 2 2. 余 弦 定 理 : 在 ?ABC 中 , 有 a ? b ? c ? 2bc ? cos A ; b ? a ? c ? 2ac ? cos B ;

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cosC .
推论: cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ; cos B ? ; cosC ? . 2bc 2ac 2ab
1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

3.三角形面积公式: S ?ABC ? 4.等差数列与等比数列 (一)等差数列

(1)定义: an - a n ?1 =d(n≥2,n∈N ? ) (2)通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d , (3)前 n 项和公式: Sn ? na1 ? (4)等差数列的性质: (1)若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则 am ? an ? a p ? aq ;特别地,若 m+n=2p, 则 am ? an ? 2a p .
* ( 2 ) 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 每 隔 k(k ? N ) 项 取 出 一 项 仍 为 等 差 数 列 , 例 如 :

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2 .

am , am?k , am?2k , am?3k , ??? 仍为等差数列。
(二)等比数列 (1)定义:

an ?q an ?1

(2)通项公式: an ? a1qn?1 ? am qn?m

9

(3)前 n 项和公式: Sn ? (4)等比数列的性质:

a1 ?1 ? qn ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q .

* (1) 数 列 {an } 为 等 比 数 列 , 每 隔 k(k ? N ) 项 取 出 一 项 仍 为 等 比 数 列 , 例 如 :

am , am?k , am?2k , am?3k , ??? 仍为等比数列
(2) m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? , 则 am ? an ? a p ? aq; 特 别 地 , 若 m+n=2p , 则
2 am ? an ? a p .

5.均值定理: 如果 a, b ? R ? ,那么 a ? b ? 2 ab (当且仅 a ? b 时,取“=” 号)

10


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