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2010-2015高考 全国卷1卷 文科数学试题及答案

时间:2015-11-07


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ? xn 的标准差 锥体体积公式

s ?

1? (x1 ? x )2 ? (x 2 ? x )2 ? ? ? (x n ? x )2 ? ? ? n

V ?

1 sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积,体积公式 3 S ? 4? R 2 ,V ? ? R 3 4 其中 R 为球的半径

其中 S 为底面面积,h 为高

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
[来源:学科网]

(1)已知集合 A ? x x ? 2, x ? R, B ? x | x ? 4, x ? Z | ,则 A ? B ? (A) (0,2) (B)[0,2] (C)|0,2| (D)|0,1,2| (2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的 余弦值等于 8 8 16 16 (A) (B) ? (C) (D) ? 65 65 65 65 (3)已知复数 z ? (A)
1 4

3 ?i ,则 i = (1 ? 3i)2
(B)
1 2

(C)1

(D)2

(4)曲线 y ? x2 ? 2 x ? 1在点(1,0)处的切线方程为 (A) y ? x ? 1 (C ) y ? 2 x ? 2 (B) y ? ? x ? 1 (D) y ? ?2 x ? 2

(5)中心在远点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离 心率为 (A) 6 (B) 5 (C)
6 2

(D)

5 2

(6)如图,质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置

为 p0 ( 2 , ? 2 ) ,角速度为 1,那么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数 图像大致为

(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 (A)3 ? a2 (B)6 ? a2 (C)12 ? a2 (D) 2 24 ? a (8)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于 5 (A) 4 4 (B) 5 6 (C) 5 5 (D) 6 (9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 x f ? x ? 2 ? ? 0 = (A) ? x x ? ?2或x ? 4? (C) ? x x ? 0或x ? 6? (10)若 sin a = (A)7 2 10

?

?

(B) ? x x ? 0或x ? 4? (D) ? x x ? ?2或x ? 2?

4 ? ,a 是第一象限的角,则 sin( a ? ) = 5 4

(B)

7 2 10

(C) -

2 10

(D)

2 10

(11)已知 ? ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x, y)在 ? ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20)

? lg x1 ,0? x?10 (12)已知函数 f(x)= ? ? 1 x ? 6, x ?0 ? 2

若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= f(b)= f(c),则

abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个 试题考生都必须做答。第(22)题~第( 24)题为选考题,考生根据要求做答。 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)圆心在原点上与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为-----------。 ( 14 )设函数 y ? f ( x) 为区间 ? 0,1? 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有
x ?1, y?0 可以用随机模拟方 法计算由曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? 0 , 0 ? f ? x ? ? 1,

所围成部分的面积, 先产生两组 i 每组 N 个, 区间 ? 0,1? 上的均匀随机数 x1, x2..... xn 和

y1, y2..... yn , 由 此 得 到 V 个 点 ? x, y i 1 , 2 .?N .。 .. 再数出其中满足 ?? ?
y1 ? f( x )( ?i 1 , 2 . 的 N . .点 . .数 ) N1 那 么 由 随 机 模 拟 方 法 可 得 S 的 近 似 值 为
___________ (15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 _______(填入所有可能的几何体前的编号 ) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱 柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 (16) 在 ? ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? . 若

AC ? 2 AB ,则 BD=_____
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。 (18) (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足为 H , PH 是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体积。

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (19) (本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调 查了 500 位老人,结果如下:

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别 有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中, 需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由。 附:
[来源:学。科。网]

(20) (本小题满分 12 分)

设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x 2 +

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 b2

E 相交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。

(21)本小题满分 12 分) 设函数 f? x ? ? x ? e x ? 1? ? ax 2 (Ⅰ)若 a=
1 ,求 f? x ? 的单调区间; 2
[来源:学科网]

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f? x ? ≥0,求 a 的取值范围

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

? ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 如图:已知圆上的弧 ? AC ? BD
E 点,证明: (Ⅰ) ?ACE = ?BCD 。 (Ⅱ) BC 2 =BE x CD。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 :{ X=1+tcosa {t 为参数}。图 C2 :{ (Ⅰ)当 a= { ? 为参数 } ? X= cos
y= sin ?

? 时,求 C 与 C2 的交点坐标: 3 y=tsina 1

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A、P 为 OA 的中点,当 a 变 化时, 求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。 (

24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 ? ( x ) = 2 x ? 4 + 1。 (Ⅰ)画出函数 y= ? ( x ) 的图像:

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(Ⅱ)若不等式 ? ( x ) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围

2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M ? N ,则 P 的子集共有 A.2 个 2.复数 B.4 个 C .6 个 D.8 个

5i ? 1 ? 2i A. 2 ? i C. ?2 ? i

B. 1 ? 2 i D. ?1 ? 2i

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1
2

C. y ? ? x ? 1

D. y ? 2

?|x|

4.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 8
1 3
B.

A.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

5.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 A.120 B. 720 C. 1440 D. 5040

6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

7. 已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, 则 cos 2? = A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为

| AB |? 12 , 9. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点,
P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为 A.18 B.24 C. 36 10.在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为
x

D. 48

A. (? ,0)

1 4

B. (0, )

11.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. y ? f ( x) 在 (0, B. y ? f ( x) 在 (0, C. y ? f ( x) 在 (0, D. y ? f ( x) 在 (0,

?

1 4

C. ( , )

? ? ?
2

) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4

?

1 1 4 2

D. ( , )

1 3 2 4

) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ?

? ? ?
4

对称 对称 对称 对称

2 2 2

2 4 2

?

?

2 12.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x ,那么函数 y ? f ( x) 的图象

与函数 y ?| lg x | 的图象的交点共有 A.10 个 B.9 个 C .8 个 D.1 个 二、填空题 :本大题共 4 小题, 每小题 5 分. 13.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则

k=_____________. 14.若变量 x,y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是_________. ?6 ? x ? y ? 9

15. ?ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为_________. 16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底 面面积是这个球面面积的

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的 16

比值为________. 三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 中, a1 ? (I) Sn 为 {an } 的前 n 项和,证明: S n ?

1 ? an 2

1 1 ,公比 q ? . 3 3

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式. 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形,?DAB ? 60? ,AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

19. (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标越大表明质量越好, 且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生 产了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) 42 [98,102) 42 [102,106) 22 [102,106) 32 [106,110] 8 [106,110] 10

B 配方的频数分布表

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品

平均一件的利润.

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 , f ( 1处 ) )的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 .
(I)求 a,b 的值; (II)证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x . x ?1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做 答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D, E 分别为 ?ABC 的边 AB, AC 上的点, 且不与 ?ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是 关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根.
2

(I)证明:C,B,D,E 四点共圆;

(II)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6, 求 C,B,D,E 所在圆的半径.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ,M 为 C1 上 (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值. k=1,A=a1,B=a1 开始

输入 N, a1,a2,?,aN

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 第Ⅰ卷
一、选择题 1.已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( (A )A ? ?B B=? -3+i 2.复数 z= 的共轭复数是 ( 2+i B=x ) (B )B ? ?A (C)A=B ) ( D )A ∩ 是

x =ak k=k+1 x>A 否 是

A=x

x<B 否

(A)2+i (B )2-i (C)-1+i (D ) -1-i 3.在一组样本数据 (x1, y1) , (x2, y2) , ?, (xn, yn) (n≥2, x1,x2,?,xn

k≥N 是 输出 A, B



结束

1 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组 2 样本数据的样本相关系数为 ( (A)-1 (B)0 (C) 1 2 ) (D)1

x2 y2 3a 4.设 F1、F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F1PF2 是底 a b 2 角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 (A) 2 2 (B) 3 3 (C) 4 ) 4 (D) 5

5.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( ) (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3) 6.如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A,B,则( (A)A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 A+B (B) 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2 (C)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则 此几何体的体积为( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 8.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面α 的距离为 2,则此 球的体积为 ( ) (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π π 5π 9.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的 4 4 对称轴,则 φ=( π (A) 4 ) π (C) 2 3π (D) 4 π (B) 3



10.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, |AB|=4 3,则 C 的实轴长为( (A) 2 (B)2 2 ) (C)4 ) (D)( 2,2) (D)8

1 11.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 ( 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2

(C)(1, 2)

12.数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为( ) (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

第Ⅱ卷
二.填空题 13.曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ 14.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______ 15.已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= (x+1)2+sinx 16.设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=____ x2+1 三、解答题 17.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 3asinC-ccosA

18.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均 数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于 75 元的概率。 C1 19. 如 图 , 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 , 侧 棱 垂 直 底 面 , ∠ACB=90° , 1 AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。 A1

B1

D C A B

20.设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值。

21.设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清楚题号。
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的 外接圆于 F,G 两点,若 CF//AB,证明: (Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD

A

G

E D

F

B
23.本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程
?x=2cosφ ? 已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? ?y=3sinφ

C

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、 π D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) 3 (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+|PD|2 的取值范围。

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (2013 课标全国Ⅰ, 文 1)已知集合 A={1,2,3,4}, B={x|x=n2, n∈A}, 则 A∩B=( ). A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 2.(2013 课标全国Ⅰ,文 2)

1 ?1 ? i 2 A.

1 ? 2i =( ). ?1 ? i ?2 1 1 ?1+ i 1+ i 2 2 B. C.

1 1? i 2 D.

3.(2013 课标全国Ⅰ,文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对 值为 2 的概率是( ).

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 6

x2 y2 5 4.(2013 课标全国Ⅰ,文 4)已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 a b 2
C 的渐近线方程为(
).

D.y=±x x x 3 2 5.(2013 课标全国Ⅰ,文 5)已知命题 p:?x∈R,2 <3 ;命题 q:?x∈R,x =1-x ,则 下列命题中为真命题的是( ). ? A.p∧q B. p∧q C.p∧ ? q D . ? p∧ ? q 6.(2013 课标全国Ⅰ,文 6)设首项为 1,公比为

1 x A.y= 4 ?

1 ? x B.y= 3

1 x C.y= 2 ?

2 的等比数列{an}的前 n 项和为 3
D.Sn=3-

Sn,则(

). A.Sn=2an-1

B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3an

2an 7.(2013 课标全国Ⅰ,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则 输出的 s 属于( ). A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 8.(2013 课标全国Ⅰ,文 8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y = 4 2 x 的焦点,P
2

为 C 上一点,若|PF|= 4 2 ,则△POF 的面积为(

). ).

A.2 B. 2 2 C. 2 3 D.4 9. (2013 课标全国Ⅰ, 文 9)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π , π ]的图像大致为(

10. (2013 课标全国Ⅰ, 文 10)已知锐角△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos A +cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( ). A.10 B.9 C.8 D.5

2

11.(2013 课标全国Ⅰ,文 11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

).

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 12. (2013 课标全国Ⅰ, 文 12)已知函数 f(x)= ? 若 ?ln( x ? 1), x ? 0.
|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2013 课标全国Ⅰ,文 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b?c=0,则 t=______. 14.(2013 课标全国Ⅰ,文 14)设 x,y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? 3, 则 z=2x-y 的最大值 ? 1 ? x ? y ? 0, ?

为______. 15.(2013 课标全国Ⅰ,文 15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为______. 16.(2013 课标全国Ⅰ,文 16)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国Ⅰ,文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

18.(2013 课标全国Ⅰ,文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在

服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

19.(2013 课标全国Ⅰ,文 19)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

20.(2013 课标全国Ⅰ,文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e (ax+b)-x -4x,曲 线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

x

2

21.(2013 课标全国Ⅰ,文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) 2 +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求|AB|. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答. 注意: 只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

2

2

2

22.(2013 课标全国Ⅰ,文 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

23.(2013 课标全国Ⅰ,文 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程已知曲线

C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? 5 ? 5sin t

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

24.(2013 课标全国Ⅰ,文 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲已知函数 f(x)= |2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 答案:A 2 解析:∵B={x|x=n ,n∈A}={1,4,9,16}, ∴A∩B={1,4}. 2. 答案:B 解析:

1 1 ? 2i 1 ? 2i ?1 ? 2i ?i ?2 ? i = ?1+ i . ? ? ? 2 2 ?1 ? i ? ?2i 2 2

3. 答案:B 解析:由题意知总事件数为 6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满 足条件的事件数是 2,所以所求的概率为 4. 答案:C

1 . 3

c2 5 c 5 5 ,∴ ? ,即 2 ? . a 4 a 2 2 2 b 1 b 1 2 2 2 ∵c =a +b ,∴ 2 ? .∴ ? . a 2 a 4 b ∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? x , a 1 ∴渐近线方程为 y ? ? x .故选 C. 2
解析:∵ e ? 5. 答案:B 0 0 3 2 解析:由 2 =3 知,p 为假命题.令 h(x)=x -1+x , ∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0, 3 2 ∴x -1+x =0 在(0,1)内有解. 3 2 ∴?x∈R,x =1-x ,即命题 q 为真命题.由此可知只有 ? p∧q 为真命题.故选 B. 6. 答案:D

2 1 ? an a1 ?1 ? q n ? a1 ? an q 3 =3-2an,故选 D. 解析: Sn ? ? ? 2 1? q 1? q 1? 3
7. 答案:A 解析:当-1≤t<1 时,s=3t,则 s∈[-3,3). 2 当 1≤t≤3 时,s=4t-t . ∵该函数的对称轴为 t=2, ∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减. ∴smax=4,smin=3. ∴s∈[3,4].

综上知 s∈[-3,4].故选 A. 8. 答案:C 解析:利用|PF|= xP ? 2 ? 4 2 ,可得 xP= 3 2 . ∴yP= ?2 6 .∴S△POF= 故选 C. 9. 答案:C 解析:由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>0, 2

1 |OF|?|yP|= 2 3 . 2

? ?

π? ?

排除 A. 2 2 当 x∈(0,π )时,f′(x)=sin x+cos x(1-cos x)=-2cos x+cos x+1. 令 f′(x)=0,得 x ? 故极值点为 x ? 10. 答案:D 解析:由 23cos A+cos 2A=0,得 cos A= ∵A∈ ? 0,
2 2

2 π. 3

2 π ,可排除 D,故选 C. 3 1 . 25

1 π? ? ,∴cos A= 5 . 2? 13 36 ? b 2 ? 49 ∵cos A= ,∴b=5 或 b ? ? (舍). 5 2 ? 6b
故选 D. 11. 答案:A 解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.

? ?

V 半圆柱=

1 2 π ?2 ?4=8π , 2

V 长方体=4?2?2=16.
所以所求体积为 16+8π .故选 A. 12. 答案:D 解析:可画出|f(x)|的图象如图所示. 当 a>0 时,y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点,所以排除 B,C; 当 a≤0 时,若 x>0,则|f(x)|≥ax 恒成立. 2 若 x≤0,则以 y=ax 与 y=|-x +2x|相切为界限, 由?

? y ? ax, 2 得 x -(a+2)x=0. 2 y ? x ? 2 x , ?
2

∵Δ =(a+2) =0,∴a=-2. ∴a∈[-2,0].故选 D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:∵b?c=0,|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60°,∴a?b= 1? 1? ∴b?c=[ta+(1-t)b]?b=0, 2 即 ta?b+(1-t)b =0. ∴

1 1 ? . 2 2

1 t +1-t=0. 2

∴t=2. 14.答案:3 解析:画出可行域如图所示. 画出直线 2x-y=0,并平移,当直线经过点 A(3,3)时,z 取最大 值,且最大值为 z=2?3-3=3. 15.答案:

9 π 2

解析:如图, 设球 O 的半径为 R, 则 AH=

2R , 3

OH=

R . 3
2

又∵π ?EH =π ,∴EH=1.

9 ?R? 2 ∵在 Rt△OEH 中,R = ? ? +12 ,∴R = . 8 ?3? 9π 2 ∴S 球=4π R = . 2 2 5 16.答案: ? 5 解析:∵f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x-φ ),
2

2

2 5 5 ,cos φ = . 5 5 π 当 x-φ =2kπ + (k∈Z)时,f(x)取最大值. 2 π π 即 θ -φ =2kπ + (k∈Z),θ =2kπ + +φ (k∈Z). 2 2 2 5 ?π ? ∴cos θ = cos ? ? ? ? =-sin φ = ? . 5 ?2 ?
其中 sin φ = 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn= na1 ? 由已知可得 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, ?5a1 ? 10d ? 5,

解得 a1=1,d=-1. 故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 从而数列 ?

1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ?, a2 n?1a2 n?1 ?3 ? 2n ??1 ? 2n? 2 ? 2n ? 3 2n ? 1 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和为 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 ? ?1 1 1 3 2n ? 3 2 n ? 1 ? n = . 1 ? 2n
18. 解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y . 由观测结果可得

x=

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+ 20 1 (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+ 20

2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3,

y=

2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 验结果有 19.

7 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试 10

7 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10

(1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 .

又 A1C= 6 ,则 A1C =OC + OA12 ,
2 2

故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC?OA1=3. 20. x 解:(1)f′(x)=e (ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. x 2 (2)由(1)知,f(x)=4e (x+1)-x -4x,

f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)? ? e x ?

? ?

1? ?. 2?

令 f′(x)=0 得,x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. -2 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e ). 21. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆

x2 y2 ? =1 (x≠-2). (左顶点除外),其方程为 4 3
(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°, 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则 可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得

| QP | R ? , | QM | r1

| 3k |
2

1? k x2 y2 2 2 x ? 2 代入 ? =1 ,并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2= 当 k= 时,将 y ? 4 3 4 4 ?4 ? 6 2 , 7 18 所以|AB|= 1 ? k 2 |x2-x1|= . 7 18 2 当 k= ? 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4 18 综上,|AB|= 2 3 或|AB|= . 7
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答. 注意: 只能做所选定的题目.如果多做,

=1,解得 k= ?

2 . 4

则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线, 所以 BG=

3 . 2

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以 CF⊥BF, 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 23. 解:(1)将 ?
2

3 . 2

? x ? 4 ? 5cos t , 2 2 消去参数 t,化为普通方程(x-4) +(y-5) =25, ? y ? 5 ? 5sin t
2

即 C1:x +y -8x-10y+16=0. 将?

? x ? ? cos ? , 2 2 2 代入 x +y -8x-10y+16=0 得 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. ? y ? ? sin ?

所以 C1 的极坐标方程为 2 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 2 2 (2)C2 的普通方程为 x +y -2y=0. 由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0,
2 2

?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

24. 解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0.

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.

? a 1? , ? 都成立. ? 2 2? a 4 故 ? ≥a-2,即 a≤ . 2 3 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?
所以 x≥a-2 对 x∈ ? ?

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I)

文科数学
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合 M ? {x | ?1 ? x ? 3} , N ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则 M I N ? A. (?2,1) (2)若 tan ? ? 0 ,则 A. sin 2? ? 0 (3)设 z ? B. cos ? ? 0 C. sin ? ? 0 D. cos 2? ? 0 B. (?1,1) C. (1,3) D. (?2,3)

1 ? i ,则 | z |? 1? i
B.

A.

1 2

2 2

C.

3 2

D. 2

x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? (4)已知双曲线 2 ? a 3
A. 2 B.

6 2

C.

5 2

D. 1

(5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中 正确的是

A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数

B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

(6)设 D, E , F 分别为 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? A. AD B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

(7)在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos(2 x ? 最小正周期为 ? 的所有函数为 A.①②③ B. ①③④

?

) ,④ y ? tan(2 x ? ) 中, 6 4
D. ①③

?

C. ②④

8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一 个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

9.执行右面的程序框图,若输入的 a , b, k 分别为 1,2,3,则 输出的 M ? ( A. ) C.

20 3

B.

7 2

16 5
2

D.

15 8

10.已知抛物线 C: y ? x 的焦点为 F , A 上一点, A F ? A. 1

?x , y ?是 C
0 0

5 ,则 x0 ? ( 4 x0
C. 4 D. 8



B. 2

(11)设 x , y 满 足 约 束 条 件 ?

? x ? y ? a, 且 ? x ? y ? ?1,

z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ?
(A)-5 (C)-5 或 3
3 2

(B)3 (D)5 或-3

(12)已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯 一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 (A) ? 2, ?? ? (B) ?1, ?? ?

(B)(C) ? ??, ?2 ?

(D) ? ??, ?1?

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率 为________. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? (15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? ? x , x ? 1,
(16) 如图, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点 的 仰 角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表 得如下频数分布表:

质量指标值分组 频数

[75,85) 6

[85,95) 26

[95,105) 38

[105,115) 22

[115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低 于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?

19(本题满分12分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O , 且 AO ? 平 面 BB1C1C . (1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高.

20.(本小题满分 12 分) 已知点 P (2,2) , 圆C : x ? y ? 8y ? 0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, 线段 AB
2 2

的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积

21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 为0 (1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线斜率 2

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答 时请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 ? O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E , 且 CB ? CE . (I)证明: ?D ? ?E ; (II)设 AD 不是 ? O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB ? MC ,证明: ?ABC 为等 边三角形.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ( t 为参数) ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a 3 ? b 3 的最小值; (II)是否存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A ? B 中的元素个数为 (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2

??? ? ??? ? 2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ?
(A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C ) 2 ? i (D ) 2 ? i 4、如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从

1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
(A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8 x 的焦点重 2

合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 6、 《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问 ”积及为米几何?”其意思 为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆 底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位多 少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 的米有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛 7、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则

f ( x) 的单调递减区间为( )
1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 ( B ) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ?

( C )

9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 12

1 3 (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4

10、已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1



4 5 3 1 (B) ? (C) ? (D) ? 7 4 4 4 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? (A) ?

x?a 12 、 设 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 与 y ? 2 的 图 像 关 于 直 线 y ? ?x 对 称 , 且

f (?2) ? f (?4) ? 1 , 则 a ?( )
4

(A) ?1

1 (B)

(C)2

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? .

14. 已 知 函 数 f

? x? ?

a3x ? x ? 1 的 图 像 在 点 ?1, f ?1? ? 的 处 的 切 线 过 点 ? 2 , 7 ? ,则

a?

.

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16.已知 P 是双曲线 C : x ?
2



y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8


?

?

,当 ?APF

周长最小时,该三角形的面积为 三、解答题

17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 内 角 A, B, C 的 对 边 ,
2 sin B?

2 sA in

C s. i n

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.
?

BE ? 平面ABCD , 18.(本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 交点,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 ,求该三棱锥的侧面 3

积. 19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传 费 xi ,和年销售量 yi ?i ? 1,2,3,?,8? 的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计 量的值.

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由) ; (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下 列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少?(ii)当年宣传费 x 为何值 时,年利润的预报值最大?

20.(本小题满分 12 分) 已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1
2 2

交于 M,N 两点.(I)求 k 的取值范围; (II)OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e
2x

???? ? ????

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题

号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是圆 O 直径,AC 是圆 O 切线,BC 交圆 O 与点 E.

(I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是圆 O 切线; (II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2MN 4



面积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.


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