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最新人教A版必修五高中数学2.5 等比数列的前n项和(二) 导学案及答案

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§2.5 课时目标 等比数列的前 n 项和(二) 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题. 2.能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题. 1. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 当公比 q≠1 时, Sn= 当 q=1 时,Sn=na1. 2.等比数列前 n 项和的性质: a1 -qn 1-q = a1-anq ; 1-q (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成等比数列.(注意:q≠ -1 或 m 为奇数) (2)Sm+n=Sm+qmSn(q 为数列{an}的公比). (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 S偶 =q. S奇 3.解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题,关键是在实际问题中建立等 比数列模型. 一、选择题 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3 +a4+a5 等于( ) A.33B.72C.84D.189 答案 解析 C 由 S3=a1(1+q+q2)=21 且 a1=3,得 q+q2-6=0.∵q>0,∴q=2. ∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84. 2.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内,该厂的总产值为( ) D.11a(1.15-1) A.1.14a B.1.15aC.10a(1.15-1) 答案 解析 D 注意去年产值为 a,今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1). 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则 1 数列{ }的前 5 项和为( an ) A. 15 31 31 15 或 5B. 或 5C. D. 8 16 16 8 C 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1, 答案 解析 则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. 由 9S3=S6 得 9× 解得 q=2. 故 an=a1qn-1=2n-1, 1 n-1 =( ) . an 2 1 1 所以数列{ }是以 1 为首项, 为公比的等比数列,其前 5 项和为 an 2 1×[1- 1 2 1 2 5 a1 -q3 1-q = a1 -q6 1-q , 1 ] = S5= 1- 31 . 16 4.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半 再落下,则第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( A.300 米 B.299 米 C.199 米 D.166 米 答案 解析 A ?1? 小球 10 次着地共经过的路程为 100 + 100 + 50 +…+100× ? ? 8 = ?2? ) 39 299 ≈300(米). 64 5.在等比数列中,S30=13S10,S10+S30=140,则 S20 等于( A.90B.70C.40D.30 答案 解析 C ) q≠1 (否则 S30=3S10), ?S10=10 ,∴? ?S30=130 =10 ,∴q20+q10-12=0. =130 , ?S30=13S10 由? ?S10+S30=140 a ? ? ∴? a ? ? 10 1 -q10 1-q -q 1-q 30 1 ∴q =3,∴S20= a1 -q20 1-q =S10(1+q10) =10×(1+3)=40. 6.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ,从今年年末开始每年偿还 一定金额,预计五年内还清,则每年应偿还( A. C. ) a aγ +γ +γ 5 -1 万元 B. aγ +γ 5 万元 +γ 5-1 +γ 5 万元 D. +γ 4-1 B aγ +γ 5 万元 答案 解析 设每年偿还 x 万元,则:x+x(1+γ)+x(1+γ)2+x(1+γ)3+x(1 +γ)4=a(1+γ)5, ∴x= aγ +γ 5 . +γ 5-1 二、填空题 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公 比为________. 答案 解析 1 3 由已知 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3). ∴a2=3a3, a3 1 ∴{an}的公比 q= = . a2 3 8.在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12= _________________________________________________________________ _______. 答案 解析 63 方法一 1 ∵S8≠2S4,∴q≠1, -q4 1-q -q8 1-q =48 =60② ① a ? ? 由已知得? a ? ? 由②÷①得 1 5 1 1+q4= ,∴q4= 4 4 将③代入①得 ∴S12= ③ =64, 1 =64(1- 3)=63. 4 a1 1-q a1 -q12 1-q 方法二 因为{an}为等比数列, 所以 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, 所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n), S2n-Sn 所以 S3n= Sn S8-S4 所以 S12= S4 2 2 +S2n, +S8= - 48 2 +60=63. 9.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 2 个伙伴;第 2 天,3 只蜜蜂飞出去,各自找回了 2 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第 6 天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有________只蜜蜂. 答案 解析 729 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数

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