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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (11)

时间:2016-02-21


2015 年全国高中数学联赛辽宁省预赛
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设 a ?

?[
i ?1

24

i ] (其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,集合 A ? {x | x ? N * 且 x | a} ,则集合 A 中的元素

个数是 A.4 B.6 C.8 D.12 2.已知 ?ABC 的三边 a, b, c 成等比数列,边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C 且

sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 ,则角 B 为 ? ? ? 2? A. B. C. D. 3 4 3 2 2 2 3.已知函数 f ( x) ? x ? 53x ? 196? | x ? 53x ? 196 | ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (50) ?
A.660 B.664 C.668 D.672 4.已知数列 {an } 是由正整数组成的递增数列,且 an?2 ? an?1 ? 2an (n ? N * ) ,若 a5 ? 52 ,则 a7 等于 A.102 B.152 C.212 D.272 5.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? AA 1 ? 1, AD ? 2, 则异面直线 A 1 D 与 B1 D 1 间的距离为 A.1 B.

1 2

C.

2 3

D.

3 2

6. 如 图 , M , N 分 别 为 正 六 边 形 A B C D E F 的对角线 AC , C E的 內 分 点 , 且

AM CN ? ? ? ,若 B, M , N 三点共线,则 ? 的值是 AC CE 1 3 2 A. B. C. 3 3 2
二、本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将答案填在题后的横线上.
2

D.

1 2

7.已知复数 z ? a ? i (a ? R, i 为虚数单位,满足 i ? ?1) 在复平面内对应的点在第二象限,且 | z ? (1 ? i) |? 2 ,则实数 a 的取值范围是 8.已知实数 a , b 满足: a ? lg a ? 10, b ? 10b ? 10 ,则 lg(a ? b) ? 9.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ?
*

1 ,且对于任意正整数 m, n ,都有 am? n ? am ? an ,若 Sn ? a ,对任 5

意 n ? N 恒成立,则实数 a 的最小值是 10. 在 立 方 体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , 点 M , N 分 别 在 线 段 AB, BB 1 上 ( 不 包 括 线 段 的 端 点 ), 并 且

AM ? B 1 N,则 A 1M 与 C1 N 所成角的取值范围是
11.一道数学竞赛题,甲,乙,丙单独解出此题的概率分别是

1 1 1 , , (其中 a, b, c 都是小于 10 的正整数), a b c 7 现甲,乙,丙同时独立解答此题,若三人中恰有一人解出此题的概率为 ,则甲,乙,丙三人都未解出此 15

题的概率为 12.设 F1 , F2 为椭圆 C 的两个焦点,若 AB 为椭圆一条过点 F2 的弦,且在 ?F1 AB 中,

| F1 A |? 3,| AB |? 4,| BF1 |? 5 ,则 tan ?F2 F1B ?
三、解答题:本大题共 4 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13(本小题满分 20 分) 设实数 a, b, ? 满足 0 ? a ? b,0 ? ? ? 1. (Ⅰ)证明: ln a ? 1 ?

a ln a ? b ln b ? ln b ? 1 a ?b

(Ⅱ)证明: [? a ? (1 ? ? )b]ln[? a ? (1 ? ? )b] ? ? a ln a ? (1 ? ? )b ln b .

14(本小题满分 20 分) 如图,直角 ?ABC 的外接圆的圆心为 O, ?C ? 90? ,过 C 作 AB 的垂线,垂足为 D, 作圆 O1 分别切弧

? ,边 CD, DB 于 E, F , G, 同样作圆 O 分别弧 ? BC AC ,边 CD, DA 相 2 切,设圆 O1 的半径为 r1 ,圆 O2 的半径为 r2 , ?ABC 的内切圆半径为 r , r ?r 证明: r ? 1 2 . 2

15(本小题满分 25 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,关于 x 的方程 x2 ? an?1 cos x ? (2an ? 1) ? 0 有唯一解. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? [1 ?

1 ]n ,求证: bn ? 3 ; log 2 (an ? 1)

(Ⅲ)设 cn ? n2 an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

16(本小题满分 25 分)

x2 y 2 ? ? 1的左右两个焦点分别是 F1 , F2 , P 为双曲线上一动点,且在第一象限内,已知 设双曲线 C : 4 5 ?PF1F2 的重心为 G ,内心为 I .
P 的坐标,若没有,请说明理由; (Ⅰ)问是否存在点 P ,使得 IG / / F 1F 2 ? 若有,求出点
(Ⅱ)设 A 为双曲线的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与双曲线 C 交于 M , N 两点,若 AM , AN 的斜率分别 为 k1 , k2 ,且 k1 ? k 2 ? ?

1 ,求直线 l 的方程. 2


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