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圆锥曲线组合型问题分类解析

时间:2015-09-27


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高 中数 学教 与学  

2 o o 2年  

回  一
湖北省 襄 樊市 第一 中学  王  勇 

 

纵观 近 年全 国各 省市 高 考数 学 模 拟试 题 , 椭圆、 双 曲线 、 抛 物 线  的有机 组 合 型综 合题 频 频 出现 , 常处 于“ 压 轴 题 ”的地 位 , 充 当“ 把 关  题”的重 要 角 色 . 这 类 综 合 题 涉 及 的知 识 点 多 , 有 关 对 象 关 系 较 复  杂, 极 富思 考 性 和挑 战 性 , 学 生 求 解起 来 颇感 困难 , 考 试 时 经 常弃 而  不答 , 令人 惋惜 ! 下 面笔 者从 近年 全 国各省 市高 考数 学模 拟 试题 中精  选 出 4道 典型 例题并 予 以分类 解 析 , 旨在揭 示题 型规 律 , 以利总结 解 
题方 法 .  




双 曲 线 和 抛 物 线 组 合 型 
/   、  

例l   如图 l , 设抛物线 Y   =2 P { z+_ I , Z) ( P>0 ) 的准线和焦 
点 分别 是双 曲线 的右 准线 和右 焦点 , 直线 Y= k : r 与 抛物 线 及双 曲线 

在第 一象 限分 别交 于点 A 、 B, 且 A为O B 的 中点 ( 0 为坐标 原 点 ) .  

( 1 ) 当 k= { 时 , 求双曲线渐近线 
的斜 率 ;  

, 。  

( 2 ) 在( 1 ) 的条 件下 , 若双 曲线 的一 
1  C 

D 

、 ̄ 

 

条渐近 线 在 Y轴 上 的截 距 为  , 求 抛 物 
线 和双 曲线 的方程 ;  

图 1  

( 3 ) 设抛 物线 的顶 点为 M , 抛物线 与 直线 Y= h 的另一 交点 为  C, 是否存 在 实数 k, 使得 AAC M 的面积 等 于直 线 MA 、 MC 的斜率  的乘 积 的绝 对值 ? 若存 在 , 求 出 k值 ; 若 不存 在 , 请说 明 理 由 .  
?

3 2  ?  

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第j j聊 

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解   ( 1 ) 将   = 詈   代 人   2 = 2 p (   十 号 ) , 解 得 点 A 的 坐 标   为 (   户 ) .  
.  

点 A 是 OB 的中点 , .   . 点 B 的坐标 为 ( 3 户, 4 p) .  

设点 B 到 准线 的距 离为 B H, 则 由双 曲线 的第 二定 义 , 得 双 曲线 

的  率 e =  
? . .

=  

= 丢 .  
3(   +f )
.   ?

双 曲 线 渐 近 线 的 斜 率 为± 詈= ± 号 .  
=  

( 2 ) 设双 曲线 中心 为 ( ~C , 0 ) , 则 双 曲线 的一 条渐 近线 方 程为 

令  = 0 , 得  =  3   f=   1 5
?







f = 5, 口 = 4, 6 = 3.  





所求 双 曲线方 程 为 

一  

=1 .  

叉 双 曲 线 的 右 准 线 为   = 一   , . ? . 一   + 5 = 譬=  ,   = 詈 .  
抛 物 线 方 程 为   2 = 訾 (   +  ) .   ( 3 ) 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 ( 一 号 , 0 ) . 设 直 线 与 抛 物 线 的 交 点 坐  
?





标 为 A(  l ,  1 ) 、 C(  2 , Y 2 ) .  
f Y = k x,  

由 联 立 方 程 组 1   z : 2 户 (   + 号 ) , 消 去   得  
一   一

户  = 0.  

? .

.  

l + 

2 = 

,  

2 一

 



 

意 毫  

一,  

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S△^  t 、一 S△Mc   + S△- Ⅵ ( x ’  

2 l } o 2 年 





9   .

粤 1  ’ . j   - ' I   _ ? - 、 ' .   2   号  





 

|  
2   k 2 ’  

由 题 意 , 知   √ 一 k 2   +   = 4 , R  ̄ ( 6 4 一 p 4 ) k   二 =  .  
? .



当6 4一p 4> 0 , 即 0< P< 2   时, 存在 满 足题设 条件 的实 
、 /6 4一 P  

数 走 :±酬 - = =  :   ; 当6 4一P  ≤ 0时 , k不存 在 .  
二、 双 曲线 和椭 圆组合型  例 2   没双 曲线 ( _ l :   一   =l ( “> 0 , b> 0 ) 的离 心率 为 ,  

右 准线  与两 条渐 近线 交于 P、 Q两点 , 右焦点 为 F, 且 AP QF为 等 

边三 角形 , 以 F为左 焦点 , ,为左 准线 的椭 圆 C 2的短 轴端 点 为 B.   ( 1 )若 双 曲线 Cl 被直线 , =“  +   截得 的弦 长 
曲线 Cl 的方程 ;  

试求 双 

( 2 ) 若双曲 线c l 过 点( 1 , 0 ) , 试 求离 心率为 ÷的 椭圆 c 2 的 方程;  
( 3 )若 双曲线 Cl 过点 ( 1 , 0 ) , 求 B F 中点 的轨迹 方 程 .  

解  ( 1 ) 由 双 曲 线 右 准 线  = 譬与 渐近 线   : 一 4 -   可 求 得 点  

j , ( 譬 .  ) 、 Q (  ̄ 2 c . 一 学 ) . 如 图 2 , 没 P Q 交 . r 轴 于 点 H , 则 } H F     i
:  


t a n , d  ̄ PFH = 一  .  

(  

I { ] 于 AP Q F为 等边 三角形 , . ’ .  P F H =3 【 l 。 ,  

I / j “ 。 从 而  : ~ 2 . 这 时 . C   的 方 程 为 主   一  
? 

1 .  

3 4  ?  

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第 J J 朝 

高中教 学教 与学  +   n相 交 


由 于 C1 与 直线  =  

一  

f  

于两点 (  1 ,   ) 、 ( . f 2 ,  2 ) , 则 口≠  .  

、 \.   尸  
、  

由   { n  。   3 a   一   消   去  , 得  
l Y: 口 j . +   n ,  
( 口 2— 3 )   -  +2   口   +6 a  = 0  

Q  
.  

图 2  

由 A= 1 2 口  一 2 4 a 2   a  一3 )> 0 , 得 “  < 6  
? . .

0< 口< 4 - 3或  < “< 4 - 6 .  

由弦长公 式 , 得 
b2 e 2




、 

口 




厂 


.  
. 

= 



^ √( 口 2 —3 ) 。   口  一3  
二 ( ! . ±  
j“  —3   l  

/ !   : 一丝
: :  

 



 

即 

1 3 口 4— 7 7 Ⅱ !+ 1 0 2 = 0.  

解得 a 2= 2或 t t 2:   5 1
.  

? .



c   的 方 程 为 雩 一 萼 = l _ 一  ̄ . 1 5 3 x l   2 一  ̄ l 3 5 3 3 , 2 = - 1 .  


( 2 ) 。 . 。 C1 过点 ( 1 , 0 ) , . 。  1 j= 1 口  
? .

= 1, 6   = 3, f   = 4.  



双曲 线C 1 的 方 程为   一 等 =1 .  
椭 圆 的离 心率一   一 :  1


? .



左 焦 点 F ( 2 , 0 ) , . ? . 左 准 线 为 . r = 吉  
‘   —  

设 P(  

)为椭 圆上 任意一 点 , 由椭 圆的第: : : 定 义得 ,   一   _ +Y  =  1   1     l

{ ’  
?

3 5  ?  

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2 ( ) ( ) 2军  

化 简 得 椭 圆 c z 的 方 程 为 (   一   5 )   + 4 了  ̄ 2 = 1 .  
( 3 )由题设 知椭 圆 C2 的左 焦点 为 r( 2, 0 ) , 左 准线 为 , :   :   ,   设 B( 2+c , ±b) , M(   ) , 其 中 b为 C 2的短半 轴 , f为半 焦距 则 


f  一  

!  ±  且 譬 f   = 2 一   2 :   2 , ’  
+  b

l 3  一 2 ’  
? . .

4   ! = 导 ( 2   一 4 ) (   > 2 ) , 即   2 =   3   ~2 ) .  
2=  1(   +1 )
. 

故B F 的 中 点 的 轨 迹 方 程 为 . y   : 丢 ( 一 , 一 2 ) (   r > 2 ) .  
三、 椭 圆和抛 物 线组合 型  例 3   已知抛 物线 Ct :  2=  1   和抛物 线 c
2:  

试问, 是 否存在 这样 的椭 圆  :  

+  2: 1 , 使得 [ ) c   与c   在 

第一 象 限 内有 两个 公共 点 A 和 B, 同 时线 段 AB 的 中点 M 又 在 ,   上? 若存在 , 求 出实 数 口的值 ; 若 不存在 , 请说 明理 由 .  

解  假设 存在  满 足题设 条件 .  

f   +   z : 1 ,   由 {   一   专   消 去   , 得  
,  


( 2 a— 1 )   +口  一2 = 0 .  

① 

依题 意 , 方 程 ① 应有 两个 不相 等 的正根 S t " I 和 ? 2 ,   f △ =[ 一( 2 口 一1 ) ]  一4 ( a  一2 )> 0 ,  
?
. .  

1+  2 = 2口 一 1 > 0,  

}  l ?  2 =a 2 —2>0 .  
解得
?

4 2< “< 9
.  

② 

3 6 ?  

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第J J朝  

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设 D 与 Cl 在 第 一 象 限 的 两个 公 共 点 为 A( 3 7 l , Y1 )和 1 3 (  2 ,  

. ) I 2 ) , 则A ( 2 y 2 , . ) I 1 ) 、 B ( 2 y 2 , L v 2 ) , M( . ) I { +   ; ,  
又M在 c 2 上 , . ? . 4 (  
化 简得  j ,   =   .  

) .  

)   : (  + . ) I ; ) + 1 ,  

由于  l , Y 2 满足 Y   =专  且. ) I l >0 ,   2 >0 ,  
Yl l Y2 : √ 一   Y Y 2     d c I . √一 X 一 2 2     : 一 一、 2 1   、 /  l  i,  ’ 2   即 列     1 - 2 " 2   : 1 . ’  
? . .

由①得 n  一2= I , . ? . 口 =±   .   由 ②、 ③ 可知  存 在 , 且 n的取 值 为  .  

③ 

四、 椭圆、 双 曲线 、 抛物 线组 合 型  例4   如图 3 , 以 Fl ( 一2   c q - 0, 0 ) 和 F2 ( 2   4 q - o, 0 ) 为焦 点 的椭 圆 

的 离 心 率   :   , 它 与 抛 物 线   2 = 鲁   交 于 A l 、 A 2 两 点 , 以 ( ) A l l 、  
OA2 为两 渐 近线 的双 曲线 上 的动 点 P(  , . ) I ) 到一定点 Q( 2, 0 )的距 

离 的最 小值 为 1 , 求 此双 曲线方 程 .   解  由条件 知 , 椭圆中 c l= 2   v / T- o, e=   C I=   , 则 

a  =3 4 3, b  =√a } 一c }=   .  
? . .

椭 圆 方 程 为 磊+   5 = 1 .  



‘  

A。  

解 方程 组

j 誉 +  1 . 得 A   、 A  
i   一 3   2 。 ’  

、 《 2 —/ -  
- - -

 ̄7  

两 点的坐标 分别 为 ( 3 . 2 ) 、 ( 3 ,一 2 ) .  

图 3  

所求 双 曲线 的渐近线 方 程 为 2   , ±3 y=0  
?  

3 7 ?  

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高中数学教 与学   又 Q( 2 , 0 )到 2   ±3 y = 0的距离 为 d = ~ —  
1 j  
’ . .

2 O o 2, 年   >1 ,  

双 曲线 的实轴 只能 在 ? 轴 上.  

设 所 求 双 曲 线 方 程 为 茅一   v - = l ( “ . 『 ) > 0 ) , 则n = { 6 ,  

础舫剜   裔~  
P Q  I= v / (   一2 )  +  

t  ?  

/ 1 3  2 r    4 - .+ 4 —
=  

6  

/ 1 3 ( x 一   +  J    一 1 6    

? ?

‘ P ( x ,   ) 在 双 曲 线 上   ? j 』 ’ { ≥“ = {   .  

( 1 ) 当 警<  , 即 6 <   1 2 时 , 由  : =   1 8 时  ,  J  = .  

√  一 6 : = l , 解 得 『 J 2 = 杀 < (   1 2 ) : . “ 2 =   9   6 2 = 豆 2 7 .  
? . .

所 求 双 曲 线 方 程 为 :   j L . -    ̄ 一 一 手= 1 .  

( 2 ) 当 警≥   1 8 , 即 6 ≥   1 2 时 , 由  =   时 , { f ) (    = 1 -  
『 )一 2  

l = l , 解 得 6 = 2 , 或 6 =  <   1 2 ( 舍 去 ) , “ = 3 .  
=1 .  

?





所求 双 曲线方 程 为 :   ~  

综 上 , 所 求 双 曲 线 方 程 为 : ~   ’ 一   3 ‘ 一 i 或 等一  = 1 .  
?

38  ?  


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