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条件概率与独立事件

时间:2012-12-25


新课引入 问题1:
100个产品中有93个产品的长度合格,90个产 品的重量合格,85个产品的长度、重量都合格。现 在任取一个产品,若已知它的重量合格,那么它的 长度合格的概率是多少?

分析:
B={产品的重量合格} {产品的长度合格} A=

100个产品中有93个产品的长度合格,90个产 品的重量合格,85个产品的长度、重量都合格。现 在任取一个产品,若已知它的重量合格,那么它的 长度合格的概率是多少? A∩B={产品的长度、重量都合格}

在集合中,“都”代表着“交”,则A、 B同时发生为A∩B。

85 若任取一个产品,已知A 、B同时发生的概率是 , 90 考虑:

这个概率与事件A、B的概率有什么关系么?? 由已知可得:
93 90 85 P( A) ? , P( B) ? , P( A ? B) ? 100 100 100

容易发现:

85 85 100 P( A ? B ) ? ? 90 90 P( B ) 100

概括
求B发生的条件下,A发生的概率,称为B发
生时A发生的条件概率,记为 P( A B)。
P( A ? B ) 当 P( B ) ? 0 时, ( A B ) ? ,其中, P P( B ) A ? B 可记为 AB 。

P( AB) 类似地 P( A ) ? 0 时, P( B A) ? 。 P( A )

A发生时B发生的概率

动手做一做
1. 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活 到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活

到25岁的概率。
2. 一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不 放回地每次任取1只,连取2次,求

(1) 第一次取得白球的概率;
(2) 第一、第二次都取得白球的概率; (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率。

概率 P( A B ) 与 P( AB )的区别与联系
联系: B 事件 A , 都发生了。 区别:
(1)在 P( A B ) 中,事件 A , 发生有时间上的差异, B

B 先 A 后;而在 P( AB ) 中,事件 A, 同时发生。 B
(2)样本空间不同,在 P( A B ) 中,事件 B 成为样本 空间;在 P( AB )中,样本空间为所有事件的总和。 因而有 P( A B ) ? P( AB )

问题2:
从一副扑克牌(去掉大小王)中随机抽取1张, 用A表示取出牌“Q”,用B表示取出的是红桃,是否 可以利用 P ( B ), P ( AB )来计算 P( A B ) ??

分析:

剩余的52张牌中,有13张红桃,则 13 1 P( B ) ? ? 52 4
52张牌中红桃Q只有1张,则 1 P( AB ) ? 52 由条件概率公式知,当取出牌是红桃时为Q的概率为:
P( AB) 1 P( A B ) ? ? P( B ) 13

我们知道52张牌中有4个Q ,所以:
4 1 P( A) ? ? 52 13

易看出此时:
P( A B) ? P( A)

说明事件B的发生 不影响A的发生

而此时有:
P( AB ) ? P( A) P( B )

概括总结
一般地,两个事件 A、 ,若有 B
P( AB ) ? P( A) P( B ) ,
或者说A的发 生与B的发生 互不影响。

则称 A、B相互独立。

思考:若 A 、B 相互独立,则 A 与 B, A与 B,

A 与B 是否也相互独立呢?? 可证:若 A 、B 相互独立,则 A 与 B, A与 B, A 与B 也相互独立。
你能举出生活中的一些独立生活的例子么??

判断:下列哪些事件相互独立。 ① 篮球比赛的“罚球两次”中,

事件A:第一次罚球,球进了;
事件B:第二次罚球,球进了。 ② 在三月份的月考较量中, 事件A:同学甲获得第一名; 事件B:同学乙获得第一名。

③ 袋中有三个红球,两个白球,采取不放回的取球,
事件A:第一次从中任取一个球是白球;

事件B:第二次从中任取一个球是白球。 ④ 甲坛子里有3个红球,2个黄球,乙坛子里也有3
个红球,2个黄球,从这两个坛子里分别摸出1个球, 事件A:从甲坛子里摸出1个球,得到黄球; 事件B:从乙坛子里摸出1个球,得到黄球。

例题分析
例1 调查发现,某班学生患近视的概率为0.4,现
随机抽取该班级的2名同学进行体检,求他们都近视 的概率。 分析: 设抽取出甲乙两位同学,A为甲近视,B为乙近 视,甲乙是否近视,是相互独立的,即A、B相互独

立,要求A、B同时发生的概率,直接利用公式即可。 解: 记A为甲同学近视,B为乙同学近视,则A、B相
互独立,且 P( A) ? P( B) ? 0.4 ,则
P( AB ) ? P( A) P( B ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.16

动手做一做 在一段线路中并联着3个自动控制的常开 开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就 能正常工作。 假定在某段时间内每个开关能

够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线
路正常工作的概率。

推广: 前面讨论了两个相互独立事件的概率公式, 若 A 、B 相互独立,则有

P( AB ) ? P( A) P( B )
事实上,对于多个独立事件,公式也是成立的。

对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , ? , A n , 则有

P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )

小结
* 条件概率: 当事件B发生时,事件A发生的概率: P( A ? B ) 当 P( B ) ? 0 时,P( A B ) ? 。 P( B ) * 独立事件的概率: 若A的发生与B的发生互不影响,称A、B相互 独立。A、B同时发生的概率: P( AB ) ? P( A) P( B )

对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , ? , A n , 则有 P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )

课后思考

思考讨论: 将一枚均匀硬币掷4次,有人认为:“第一次出现

正面,第二次出现反面,第三次出现正面,第四次出

现反面” 发生的概率比 “第四次出现正面” 的概率大,

你认为这种说法正确么??


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