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简单几何体的表面积和体积

时间:2014-03-05


空间几何体的表面积和体积(导学案)
一、教学目标 1、通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台、球体的表面积和体积的求法。2、能运用公式求解,柱 体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。3、培养学生空间想象能力和思维 能力。4、通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响。从而增强 学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。难点:台体体积公式的推导 三、教学过程 1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

[典型例题] 例 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形 S – ABC,求它的表面积.

. 例 2. 已知五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别是 8 cm 和 18 cm,侧面是全等的等腰梯形,侧

棱长是 13 cm,求它的侧面积.

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底
例 3.如图,E、F 分别为正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,沿图中虚线将边长为 2 的正方形折起来,围成

ch 各侧面积之和

S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3
1 h(S 上底+S 下底 3

一个三棱锥,求此三棱锥的体积.

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

练 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) 1+2π 1+4π 1+2π 1+4π A. B. C. D. 2π 4π π 2π 练 2。如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截面△BC1D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为________.

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
体积

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

练 3. 圆台上底的面积为 16π cm ,下底半径为 6 cm,母线长为 10 圆台的侧面积和体积各是多少?

2

cm , 那 么 ,

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半 径,R 表示半径
1

例 3、 粉碎机的下料是正四棱台形如图, 它的两底面边长分别是 80mm 和 440mm,高是 200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少?

空间几何体的表面积和体积(二)
例 4、一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中 教学目标 (1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式). (2)了解几何体体积的含义,以及柱体、锥体与台体的体积公式 (3)能运用公式求解柱体、锥体和台体球体的全面积和体积。 教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。难点:台体体积公式的应用 三、教学过程 .例 1、下图是一个几何体的三视图(单位:cm),画出它的直观图,并求出它的表面积和体积. 练习与作业 1、有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积和体积分别为( ) 放着一个底面直径为 6cm,高为 20cm 的一个圆锥形铅锤,当铅锤从中取出后,杯里的水将下降几厘米? ( ? =3.14)

A.24π cm2,12π cm3 C.24π cm2,36π cm3

B.15π cm2,12π cm3 D.以上都不正确 相

例 2 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为 S,求其内接正四棱柱的体积.

2、 圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径 同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是______cm.

3、 如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥 形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计 ),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎 样设计最省材料?

2

10.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图 是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是________.

空间几何体的表面积和体积
一、选择题 1.圆柱的侧面展开图是一个边长为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱的全面积为( ) A.6π(4π+3) B.8π(3π+1) C.6π(4π+3)或 8π(3π+1) D.6π(4π+1)或 8π(3π+2) 1 2.正棱锥的高缩小为原来的 ,底面外接圆半径扩大为原来的 3 倍,则它的体积是原来体积的( ) 2 3 9 3 9 A. B. C. D. 2 2 4 4 3.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为( ) 8π 8 2π 32π A. B. C.8 2π D. 3 3 3 4.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) 11.已知球 O 的表面上四点 A、B、C、D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC, DA=AB=BC= 3,则球 O 的体积等于________. 12. 如图所示是一个几何体的三视图,根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得 该几何体的表面积为________cm2. 三、解答题 13 .如图所示,以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆 锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形,求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之 比.

14 如图,如图所示的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观 图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积。 A.18π B.30π C.33π D.40π 5.(2011· 福州质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(

)

28 16 4 A. π B. π C. π+8 D.12π 3 3 3 6.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为( a3 a3 3 2 A. B. C. a3 D. a3 6 12 12 12 7.圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是( ) 2 3 A. π 3 B.2 3π 7 3 C. π 6 7 3 D. π 3

) 6π 15.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 5、圆心角为 的扇形,在这个圆锥中内接一个高为 x 的圆 5 柱.(1)求圆锥的体积.(2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大?

32 8.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 π,那么这个三棱柱的 3 体积是( ) B.16 3 C.24 3 D.48 3

16.如图所示,从三棱锥 P-ABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA、PB、PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3,且 P2P1=P2P3. (1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:PA⊥BC. (2)若 P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥 P-ABC 的体积.

A.96 3

二、填空题 9.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,O 为底面正方形 ABCD 的中心, 则三棱锥 B1-BCO 的体积为________.
3


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