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2016年数学中考复习 二次函数的图形性质及应用

时间:2016-04-10


2016 年遵义中考数学复习第 10 课讲:二次函数的图形和性质及应用 姓名____________学号__________ 基础知识回顾

一、二次函数概念:
a?0) b, c 是常数, 1. 二次函数的概念: 一般地, 形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a, 的函数, 叫做二次函数。



c 可以为零.二次函数的定义域是全体实 里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b ,

数. 2. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. b, c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. ⑵ a,

二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式: y ? ax 2 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a 的符号
a?0

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质
x ? 0 时,y 随 x 的____而_____;x ? 0 时,y 随

x 的______而_____; x ? 0 时, y 最小值= 0 .
x ? 0 时,y 随 x 的_____而______;x ? 0 时,y

a?0

随 x 的____而______; x ? 0 时, y 最大值= 0 .

2. y ? ax2 ? c 的性质: 移动规律:上加下减。

a 的符号
a?0

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质
x ? 0 时,y 随 x 的____而_______;x ? 0 时,y

随 x 的______而____; x ? 0 时, y 最小值= c .
x ? 0 时, y 随 x 的_____而_____; x ? 0 时, y

a?0

随 x 的______而_____; x ? 0 时, y 最大值= c .
2

3. y ? a ? x ? h? 的性质: 移动规律:左加右减。

a 的符号
a?0

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质
x ? h 时, y 随 x 的____而____; x ? h 时, y 随

x 的____而_____; x ? h 时, y 最小值= 0 .
x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随

a?0

x 的增大而增大; x ? h 时, y 最大值= 0 .

4. y ? a ? x ? h ? ? k 的性质:
2

a 的符号
a?0

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质
x ? h 时, y 随 x 的增大而____; x ? h 时, y 随

x 的增大而_____; x ? h 时, y 最小值= k .
x ? h 时, y 随 x 的增大而____; x ? h 时, y 随

a?0

x 的增大而___; x ? h 时, y 最大值= k .

三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h ? ? k ,确定其顶点坐标 ? h , k? ;
2

⑵ 保持抛物线 y ? ax 2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h , k ? 处,具体平移方法如下:
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=ax2

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】 平移|k |个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” .

五、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的性质
1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x ? ? 当x?? 当x??

b ,顶点坐标为_______________________. 2a
当x??

b 时, y 随 x 的增大而_________; 2a b 时, y 最小值=_________________. 2a

b 时, y 随 x 的增大而________; 2a

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x ? ? 当x?? 当x??

b ,顶点坐标为__________________. 2a

b b 时, y 随 x 的增大而___________;当 x ? ? 时, y 随 x 的增大而__________; 2a 2a b 时, y 最大值_____________________. 2a

六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2. 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ; 3. 两根式(交点式) : y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只 有抛物线与 x 轴有交点,即 b 2 ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的 这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. (同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴) 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ; ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.

八、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数:
0? , B ? x2 , 0? ( x1 ? x2 ) ,其中的 x1 ,x2 是一元二次方 ① 当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴交于两点 A? x1 ,

程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根.. ② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 . 2. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ; 练习题:

一、选择题
1. 二次函数 y ? x ? 4x ? 7 的顶点坐标是(
2

) C.(2,11) ) D. y ? ?2 x ? 1
2

A.(2,-11)
2

B.(-2,7)

D. (2,-3)

2. 把抛物线 y ? ?2 x 向上平移 1 个单位,得到的抛物线是( A. y ? ?2( x ? 1)
2

B. y ? ?2( x ? 1)

2

C. y ? ?2 x ? 1
2

3.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;② 当 x ? 1 和 x ? 3 时,函数值相等;③ 4a ? b ? 0 ④当 y ? ?2 时, x 的值只能取 0.其中正 确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4

4. 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则点 (ac, bc) 在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



二、填空题
5.二次函数 y ? x 2 ? bx ? 3 的对称轴是 x ? 2 ,则 b ? _______。 6. 已知抛物线 y=-2 (x+3) ? +5, 如果 y 随 x 的增大而减小, 那么 x 的取值范围是_______. 7.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2) ,②当 x <0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大;满 足上述两条性质的函数的解析式是
2

(只写一个即可) 。

8.抛物线 y ? 2( x ? 2) ? 6 的顶点为 C,已知直线 y ? ?kx ? 3 过点 C,则这条直线与两坐标轴所围成的三 角形面积为 。

9. 二次函数 y ? 2 x2 ? 4 x ?1的图象是由 y ? 2 x2 ? bx ? c 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得 到的,则 b= 解答题 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算, 未售出的由厂家负责处理) .当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨.该建材店为提高经营利润,准备采取 降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降 10 元时,月销售量就会增加 7. 5 吨.综合考 虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元.设每吨材料售价为 x(元) ,该经销店 的月利润为 y(元) . (1)当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量; (2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围) ; (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? ,c= 。

2016 年遵义中考数学复习第 11 课:二次函数的图形和性质及应用 姓名____________学号__________ 《聚集遵义中考》

1.在下列二次函数中,其图像的对称轴为 x=-2 的是( A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2

)

D.y=2(x-2)2 )

2. 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)过(-2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴( A.只能是 x=-1 B.可能是 y 轴 D.在 y 轴左侧且在直线 x=-2 的右侧

C.在 y 轴右侧且在直线 x=2 的左侧

3. 如果将抛物线 y=x2+2x-1 向上平移,使它经过点 A(0,3),那么所得新抛物线的 表达式是________. 4.二次函数 y= 3x2 的图像如图,点 O 为坐标原点,点 A 在 y 轴的正半轴 上,点 B、C 在二次函数 y= 3x2 的图像上,四边形 OBAC 为菱形,且∠OBA =120°,则菱形 OBAC 的面积为________. 5.如图为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,则下列说法:①a>0;②2a+b=0; ③a+b+c>0;④当-1<x<3 时,y>0.其中正确的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

6. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论:①2a+b=0; ②a+c>b;③抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结 论是________.(填写序号) 5 5 7.如图,抛物线 y=ax2+bx+2与直线 AB 交于点 A(-1,0),B(4,2).点 D 是抛物线 A,B 两点间部分上的一个动点(不与点 A,B 重合),直线 CD 与 y 轴平行,交直线 AB 于点 C,连 接 AD,BD. (1)求抛物线的解析式;(2)设点 D 的横坐标为 m,△ADB 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数

关系式,并求出当 S 取最大值时的点 C 的坐标.

8.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-1,且抛物线经过 A(1,0), C(0,3)两点,与 x 轴交于点 B. (1)若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴 x=-1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最 小,求出点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=-1 上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐 标.


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