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高中数学必修五同步练习:2.4《等比数列》测试(新人教A版必修5)

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第 3 课时
基础过关 1.等比数列的定义:
( (

等比数列

) =q(q 为不等于零的常数) . )

2.等比数列的通项公式: - - ⑴ an=a1qn 1 ⑵ an=amqn m 3.等比数列的前 n 项和公式: Sn= ?
? ? ? ? ( q ? 1) ( q ? 1)

4.等比中项:如果 a,b,c 成等比数列,那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项,即 b2= b= ) . 5.等比数列{an}的几个重要性质: ⑴ m,n,p,q∈N*,若 m+n=p+q,则 . ⑵ Sn 是等比数列{an}的前 n 项和且 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 数列. ⑶ 若等比数列{an}的前 n 项和 Sn 满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比 q= . 典型例题

(或

例 1. 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数 n 和公比 q 的值. 解:∵{an}是等比数列, ∴a1· an=a2· an-1, ∴?
?a1 ? a n ? 66 ?a ? 2 ?a ? 64 ,解得 ? 1 或? 1 a ? 64 a ? a ? 128 ? n ?a n ? 2 ? 1 n


若 a1=2,an=64,则 2· qn 1=64 ∴qn=32q 由 Sn=
a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 32q) ? ? 126 , 1? q 1? q

解得 q=2,于是 n=6 - 若 a1=64,an=2,则 64· qn 1=2 ∴qn=
1 q 32

a (1 ? q n ) 由 Sn= 1 ? 1? q

64(1 ?

1 q) 32 ? 126 1? q

解得 q= ,n=6 变式训练 1.已知等比数列{an}中,a1· a9=64,a3+a7=20,则 a11= 解:64 或 1 由? ?
a1 ? a9 ? 64 ? a a ? 64 ?? 3 7 ? a3 ? a7 ? 20 ? a3 ? a7 ? 20

1 2



a3 ? 4 ? a ? 16 或? ?? 3 ? a ? 16 ? a7 ? 4 ? 7

∴ q2= 或 q2=2,∴ a11=a7 q2,∴ a11=64 或 a11=1

1 2

例 2. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项中 数值最大项为 27,求数列的第 2n 项.

? a1 (1 ? q n ) ? 40 ? 1? q 解:若 q=1,则 na1=40,2na1=3280 矛盾,∴ q≠1.∴ ? ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 3280 ? 1? q ?

两式相除得:qn=81,q=1+2a1 又∵q>0,∴ q>1,a1>0 ∴ {an}是递增数列. ∴ an=27=a1qn 1=


a1 ? 81 1 ? 2a1

解得 a1=1,q=3,n=4 变式训练 2.已知等比数列{an}前 n 项和 Sn=2n-1,{an2}前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 解:(1) ∵a1+2a22=0,∴公比 q= 又∵S4-S2= , 将 q=- 代入上式得 a1=1, ∴an=a1qn 1=(- ) n (2) an≥
? n≤5


a2 1 ?? a1 2

1 8

1 2

1 2

-1

(n∈N*)

1 1 n-1 1 4 ≥( ) ? (- ) 16 2 2

∴原不等式的解为 n=1 或 n=3 或 n=5. 例 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数 的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 解:设这四个数为 a-d,a,a+d,
? (a ? d ) 2 ? 16 ? a?d ? 依题意有: ? a ? a ? a ? d ? 12 ?

(a ? d ) 2 a

解得: ?

? a?4 ? a?9 或 ? ? d ?4 ? d ? ?6

∴ 这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 变式训练 3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于 ( ) A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

答案: D。解析:由 Sn ? 324, Sn ?6 ? 144 得 an ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 ? an ? 4 ? an ?5 ? 180 ,再由
n(a1 ? an ) ? 324,? n ? 18 。 2 例 4. 已知函数 f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的等比数 S6 ? 326,? a1 ? an ? 36,? Sn ?

列(q≠1),若 a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1), (1) 求数列{an},{bn}的通项公式;

(2) 设数列{cn}对任意的自然数 n 均有:

c c1 c 2 ? ? ? ? n ? (n ? 1)a n?1 ,求数列{cn}前 n 项和 Sn. b1 b 2 bn

解:(1) a1=(d-2)2,a3=d2,a3-a1=2d 即 d2-(d-2)2=2d,解之得 d=2 ∴a1=0,an=2(n-1) 又 b1=(q-2)2,b3=q2,b3=b1q2 即 q2=(q-2)2 q2,解之得 q=3 - ∴b1=1,bn=3n 1 (2)
Cn ? (n ? 1)a n?1?na n ? 4n, c n ? 4n ? 3n?1 bn

Sn=C1+C2+C3+…+Cn - =4(1×3°+2×31+3×32+…+n×3 n 1)
' ? 1×3°+2×3? 设 Sn +3×32+…+n×3 n
-1

1 2 3 n ' ? 1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3 3 Sn

-2

' Sn

? 1+3+3 +3 +…+3

2

3

n-1

1(3n ? 1) -n×3 = 2 -3 n· n
n

' Sn ?

n n 3n ? 1 ?3 ? 2 4

∴Sn=2n· 3n-3n+1 变式训练 4.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式; ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有

c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? an?1 ,求 c1+c2+c3+…+c2007 的 b1 b2 b3 bn

值. - 解:⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得 d=2,∴an=2n-1,bn=3n 1. ⑵当 n=1 时,c1=3 当 n≥2 时,∵

cn ?3(n ? 1) 故 cn ? 2 ? 3n?1 ? an ?1 ? an , ∴ cn ? ? n ?1 bn ?2 ? 3 (n ? 2)

? c1 ? c2 ??? c2007 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ??? 2 ? 32006 ? 32007

归纳小结 1.在等比数列的求和公式中,当公比 q≠1 时,适用公式 Sn=
a1 (1 ? q n ) ,且要注意 n 表示项数; 1? q

当 q=1 时,适用公式 Sn=na1;若 q 的范围未确定时,应对 q=1 和 q≠1 讨论求和. 2.在等比数列中,若公比 q > 0 且 q≠1 时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最 小项. 3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设 这四个数,一般是设为 x-d,x,x+d,
(x ? d )2 再依题意列出方程求 x、d 即可. x

4.a1 与 q 是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.


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