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考点61 坐标系与参数方程

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第9部分 选考内容
第二十二章 坐标系与参数方程

坐标系与参 数方程

1.坐标系 (1)理解坐标系的作用. (2)了解在平面直角坐标 系伸缩变换作用下平面 图形的变化情况. (3)能在极坐标系中用极 坐标表示点的位置,理 解在极坐标系和平面直 角坐标系中表示点的位 置的区别,能进行极坐 标和直角坐标的互化.

解答题: 2017· 课标 Ⅰ,22 解答题: 2017· 课标 Ⅱ,22 解答题: 2017· 课标Ⅲ, 22

坐标系与参数 方程

(4)能在极坐标系中给出简单图形的 方程.通过比较这些图形在极坐标 系和平面直角坐标系中的方程,理 解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义. (5)了解柱坐标系、球坐标系中表示 空间中点的位置的方法,并与空间 直角坐标系中表示点的位置的方法 相比较,了解它们的区别. 2.参数方程 (1)了解参数方程,了解参数的意义. (2)能选择适当的参数写出直线、圆 和圆锥曲线的参数方程. (3)了解平摆线、渐开线的生成过 程,并能推导出它们的参数方程. (4)了解其他摆线的生成过程,了解 摆线在实际中的应用,了解摆线在 表示行星运动轨道中的作用.

解答题:2016· 课标Ⅰ,23 解答题:2016· 课标Ⅱ,23 解答题:2016· 课标Ⅲ,23

61 坐标系与参数方程

1.极坐标和直角坐标的互化公式 如图所示,设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是

(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化
公式如下表:

点M 互化公式

直角坐标(x,y)
? ?x=ρcos θ ? ? ?y=ρsin θ



极坐标(ρ,θ) 2+ y2 2 x ? ?ρ =①________, ? y ? ?tan θ =②x(x≠0)

2.简单曲线的极坐标方程

曲线
圆心在极点, 半径为r的圆

图形

极坐标方程
ρ =r (0≤θ <2π) ③_____ ρ =2rcos θ ④__________ ? π? ? π ? - ≤ θ < ? ? 2 2? ?

圆心为(r,0), 半径为r的圆

圆心为 ? π? ? ? ?r, ?,半 ? 2? 径为 r 的圆

ρ =2rsin θ(0≤θ <π) ⑤__________

过极点,倾斜 角为α 的直线

(1)θ =α (ρ ∈R)或θ =π+ α (ρ ∈R); (2)θ =α 和θ =π+α

过点(a,0)(a> 0),与极轴垂 直的直线

ρ cos θ =a ⑥_________ ? π? ? π ? - < θ < ? ? 2 2? ?

? π ? 过点?a, ? 2

? ? ? ?

(a>0),与极 轴平行的直线

⑦_________ ρ sin θ =a (0<θ <π)

3.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 将参数方程化为普通方程需消去参数.
(2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系, 例如, x=f(t), 把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
? ?x= f( t), ? 就是曲线的参数方程. ? ?y= g( t)

4.直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 普通方程 y-y0=tan α(x-x0) 参数方程
? ?x=x0+tcos α , ? ? ?y=y0+tsin α ⑧_______________

(t为参数) 圆 (x-x0)2+(y-y0)2=r2
? ?x=x0+rcos θ , ? ? ?y=y0+rsin θ ⑨______________

(θ为参数)

椭圆

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

? ?x= acos φ ? ? ?y= bsin φ

, (φ为参数)

双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

a ? ?x= , cos φ ? (φ为参数) ? ?y=btan φ
2 ? ?x= 2pt , ? ? ?y= 2pt

抛物线

y2=2px

(t为参数)

5.利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
? ?x=x0+tcos α ? ? ?y=y0+tsin α



(t 为参数).若 A,B 为直线 l 上两点,其对应的

参数分别为 t1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数为 t0, 则以下结论在解题中经常用到: ?t1+t2? t1+t2 ? (1)t0= 2 ;(2)|PM|=|t0|=? ? 2 ?;(3)|AB|=|t2-t1|; ? ? (4)|PA|· |PB|=|t1· t2|.

直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t

才有几何意义,其几何意义为|t|是直线上任一点M(x,y)
到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.

考向1

极坐标方程的应用
极坐标方程的综合应用是高考重点考查的内容之一,题

型为解答题,属中低档题,分值为10分,主要有以下几个命题

角度:求曲线的极坐标方程;在极坐标系下求点到直线的距
离;在极坐标系下求线段的长度.

例1 (2017· 课标Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原 点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标

方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|· |OP| =16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点
? π ? A 的极坐标为?2, ? 3 ? ? ?,点 ?

B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积

的最大值.

【解析】 (1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1, 4 θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= . cos θ

由|OM|· |OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α),ρB>0. 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积
? ? 1 π? ? ? ?? S= |OA|·ρ B·sin∠AOB= 4cos α·?sin?α- ? ? 2 ? ? 3 ?? ? ? ? π? 3? ? ? ? = 2?sin?2α- ?- ? ≤ 2+ 3. ? ? ? 3? 2 ? π 当 α=- 时,S 取得最大值 2+ 3. 12

所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3.

求解与极坐标有关的问题的主要方法

(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使
用; (2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的

是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.

变式训练

(2015· 课标Ⅰ,23,10分)在直角坐标系xOy中,直

线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1,C2的极坐标方程;
π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R), 设 C2 与 C3 的交点为 M, 4 N,求△C2MN 的面积.

解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,

所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

π (2)方法一:将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2 4 -3 2ρ+4=0, 解得 ρ1=2 2,ρ2= 2. 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2

π 方法二:将极坐标方程 θ= 化为直角坐标方程为 y=x. 4 |1-2| 2 圆心 C2(1,2)到直线 x-y=0 的距离 d= = , 2 2 ? 2 ?2 ∴|MN|=2 1-? ? = 2, ?2 ? 1 1 2 1 ∴S△C2MN= d·|MN|= × × 2= . 2 2 2 2

考向2

参数方程的应用 高考中极坐标方程、参数方程及它们之间的综合应用常

以解答题的形式呈现,难度相对较大.在复习中注意涉及参数 方程和极坐标方程的综合问题,求解的一般方法是分别化为普 通方程和直角坐标方程后求解.

例 2 (2017· 课标Ⅲ,22,10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参 ? ? ?x=-2+m, ?x=2+t, 数方程为? (t 为参数), 直线 l2 的参数方程为? m ? y= k ?y=kt ? ? (m 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3: ρ(cos θ +sin θ )- 2=0,M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径.

【解析】 (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2);消去参 1 数 m 得 l2 的普通方程 l2:y= (x+2). k ?y=k(x-2), ? 设 P(x,y),由题设得? 1 y= (x+2), ? ? k

消去k得x2-y2=4(y≠0), 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).

(2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ - sin2θ )= 4(0<θ< 2π, θ≠π ). 2 2 2 ? ?ρ ( cos θ- sin θ)= 4, 联立? 得 cos θ- sin θ= 2(cos θ ? ?ρ( cos θ+ sin θ)- 2= 0, + sin θ). 1 9 1 2 2 故 tan θ=- ,从而 cos θ= , sin θ= . 3 10 10 代入 ρ2(cos2θ- sin2θ)= 4 得 ρ2= 5, 所以交点 M 的极径为 5.

转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的考查中,最能体现坐标法的解题 优势,灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如, 将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐 标方程,然后在直角坐标系下对问题进行求解是一种常见的解 题方法,对应数学问题求解的“化生为熟”原则,充分体现了转 化与化归的数学思想.

变式训练

(2016· 课标Ⅲ, 23, 10 分 )在直角坐标系 xOy 中,曲线 α , (α 为参数).以坐标原点为极点,

? ?x= 3cos C1 的参数方程为? ? ?y= sin α

以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? π? ? ρ sin?θ + ? = 2 2. ? 4? ?

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角
坐标.

x2 2 解: (1)C1 的普通方程为 + y = 1, C2 的直角坐标方程为 x+ y- 4 3 = 0. (2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3cos α , sin α ).因为 C2 是直线,所以 |PQ|的最小值即为点 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值, ? ? ? | 3cos α + sin α- 4| π? ? ? ? ? d(α)= = 2?sin?α+ ?- 2?. ? ? 3? ? 2 π 当且仅当 α= 2kπ+ (k∈ Z)时, d(α)取得最小值,最小值为 2, 6 ?3 1? 此时 P 的直角坐标为? , ?. ?2 2?


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