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2019年-多元函数微分学的几何应用23388-PPT精选文档_图文

时间:2019-04-27

第七节 多元函数微分学的几何应用

一、空间曲线的切线与法平面

?x ? x(t)

设空间曲线的方程

? ?

y

?

y(t )

??z ? z(t)

(1)式中的三个函数均可导。

(1)
z
?M?

设 M ?(M x0(? x 0 ? ,x y ,0y ,z 00 ? )? 对 y ,,z0?? t应 z? )t0 ; 于 o ?M

y

对应 t?t0 于 ??t.

x

割线MM?的方程为

z

?M?

x?x0?y?y0?z?z0 ?x ?y ?z

?M

o

y

上式分母同除以?t x

x?x0?y?y0?z?z0, ?x ?y ?z

?t

?t

?t

当 M ?? M ,即 ? t? 0 时 ,

曲线在M处的切线方程
x?x0 ?y?y0 ?z?z0. x?(t0) y?(t0) z?(t0)
切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量。
?
??(x?(t0),y?(t0)z,?(t0))
法平面:过切点且与切线垂直的平面。 x ? ( t 0 ) x ? ( x 0 ) ? y ? ( t 0 ) y ? ( y 0 ) ? z ? ( t 0 ) z ? ( z 0 ) ? 0

特殊地:

1、空间曲线方程为

? ? ?

y z

? ?

y( x ) ,
z( x)

在 M (x0,y0,z0)处 ,切向 ? ??(1 量 ,y?(t0)z,?(t0))

切线方程为 x?x0 ?y?y0 ?z?z0; 1 y?(x0) z?(x0)
法平面方程为

( x ? x 0 ) ? y ? ( x 0 ) y ? ( y 0 ) ? z ? ( x 0 ) z ? ( z 0 ) ? 0 .

2、空间曲线方程为 ???GF((xx,,yy,,zz))??00,

? ??
i jk
?
在 M (x0,y0,z0)处 ,切 向 量? ? Fx Fy Fz

切线和法平面方程分别为
x?x0 ? y?y0 ? z?z0 , Fy Fz Fz Fx Fx Fy

Gx Gy Gz
( x0, y0,z0 )

Gy Gz0 Gz Gx0 Gx Gy0

G F y y G F z z0 (x ? x 0 )? G F z z G F x x0 (y ? y 0 )? G F x x G F y y0 (z? z 0 )? 0 .

? 例1、求曲线 ?: x?

t
eu cosudu, y ?2sint ?cost,

0

z ?1?e3t在t ?0处的切 线和法平.面 方

例2、求曲x线 ?t,y?t2,z?t3上的,使 点在该 点的切线平行 x?2于 y?平 z?4面 .

例3、求曲线 y2 ?4x,z2 ?2?x在点(1,2,1) 处的切线及法平.面方程
例4、求曲线 x? y?z ?0, x2 ? y2 ?z2 ?6在 点(1,?2,1)处的切线及法平面. 方程

二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为 ?:F(x,y,z)?0 在曲线上任取一条 通过M的曲线

? x ? x(t)

?:

? ?

y

?

y(t),

?? z ? z(t )

n?

? T

M

曲 线 在M处 的 切 向 量? ??(x?(t0),y?(t0),z?(t0)),

因? 为 恒? 在 上 ,所以

F ( x ,y ,z ) ? F ( x ( t)y ( , t)z ( t ,)? ) 0

对上式M 两 (t?t边 0)处在 求 ,有 导

F x(x0,y0,z0)x?(t0)?F y(x0,y0,z0)y?(t0)

?F z(x0,y0,z0)z?(t0)?0

(*)

?
记 n ? ( F x (x 0 ,y 0 ,z 0 )F , y (x 0 ,y 0 ,z 0 )F z ,(x 0 ,y 0 ,z 0 ))

??
(*式 ) 即??为 n?0.

由 于 曲 线 是 曲 面M的 上 任 过 意 一 条 曲 ,它线们 在
?
M处 的 切 线 都 与 同 一 n垂向直量 ,故 曲 面 上 通 过 M的 一 切 曲 线M 在的点切 线 都 在 同 一 平 ,这面 上 个 平 面 称 为 曲 面M的 在 切 点 平.面
切平面方程为
F x (x 0 ,y 0 ,z0 )x (? x 0 )? F y(x 0 ,y 0 ,z0 )y (? y 0 ) ? F z(x 0 ,y 0 ,z0 )z( ? z0 )? 0

通过M(x0, y0,z0)而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的. 法线
法线方程为 x? x 0 ? y?y 0 ? z? z0
F x(x 0,y 0,z0) F y(x 0,y 0,z0) F z(x 0,y 0,z0)
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。
曲面在M处的法向量为
?
n ? (F x (x 0 ,y 0 ,z 0 )F ,y (x 0 ,y 0 ,z 0 )F ,z(x 0 ,y 0 ,z 0 ))

特殊地:空间曲面方程为 z?f(x,y)

令 F ( x ,y ,z ) ? f ( x ,y ) ? z ,



?
n?(fx(x0,y0)f,y(x0,y0)? ,1)

曲面在M处的切平面方程为

f x ( x 0 , y 0 ) x ? x ( 0 ) ? f y ( x 0 , y 0 ) y ? ( y 0 ) ? z ? z 0 , 曲面在M处的法线方程为
x?x0 ? y?y0 ?z?z0. fx(x0,y0) fy(x0,y0) ?1

参数方程的情形:

?x ? x(u,v)

?

:

? ?

y

?

y(u,v)

?? z ? z(u, v )

法向量为

?

?

?

i jk

?

n ? xu yu zu

xv yv zv
(u0 ,v0 )

当法向量的方向,即 向与 上z轴正向所成 角为锐角,可 时得法向量的方向为余弦

co?s? ?fx ,
1?fx2?fy2

co?s? ?fy ,
1?fx2 ?fy2

co?s?

1

.

1? fx2 ? fy2

其中
fx?fx(x0,y0) fy?fy(x0,y0)

例5、求曲z?面 ez ?2xy?3在点 (1,2,0)处的 切平面及法 . 线方程
例6、 求曲z?面 x2?y2?1在点 (2,1,4)处的 切平面及法 . 线方程
例7、 求曲x面 2 ?2y2 ?3z2 ?21平行于平面 x?4y?6z?0的各切平面 . 方程

?x?sin?co?s

例8、 求曲????面 zy??csoin??ssin?在点 M(12,12,

2) 2

处的切平面及法. 线方程

例9、 证明 :曲面x? y? z? a上任何点处 切平面在各坐截 标距 轴之 上和 的.为常数

三、等量面与等高线
等量面:F(x,y,z)?C 函F 数 (x,y,z)过M 点 (x0,y0,z0)的等量面 : 方
F (x ,y ,z)? F (x 0 ,y 0 ,z0)
? F(M )表示 M 的 过 等量 M 点面 的在 法 .
等高线(等量线): F(x,y)?C
它 表 示z曲?F面 (x, y)与 平z面 ?C 的交线xo在 面 y 上的投影 . 曲线

如图,梯度为等高线上的法向 量并指向等高线的高值方向。
y f(x,y)?c2 gra(x d,yf)
P 梯度为等高线上的法向量

f(x,y)?c 等高线

f(x,y)?c1

o

x

等高线F(x, y) ? C上点(x, y)

处的梯度与斜率有何系关?

答案: ? F(x,y)?(Fx,Fy)

dy ? ? F x dx F y

作业 习题6-7:1(2)(4)、2(2)(3)(4)、 4、8

练习题

1.求过直L线???3xx??y2?yz??z0? 5且与曲面 2x2 ?2y2 ?2z ? 5相切之切平面.方程 8
?
2.设n是曲面2x2 ?3y2 ? z2 ? 6在点P(1,1,1)处的指向外侧的

法 向 量,求 函 数u ?

6x2

? 8y2

?
在 点P处 沿 方 向 n的 方 向 导.数

z

3.求曲面 z ? x 2 ? y 2平行于平面 2 x ? 2 y ? z ? 0 2
的切平面方程 .

4.设

直线

? ? ?

x x

? ?

y?b?0 ay ? z ? 3

?

在与曲面 z 0

?

x2

?

y2

相切于点 (1,?2,5)的平面上 , 求 a , b之值 .

2

2

2

2

5.试证 : 曲面 x 3 ? y 3 ? z 3 ? a 3 上任意一点处的

切平面在各坐标轴上截 距平方和等于常数 a2.


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