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2017 年清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )及详细解析_图文

时间:2017-09-04

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8
2 0 1 7 年清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )
2017 年 8月·笔试
{本卷满分:180 分 考试时间:150 分钟}

D

一、填空题(共 12 小题,每题 10 分,计 120 分).

1. 如图,在三棱锥中 D ? ABC中,已知 AB=2, AC ? BD ? ?3 .设 AD=a,BC=b,CD=c,则abc+2 1

的最小值为



A 第1题

C B

2. 若四位数 n ? abcd 的各位数码 a,b,c, d 中,任三个数码皆可构成一个三角形

的三条边长,则称 n 为四位三角形数,则所有四位三角形数的个数





3. 已知函数 a、b 满足 ?1 ? a ? 2 ,且 0 ? b ? 2a2 ? 1 ,则 w ? 3a2 ? 16 b2 ? 8ab 3

? a ? 4 b 的取值范围是



3

4. 若存在满足下列三个条件的集合 A 、 B 、C ,则称偶数 n 为“萌数”:⑴ 集
合 A 、 B 、 C 为集合 M ? ?1,2,3,? ? ?,n?的 3 个非空子集, A 、 B 、 C 两两之

间的交集为空集,且 A ? B ? C ? M ;⑵ 集合 A 中所有数均为奇数,集合 B

所有数均为偶数,所有的 3 的倍数都在集合 C 中;⑶ 集合 A 、 B 、 C 所有

元素的和分别为 S1、S2、S3 ,且 S1 ? S2 ? S3 .对于以下 4 个说法:① 8 是“萌

数”;② 60 是“萌数”;③ 68 是“萌数”;④ 80 是“萌数”;其中正确的



.(填所有正确的序号)

45
? 5. 若 csc2 ?2k ?1?? ? mn ,其中 m, n ? N? 且 k ?1

m, n ? 2 ,则 m ? n的值是



6. 如图,设斜率为 k ?k ? 0?的直线 l 与椭圆 C:

x2 ? y2 ? 1交于 A、B 两点,OA ? OB .当 93

?AOB面积取最大值时,直线 l 的方程





第6题

7. 若离散型随机变量 X ,Y 满足 2 ? X ? 3,且 XY ? 1,则 E?X ?E?Y ?的取值范围





清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 1 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8

8. 已知 a, b ? 0 ,a ? b ? 1,则 M ? 3 1? 2a2 ? 2 40 ? 9b2 的最大值与最小值之

和是



? ? 9. 已知 z 是实部虚部均为正数的复数,则对于说法:① Re z 2 ? z 被 2 整除;

? ? ? ? ? ? ② Re z3 ? z 被 3 整除;③ Re z4 ? z 被 4 整除;④ Re z5 ? z 被 5 整除;

正确的是

.(填所有正确的序号)

10. 在圆锥内部放有一个球,它与圆锥的侧面和底面都相切,则球的表面积与圆

锥的表面积之比最大为



11. 六边形 ABCDEF 内接于圆 O,且 AB ? BC ? CD ? 3 ? 1,DE ? EF ? FA ?1.

则此六边形的面积为



12. 已知 x1,x2,? ? ?,xn ?n ? 4? 是满足 x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn ? 1的非负实数,则

x1x2 x3 ? x2 x3x4 ? ??? ? xn x1x2 的最大值是



二、解答题(共 2 小题,13 题 25 分,14 题 35 分,计 60 分).
13. ⑴ 函数 f ?x? ? ?x3 ? 3x2 ? ?1 ? a?x ? b ?a ? 0,b ? R? .

(Ⅰ) 令 h?x? ? f ?x ?1? ? b ? a ? 3,判断 h?x?的奇偶性,并讨论 h?x?的单调性.

(Ⅱ) 若 g?x? ? f ?x? ,设 M ?a, b?为 g?x? 在?? 2,0?的最大值, 求 M ?a, b?的最小值.

清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 2 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8

⑵ 设 a ?Z ,已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? 2x4 ? 3x3 ? 3x2 ? 6x ? a 在区间

?1,2? 内有一个零点 x0 , g?x? 为 f ?x? 的导函数.

(Ⅰ) 求 g?x? 的单调区间;

(Ⅱ) 设 m ? ?1, x0 ? ? ?x0,2?,函数 h?x? ? g?x??m ? x0 ? ? f ?m?,

求证: h?m?h?x0 ? ? 0 ;
(Ⅲ) 求证:存在大于 0 的常数 A,使得对任意的正整数 p,q,



p q

?

?1,

x0

?

?

?x0

,2?,满足

p q

?

x0

?

1 Aq4



清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 3 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8

14. ⑴ 设数列 ?an ?满足 an?1 ? 2an ? 2 , an ? 2 , n ? 1,2,3,? ? ? .

证明:若 a1为有理数,则从某项后 ?an ?为周期数列.

⑵ 数列 ?an ?各项均为正数,且对任意 n ? N? ,

满足 an?1 ? an ? can2 (常数 c ? 0 ).

(Ⅰ) 求证:对任意正数 M,存在 N ? N? ,当 n ? N 时,有 an ? M ;

(Ⅱ)

设 bn

1 ?
1? can

, Sn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,

求证:对任意 d ? 0 ,存在 n ? N? ,当 n ? N 时,有 0 ?

Sn

?

1 ca1

?d.

清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 4 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8

2 0 1 7 年清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )

参考答案

[ MATHEMATICS Examination paper reference answer] {本卷满分:180 分 考试时间:150 分钟}
一、填空题(共 12 小题,每题 10 分,计 120 分). 1 考点:立体几何(三棱锥) {难度:★★☆☆☆}
答案:2

2 考点:计数,排列 {难度:★★★☆☆} 答案:1681

3 考点:代数式求值 {难度:★★☆☆☆}

答案:

????

1 12

,574

? ??

4 考点:集合、数论、分类讨论 {难度:★★★☆☆}

( 2017 年中学生学术能力测试 )

答案:①③④

5 考点:三角函数(三倍角公式) {难度:★★★☆☆} 答案:91

6 考点:解析几何(直线与椭圆) {难度:★★☆☆☆}

答案: y ? 3 x ? 3 或 y ? 3 x ? 3

3

3

7 考点:随机变量 {难度:★★★★☆}

答案:

???1,2245

? ??

8 考点:导数,放缩 {难度:★★★☆☆} 答案: 3 3 ? 4 10 ? 5 11
清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 5 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8 9 考点:复数,费马小定理 {难度:★★★☆☆}
( 2017 年中学生学术能力测试 ) 答案:②④
10 考点:立体几何(球与圆锥) {难度:★★☆☆☆} ( 2017 年全国高中数学联赛 天津预赛 ) 答案: 1 2

11 考点:平面几何(特征分析思想,转换法) {难度:★★★☆☆}
? ? 答案: 9 2 ? 3 4

图1



图2

(将小三角形重新组合)

12 考点:基本不等式 {难度:★★★★☆} ( 2017 年 IMO,中国国家队选拔考试 ) 答案: 1 16
清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 6 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8

二、解答题(共 2 小题,13 题 25 分,14 题 35 分,计 60 分). 13 考点:函数、导数讨论的应用 {难度:★★★☆☆}

(25 分)


清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 7 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8
清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 8 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8

② 2017 年天津高考数学(理)

【解析】(Ⅰ)由 f (x) ?2x 4?3x 3?3x 2?6x ?a ,可得 g(x) ? f ?(x) ? 8x3 ? 9x2 ? 6x ? 6 ,

进而可得 g?(x) ? 24x2 ?18x ? 6 .令 g?(x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ? 1 . 4
当 x 变化时, g?(x), g(x) 的变化情况如下表:

x
g ?( x) g(x)

(??, ?1)
+ ↗

(?1, 1 ) 4


(1 , ??) 4
+ ↗

所以, g(x) 的单调递增区间是 (??, ?1) , (1 , ??) ,单调递减区间是 (?1, 1 ) .

4

4

(Ⅱ)证明:由 h(x) ? g(x)(m ? x0 ) ? f (m) ,得 h(m) ? g(m)(m ? x0 ) ? f (m) ,

h(x0 ) ? g(x0 )(m ? x0 ) ? f (m) .

清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 9 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8

(III)证明:对于任意的正整数

p



q

,且

p q

?[1,

x0 )

(x0 , 2] ,

令m

?

p q

,函数 h(x)

?

g(x)(m ?

x0 ) ?

f

(m) .

由(II)知,当 m ?[1, x0 ) 时, h(x) 在区间 (m, x0 ) 内有零点; 当 m ? (x0 , 2]时, h(x) 在区间 (x0 , m) 内有零点.

所以 |

p q

? x0

|?

1 g (2)q 4

.所以,只要取 A ?

g(2) ,就有|

p q

?

x0

|?

1 Aq4

.

清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 10 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8 13 考点:数列,数学归纳法 {难度:★★★★☆}
( 2017 年全国高中数学联赛 浙江预赛 )

(35 分)

清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 11 页 共 12 页

命题人:前进者 原创文档 2017 / 8 ( 2013 年清华大学自主招生 )
严. 禁. 盗. 版.
清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )试卷 第 12 页 共 12 页


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