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高中数学必修五同步练习:2.4《等比数列》测试(新人教A版必修5)

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第 3 课时 基础过关 1.等比数列的定义: ( ( 等比数列 ) =q(q 为不等于零的常数) . ) 2.等比数列的通项公式: - - ⑴ an=a1qn 1 ⑵ an=amqn m 3.等比数列的前 n 项和公式: Sn= ? ? ? ? ? ( q ? 1) ( q ? 1) 4.等比中项:如果 a,b,c 成等比数列,那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项,即 b2= b= ) . 5.等比数列{an}的几个重要性质: ⑴ m,n,p,q∈N*,若 m+n=p+q,则 . ⑵ Sn 是等比数列{an}的前 n 项和且 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 数列. ⑶ 若等比数列{an}的前 n 项和 Sn 满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比 q= . 典型例题 (或 例 1. 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数 n 和公比 q 的值. 解:∵{an}是等比数列, ∴a1· an=a2· an-1, ∴? ?a1 ? a n ? 66 ?a ? 2 ?a ? 64 ,解得 ? 1 或? 1 a ? 64 a ? a ? 128 ? n ?a n ? 2 ? 1 n - 若 a1=2,an=64,则 2· qn 1=64 ∴qn=32q 由 Sn= a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 32q) ? ? 126 , 1? q 1? q 解得 q=2,于是 n=6 - 若 a1=64,an=2,则 64· qn 1=2 ∴qn= 1 q 32 a (1 ? q n ) 由 Sn= 1 ? 1? q 64(1 ? 1 q) 32 ? 126 1? q 解得 q= ,n=6 变式训练 1.已知等比数列{an}中,a1· a9=64,a3+a7=20,则 a11= 解:64 或 1 由? ? a1 ? a9 ? 64 ? a a ? 64 ?? 3 7 ? a3 ? a7 ? 20 ? a3 ? a7 ? 20 1 2 . a3 ? 4 ? a ? 16 或? ?? 3 ? a ? 16 ? a7 ? 4 ? 7 ∴ q2= 或 q2=2,∴ a11=a7 q2,∴ a11=64 或 a11=1 1 2 例 2. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项中 数值最大项为 27,求数列的第 2n 项. ? a1 (1 ? q n ) ? 40 ? 1? q 解:若 q=1,则 na1=40,2na1=3280 矛盾,∴ q≠1.∴ ? ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 3280 ? 1? q ? 两式相除得:qn=81,q=1+2a1 又∵q>0,∴ q>1,a1>0 ∴ {an}是递增数列. ∴ an=27=a1qn 1= - a1 ? 81 1 ? 2a1 解得 a1=1,q=3,n=4 变式训练 2.已知等比数列{an}前 n 项和 Sn=2n-1,{an2}前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 解:(1) ∵a1+2a22=0,∴公比 q= 又∵S4-S2= , 将 q=- 代入上式得 a1=1, ∴an=a1qn 1=(- ) n (2) an≥ ? n≤5 - a2 1 ?? a1 2 1 8 1 2 1 2 -1 (n∈N*) 1 1 n-1 1 4 ≥( ) ? (- ) 16 2 2 ∴原不等式的解为 n=1 或 n=3 或 n=5. 例 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数 的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 解:设这四个数为 a-d,a,a+d, ? (a ? d ) 2 ? 16 ? a?d ? 依题意有: ? a ? a ? a ? d ? 12 ? (a ? d ) 2 a 解得: ? ? a?4 ? a?9 或 ? ? d ?4 ? d ? ?6 ∴ 这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 变式训练 3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于 ( ) A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 答案: D。解析:由 Sn ? 324, Sn ?6 ? 144 得 an ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? an ? 4 ? an ?5 ? 180 ,再由 n(a1 ? an ) ? 324,? n ? 18 。 2 例 4. 已知函数 f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的等比数 S6 ? 326,? a1 ? an ? 36,? Sn ? 列(q≠1),若 a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1), (1) 求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设数列{cn}对任意的自然数 n 均有: c c1 c 2 ? ? ? ? n ? (n ? 1)a n?1 ,求数列{cn}前 n 项和 Sn. b1 b 2 bn 解:(1) a1=(d-2)2,a3=d2,a3-a1=2d 即 d2-(d-2)2=2d,解之得 d=2 ∴a1=0,an=2(n-1) 又 b1=(q-2)2,b3=q2,b3=b1q2 即 q2=(q-2)2 q2,解之得 q=3 - ∴b1=1,bn=3n 1 (2) Cn ? (n ? 1)a n?1?na n ? 4n, c n ? 4n ? 3n?1 bn Sn=C1+C2+C3+…+Cn - =4(1×3°+2×31+3×32+…+n×3 n 1) ' ? 1×3°+2×3? 设 Sn +3×32+…+n×3 n -1

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