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对数函数新课(组内公开课)(1)

时间:2014-11-15


对数函数及其性质

复习对数的概念

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?

的b次幂等于N, 就是

a ?N
b

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

由前面的学习我们知道:有一种细胞分裂时,由1 个分裂成2个,2个分裂成4个,· · ·1个这样的细胞分 裂x次会得到多少个细胞?

y?2

x

如果知道了细胞的个数y如何确定分裂的次数x 呢 由对数式与指数式的互化可知:

x ? log2 y
上式可以看作以y自变量的函数表达式吗

对于每一个给定的y值都有惟一的x 的值与之对应,把y看作自变量,x 就是y的函数,但习惯上仍用x表示 自变量,y表示它的函数:即

y ? log2 x
这就是本节课要学习的:

对数函数
定义:函数 y ? loga x(a ? 0,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是(0,+∞)。


判断:以下函数是对数函数的是 ( 4) 1. y=log2(3x-2) 3. y=log1/3x2 5. 2. y=log(x-1)x 4.y=lnx
x

y ? 3log2 ? 5

二.对数函数的图象: 1.描点画图.
注意只要把指数函数y=ax (0<a≠1)

的变量x,y的对应值对调即可得到
y=logax(0<a≠1)的变量对应值表如下.

x
Y=log2x

… 1/8 1/4 1/2 1

2
1

4
2

8
3





-3 -2

-1 0



… 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … … Y=log1/2x … 3 2 1 0 -1 -2 -3 x

y 3 Y=log2x 2

o -1 -2
-3

1

1

2

3 4 5 6 7

8

x

y 3 2

o -1 -2
-3

1

1

2 3 4 5 6 7

8

x

Y=log1/2x

探索研究:
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; y (1) y ? log x
2

..........

( 2) y

? log 1 x

y ? log3 x

y ? log2 x

(3) y
(4) y

? log3 x
? log1 x
3

2

...........
o

x

y ? log1 x
2

y ? log1 x
3

Y

b>a>1>d>c>0

Y=logax Y=logb x

O

1 Y=logdx 规律:在第一象限内,底数越 大,图像按顺时针方向旋转。

y ? logc X

X

一、对数函数的图象与性质:
问题:你能类比前面讨论指数函数性质的 思路,提出研究对数函数性质的内容和方 法吗? 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调 性、最大(小)值、奇偶性. 类比指数函数图象和性质的研究,研究对 数函数的性质并填写如下表格:

一、对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y

0<a<1
1

图象

o

1

x

o

x

定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号

( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R 非奇非偶函数

( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x)
2>0,所以x≠?,即函数y=log x2的定义域为 (1) 因为 x a 解:

?-???? ? (0,+?? (-??4)

(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为

(3)
因为

3-x>0 x-1>0 x-1≠?

所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为: (1,2)??????

例2:比较大小
1、log4 5和 log4 28 、

log0.5 0.4和log0.5 0.7 loga 0.4和loga 0.7

3、 42 、 log0.5 0.4和log 0.7

2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数 y=logax(0<a≠1)的图象关于直线y=x

对称.

Y 5

Y=
● ●

2

x

Y=X

4
3 2 ● ● 1●




Y=log2x

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

练习、比较大小: 1)log3π,log3e
1 2) log 2 , log2 (a 2 ? a ? 1) (a ? R) 2
3)

log

1.7 2.1

,log 0.3 log 3

7,

5

想一想:函数f(x)=log2 ( x2 ? ax ? 1)的定义域为R,
求a的取值范围?

题型一:对数型函数的过定点问题
性质:对数函数 .

y ? loga x(a ? 0,且a ? 1)

恒过定点(1,0)

函数y ? loga (3x ? 2) ? 5(a ? 0且a ? 1)的图象恒过定点 例 1:

.

1 解:令3x+2=1,则x=- , y ? ?5. 3

1 所以函数的图象恒过定点(- , ?5). 3

练习:函数 y ? loga ( x2 ? x ? 5) ? 3,(a ? 0, 且a ? 1)的图像恒过定点

(3,3), (?2,3).
.

方法总结:令对数型函数的真数部分等于1.

题型三:利用对数函数的单调性解不等式
例4:(1)已知 log0.7 (2 x) ? log0.7 ( x ?1) ,求x的范围. 1 (2)已知 log a ? 1, 求a的取值范围. 2
解:(1) 函数f ( x) ? log 0.7 x在(0, +?)上为减函数. ?由已知得:

?2 x ? 0 ? ?x ?1 ? 0 ?2 x ? x ? 1 ?

解得x>1.
注意:对数 的真数必须 大于0.

?不等式的解集为(1, +?).
(2)由 log a 1 1 ? 1得 log a ? log a a, 2 2 1 若a ? 1, 有a ? , 此时无解. 2
1 1 若0 ? a ? 1, 有a ? , 所以 ? a ? 1. 2 2 1 综上,a的取值范围为( ,1). 2

化同底

练习:已知loga (3a ? 1) ? 1, 求a的取值范围.
解:由loga (3a ? 1) ? 1得 log a (3a ?1) ? log a a,
?3a ? 1 ? a 若a ? 1, 有 ? , 此时无解. ?3a ? 1 ? 0 ?3a ? 1 ? a 1 若0 ? a ? 1, 有 ? , 得a ? ? , 所以0 ? a ? 1. 3 ?3a ? 1 ? 0
综上,a的取值范围为(0,1 ).

题型四:对数型复合函数的单调性
例5:(1)分析函数 y ? log2 ( x ? 2) 的单调性. (2) 分析函数 y ? log0.3 (3x ? 2) 的单调性 解:(1) x-2>0,即x>2,

令t ? g ( x) ? x ? 2, 则y ? log2 t,

?函数的定义域为(2,+?).

t ? (0, ??)

? y ? log2 ( x ? 2)在(2, ??)上为增函数.
(2) 2 3 x ? 2 ? 0, 即x ? , 3

t ? g ( x)在(2, ??)上为增函数,且y ? log2 t在(0,+?)上为增函数,
2 ?函数的定义域为( , ??). 3

令t ? g ( x) ? 3x ? 2, 则y ? log0.3 t, t ? (0, ??)
2 ? y ? log 0.3 (3 x ? 2)在( , ??)上为减函数. 3
2 t ? g ( x)在( , ??)上为增函数,且y ? log 0.3 t在(0,+?)上为减函数, 3

练习: 分析函数y ? loga (?2 x ? 1)的单调性. 1 1 解: ?2 x ? 1 ? 0, ? x ? , 即函数的定义域为(-?, ) 2 2

1 g ( x)在(-?, )上为减函数, t ? g ( x) ? (0, ??) 2 若a ? 1, 则y ? loga t在(0, ??)上为增函数,

令t ? g ( x) ? ?2x ? 1, 则y ? loga t.

若0 ? a ? 1, 则y ? loga t在(0, ??)上为减函数,

1 ? y ? log a (?2 x ? 1)在(??, )上为减函数. 2 1 ? y ? log a (?2 x ? 1)在(??, )上为增函数. 2

题型五:综合应用
例6:已知函数f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(a ? 0, 且a ? 1),

(1)求函数f ( x) ? g ( x)的定义域.
(2)判断函数f ( x) ? g ( x)的奇偶性,并说明理由.
解: (1) ?x ?1 ? 0 , 解得 -1 ? x ? 1, ? f ( x) ? g ( x)的定义域为(-1,1). ? ?1 ? x ? 0
令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ?1) ? loga (1 ? x), x ? (?1,1)

(2)判断:f ( x) ? g ( x)在(?1,1)上为偶函数.

则F (? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? F ( x)

? F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在(-1,1 )上为偶函数.

当堂巩固:
1、若a ? log2 e, b ? log7 6, c ? log2 0.8, 则
A、a ? b ? c B、b ? a ? c C、c ? a ? b D、b ? c ? a

2、比较大小:(1)log3 7,

log5 3

(2)log2 ? ,

log3 ?

3、已知log1.5 (3x) ? log1.5 ( x ? 2), 求x的范围.

小结
(1)本节要求掌握对数函数的概念、 图象和性质. (2)在理解对数函数的定义的基础 上,掌握对数函数的图象和性质的 应用是本小节的重点.


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