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南通中学2011-2012学年度第一学期期中考试高三数学(文科)试卷

时间:2011-11-24


学年度第一学期期 考试(文科) 学期期中 南通中学 2011-2012 学年度第一学期期中考试(文科) - 高三数学 高三数学 全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟 填空题: 小题; 一、填空题:本大题共 14 小题;每小题 5 分,共 70 分. r r r r 1.向量 a =(k,12), b =(4,5),若 a ⊥ b ,则 k= ▲ . 15 . 2.已知等比数列 {an } 的前三项依次为 a ? 1 , a + 1 , a + 4 ,则 .
2



. 条件.(填充分不必要、

【解析】. ( a + 1) = ( a ? 1)( a + 4) ? a = 5 解析】 3.“直线与平面 α 内的无数条直线垂直”,是“直线与平面 α 垂直”的 . 必要不充分、充要、既不充分也不必要) 答案:必要不充分



4.用长、宽分别是 3 π 和 π 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的底面半径是____. . 5.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a2 = 3 , a6 = 11 ,则 S7 等于__▲___. . 【解析】 S7 =

1 3 或 2 2

7(a1 + a7 ) 7(a2 + a6 ) 7(3 + 11) = = = 49. 故选 C. 2 2 2 ?a2 = a1 + d = 3 ?a = 1 7(a1 + a7 ) 7(1 + 13) 或由 ? ?? 1 , a7 = 1 + 6 × 2 = 13. 所以 S7 = = = 49. 2 2 ?a6 = a1 + 5d = 11 ?d = 2 6.设函数 f (x) 定义如下表,数列 {x n } 满足 x0 = 5 且 x n +1 = f ( x n )( n ∈ N ) ,则 x 2010 = ▲ . .
x
f (x)

1 4

2 1

3 3

4 5

5 2

【解析】经计算得, {x n } 是一个以 4 为周期的周期数列, x2010 = 1 解析】 7.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA . 垂直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB;②MO∥平面 PAC;③OC⊥平面 PAC;④平面 PAC⊥平面 PBC.其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号) 解析:因为 PA? 平面 MOB,不可能 PA∥平面 MOB,故①错误; 因为 M、O 分别为 PB,AB 的中点,所以 MO∥PA,得 MO∥面 PAC, 故②正确.又圆的直径可知 BC⊥AC,又 PA⊥平面 ABC,所以 BC⊥PA, 所以 BC⊥平面 PAC,在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直, 所以 OC 不可能与平面 PAC 垂直,故③错误;由③可知 BC⊥平面 PAC, 又 BC?平面 PBC,所以平面 PAC⊥平面 PBC,故④正确. 答案:②④ 8.在 ?ABC 中,已知 a , b, c 分 别 ∠A, ∠B , ∠C 所对的边, S 为 ?ABC 的面积,若向量 .

u r r u r p = (4, a 2 + b 2 ? c 2 ) , q = (1, S ) 满足 p / / q ,则 ∠C = ___▲____.

a 2 + b2 ? c 2 , 4 1 a 2 + b2 ? c 2 a 2 + b2 ? c2 π 所以 ab sin C = , sin C = = cos C , C = . 2 4 2ab 4
【解析】显然有 S = 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4,点 P、Q 在棱 CC1 上, . PQ=3,则三棱锥 Q-PBD 的体积是 ▲ . 答案:8 10.在 ?ABC 中,若 AB ⊥ AC , AC = b, BC = a ,则 ?ABC 的外接圆半径 r = .
a 2 + b2 ,将此结论拓 2 展 到 空 间 , 可 得 出 的 正 确 结 论 是 : 在 四 面 体 S ? ABC 中 , 若 SA、SB、SC 两 两 垂 直 ,
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SA = a, SB = b, SC = c ,则四面体 S ? ABC 的外接球半径 R =





答案:

uuu uuu uuur r r 11.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM = 2 ,则 OA ? (OB + OC ) 的最小值为 . ▲ . 答案: ?2 如图,设 AO = x ,则 OM = 2 ? x , uuu uuu uuur r r uuu uuuu r r 所 以 OA ? (OB + OC ) = OA ? 2OM = ?2 ? OA ? OM ?2 x(2 ? x) = 2 x 2 ? 4 x = 2( x ? 1) 2 ? 2 , 故 当 x = 1 时 , uuuu r uuu r uuu r A OM = mOA + nOB 取最小值-2. n O 12.已知 an = 2 (n ∈ N ? ) ,则数列 {an } 的最大项是 . n + 156 C B M 答案:第 12 项和第 13 项 13.设函数 f ( x) = x ? 2 x + x , A0 为坐标原点, An 为函数 y = f ( x) 图象上横坐标为 n( n ∈ N * ) 的点,向量 . n uuuuuur n an = ∑ Ak ?1 Ak , i = (1, 0) ,设 θ n 为 an 与 i 的夹角,则 ∑ tan θ k = ▲ .
uuuuu r uuuuu r 答案: 答案: an = A0 An = (n, n ? 2n + n) , θ n ,即为向量 A0 An 与 x 轴的夹角,所以 tan θ n = 2n + 1 ,
k =1 k =1

a 2 + b2 + c 2 2

所以 ∑ tan θ k = (2 + 22 + ... + 2n + n) = 2n +1 + n ? 2 .
k =1

n

14.数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列: . 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , L, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 5 若存在整数 k ,使 Sk < 10 , Sk +1 ≥ 10 ,则 ak = ▲ . 7 解答题: 小题; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 二、解答题:本大题共 6 小题;共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2π 15. ,|a|=2,|b|=3,记 m=3a-2b,n=2a+kb. 15.已知向量 a 与 b 的夹角为 3 (1) 若 m⊥n,求实数 k 的值. (2) 是否存在实数 k,使得 m∥n?若存在,求出实数 k;若不存在,请说明理由.. [解答] 1) 因为 m⊥n,所以 m·n=0. 解答] ( 又 a·b=|a|·|b|·cosθ=-3, 4 所以 m·n=(3a-2b) 2a+kb)=36-27k=0,得 k= . ( 3 (2) 假设存在实数 k,使得 m∥n,则设 m=λn,所以 3a-2b=λ(2a+kb)=2λa+kλb. 又因为 a,b 不共线,所以 2λ=3 且 kλ=-2,则 λ= 所以当 k=3 4 ,k=- . 2 3

4 时,m∥n. 3 16.如图所示,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DB = BC , DB ⊥ AC ,点 M 是棱 BB1 的中点. .

(1)求证: B1 D1 / / 面 A1 BD ; 5 分) ( (2)求证: MD ⊥ AC ; 5 分) ( (3)求证:平面 DMC1 平面 CC1 D1 D . (5 分) 17. a = (sin α , cos α ), b = (6 sin α + cos α ,7 sin α ? 2 cos α ) ,设函 . 数 f (α ) = a ? b .

D1 A1 B1

C1

r

r

r r

(1)求函数 f (α ) 的最大值; (2)在锐角三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 D
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M

C

A B

c , f ( A) = 6 , 且 ?ABC 的面积为 3 , b + c = 2 + 3 2 ,求 a 的值. r r 解析:(1) f (α ) = a ? b = sin α (6 sin α + cos α ) + cos α (7 sin α ? 2 cos α ) = 6 sin 2 α ? 2 cos 2 α + 8 sin α cos α = 4(1 ? cos 2α ) + 4 sin 2α ? 2
= 4 2 sin(2α ? ) + 2 4

π

∴ f (α )

max

=4 2+2

(2)由(1)可得 f ( A) = 4 2 sin(2 A ?

π 2 ) + 2 = 6 , sin(2 A ? ) = 4 4 2 π π π 3π π π π 因为 0 < A < ,所以 ? < 2 A ? < , 2A ? = , A = 2 4 4 4 4 4 4 1 2 Q S?ABC = bc sin A = bc = 3 ∴ bc = 6 2 ,又 b + c = 2 + 3 2 2 4 2 ∴ a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = (b + c) 2 ? 2bc ? 2bc × 2 2 = (2 + 3 2) 2 ? 12 2 ? 2 × 6 2 × = 10 ∴ a = 10 2
π

18.由市场调查得知:某公司生产的一种产品,如果不作广告宣传且每件获利 a 元,那么销售量为 b . 件;如果作广告宣传且每件售价不变,那么广告费用 n 千元比广告费用( n ? 1 )千元时的销售量多 .. .. 1 b × n 件( n ∈ N * ) . 2 (1)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (2)当 a = 10, = 4000 时公司应作几千元广告?在此条件下,销售量为多少件时,才能使去掉广告 b ..
费用后的获利最大? 解: (1)设不做广告宣传销售量为 S0 ,广告费用 n 千元时的销售量为 Sn , 1 依题意 Sn ? Sn ?1 = b × n , n ∈ N ……2′ 2 1 1 1 1 所以 Sn = b(1 + + 2 + L + n ) = b(2 ? n ) . ………6′ 2 2 2 2 1 1 (2) Sn = 4000(2 ? n ) ,设获利为 Tn 元,则有 Tn = 10 ? Sn ? 1000n = 40000(2 ? n ) ? 1000n ………8′ 2 2 1 1 20 20 20 Tn +1 ? Tn = 1000 × [40( n ? n +1 ) ? 1] = 1000 × ( n ? 1) ,当 n ? 1 > 0 时, n ≤ 4 ;当 n ? 1 < 0 时, n ≥ 5 ; 2 2 2 2 2 即数列 {Tn } 先增后减, T1 < T2 < T3 < T4 < T5 ; T5 > T6 > T7 > L ; ………12′ 所以 n = 5 时, Tn 最大,此时 Sn = 7875 . 即该厂家应做 5 千元的广告,销售量为 7875 件产品时,能使获利最大. ………14′ 1? x 19.已知函数 f ( x) = + ln x x (1)求 f ( x ) 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (2)求证: ln

?1 ?

? ?

n 1 > ,( n > 1, n ∈ N + ) n ?1 n

(3)求证:对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n >

1 1 1 1 + + + ??? + 2 3 4 n

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x ?1 ?1 ? ?1 ? ,所以当 x ∈ ? ,1? 时, f ′( x) < 0 ,所以 f ( x) 在 x ∈ ? ,1? 上单调递减, 2 x ?2 ? ?2 ? 当 x ∈ (1, 2] 时, f ′( x) > 0 ,故 f ( x) 在 x ∈ (1, 2] 上单调递增,

解析: (1) f ′( x) =

?1 ? 所以 f ( x) 在区间 ? , 2 ? 上有唯一极小值点,故 f min ( x) = f (1) = 0 ; ?2 ? 1 1 1 3 ln e3 ? ln16 又 f ( ) = 1 ? ln 2 , f (2) = ? + ln 2 , f ( ) ? f (2) = ? 2ln 2 = , 2 2 2 2 2 1 3 1 因为 e3 > 16 ,所以 f ( ) ? f (2) = ? 2 ln 2 > 0 ,即 f ( ) > f (2) , 2 2 2 ?1 ? 所以 f ( x) 在区间 ? , 2 ? 上有最大值是 1 ? ln 2 ,最小值是 0。 ?2 ?

(2 ) f ( x ) =

1? x x ?1 + ln x , f ′( x) = 2 ,故 f ( x) 在 [1, +∞ ) 上为增函数. x x n 当 n > 1 时,令 x = ,则 x > 1 ,故 f ( x ) > f (1) = 0 ……………………11 分 n ?1 n 1? ? n ? n ? 1 + ln n = ? 1 + ln n > 0 ,即 ln n > 1 …………12 分 ∴ f? ?= n n ?1 n n ?1 n ?1 n ? n ?1? n ?1 2 1 3 1 4 1 n 1 ∴ ln > , ln > , ln > , ???, ln > 1 2 2 3 3 4 n ?1 n 2 3 4 n 1 1 1 1 ∴ ln + ln + ln + ??? + ln > + + + ??? + ……………………13 分 1 2 3 n ?1 2 3 4 n 1 1 1 1 ∴ ln n > + + + ??? + 2 3 4 n 1 1 1 1 即对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n > + + + ??? + ……………………14 分 2 3 4 n

? 1 ? 2x + 3 ( x > 0 ) ,数列 {an } 满足 a1 = 1, an = f ? ? ( n ∈ N * , 且n ≥ 2 ) . 3x ? an ?1 ? ⑴求数列 {an } 的通项公式;

20.设函数 f ( x ) = .

⑵设 Tn = a1a2 ? a2 a3 + a3 a4 ? a4 a5 + ? ? ? + ( ?1) 围;

n ?1

an an +1 ,若 Tn ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立,求实数 t 的取值范

⑶是否存在以 a1 为首项,公比为 q ( 0 < q < 5, q ∈ N * ) 的数列 a n k , k ∈ N * ,使得数列 a n k 中每一项 由.

都是数列 {an } 中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列 {nk } 的通项公式;若不存在,说明理

{ }

{ }

? 1 ? 解析:⑴因为 an = f ? ?= ? an ?1 ?



1 +3 an ?1 2 2 = an ?1 + , ( n ∈ N * , 且n ≥ 2 ) ,所以 an ? an ?1 = . 1 3 3 3× an ?1 2 2n + 1 的等差数列.所以 an = . 3 3 2 m ?1 = a1a2 ? a2 a3 + a3 a4 ? a4 a5 + ? ? ? + ( ?1) a2 m a2 m +1

因为 a1 = 1 ,所以数列 {an } 是以 1 为首项,公差为 ⑵①当 n = 2m, m ∈ N * 时, Tn = T2 m = a2 ( a1 ? a3 ) + a4 ( a3 ? a5 ) + ? ? ? + a2 m ( a 2 m ?1 ?a2 m +1 )

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4 4 a +a 1 1 ( a2 + a4 + L + a2 m ) = ? × 2 2 m × m = ? (8m2 + 12m ) = ? ( 2n2 + 6n ) . 3 3 2 9 9 ②当 n = 2m ? 1, m ∈ N * 时, 1 1 2 m ?1 Tn = T2 m ?1 = T2 m ? ( ?1) a2 m a2 m +1 = ? (8m 2 + 12m ) + (16m 2 + 16m + 3) 9 9 1 1 = ( 8m 2 + 4 m + 3 ) = ( 2 n 2 + 6 n + 7 ) . 9 9 ? 1 2 ? ? 9 ( 2n + 6n ) , n为偶数, ? 所以 Tn = ? ? 1 ( 2n 2 + 6n + 7 ),n为奇数 ?9 ? 1 要使 Tn ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立,只要使 ? ( 2n 2 + 6n ) ≥ tn 2 ,( n为偶数)恒成立 . 9 1? 6? 5? ? 只要使 ? ? 2 + ? ≥ t , 对n为偶数恒成立 ,故实数 t 的取值范围为 ? ? ∞, ? . ? 9? n? 9? ? 2n + 1 ⑶由 an = ,知数列 {an } 中每一项都不可能是偶数. 3 =?

①如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 a n k , k ∈ N * ,

此时 a n k 中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以 a1 为首项,公比为偶数的数列 a n k . ②当 q = 1 时,显然不存在这样的数列 a n k .
k

{ }

{ }

{ }

{ }

当 q = 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列 a n k , k ∈ N * .
2nk + 1 3 ?1 , nk = . 3 2 3k ? 1 所以满足条件的数列 {nk } 的通项公式为 nk = . 2

{ }

则 an 1 = 1 , n1 = 1 , a n k = 3k ?1 =

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