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高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系

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第3讲 一、选择题 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.(2015· 湖北卷)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线;q:l1, l2 不相交,则( ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析 直线 l1,l2 是异面直线,一定有 l1 与 l2 不相交,因此 p 是 q 的充分条件; 若 l1 与 l2 不相交,那么 l1 与 l2 可能平行,也可能是异面直线,所以 p 不是 q 的必要条件.故选 A. 答案 A 2.(2017· 郑州联考)已知直线 a 和平面 α,β,α∩β=l,a?α ,a?β ,且 a 在 α, β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 C.平行或异面 解析 答案 B.相交或异面 D.相交、平行或异面 ) 依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面,选 D. D 3.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公 共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定 1 个或 3 个平面.其中 正确的序号是( A.① 解析 ) B.①④ 显然命题①正确. C.②③ D.③④ 由于三棱柱的三条平行棱不共面,②错. 命题③中,两个平面重合或相交,③错. 三条直线两两相交,可确定 1 个或 3 个平面,则命题④正确. 答案 B 4.(2017· 济南模拟)a,b,c 是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是 ( ) A.若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面 B.若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交 C.若 a∥b,则 a,b 与 c 所成的角相等 D.若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c 解析 若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 相交、平行或异面;若 a,b 相 交,b,c 相交,则 a,c 相交、平行或异面;若 a⊥b,b⊥c,则 a,c 相交、 平行或异面;由异面直线所成的角的定义知 C 正确.故选 C. 答案 C 5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中点,那么异面 直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( 4 A.5 解析 3 B.5 连接 DF,则 AE∥DF, ) 2 C.3 5 D.7 ∴∠D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体棱长为 a, 5 5 则 D1D=a,DF= 2 a,D1F= 2 a, ? 5 ?2 ? 5 ?2 ? a? +? a? -a2 ?2 ? ?2 ? 3 ∴cos∠D1FD= =5. 5 5 2·2 a·2 a 答案 B 二、填空题 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1, C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 MN 与 AC 所成的角为 60° . 其中正确的结论为________(填序号). 解析 A,M,C1 三点共面,且在平面 AD1C1B 中,但 C?平面 AD1C1B,C1?AM, 因此直线 AM 与 CC1 是异面直线,同理 AM 与 BN 也是异面直线,①②错;M, B,B1 三点共面,且在平面 MBB1 中,但 N?平面 MBB1,B?MB1,因此直线 BN 与 MB1 是异面直线,③正确;连接 D1C,因为 D1C∥MN,所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角,且角为 60° . 答案 ③④ 7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直 线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. 解析 取 CD 的中点 H,连接 EH,FH.在正四面体 CDEF 中,由于 CD⊥EH, CD⊥HF,且 EH∩FH=H,所以 CD⊥平面 EFH,所以 AB⊥平面 EFH,则平 面 EFH 与正方体的左右两侧面平行, 则 EF 也与之平行, 与其余四个平面相交. 答案 4 8.(2014· 全国Ⅱ卷改编)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90° ,M,N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为________. 解析 如图所示,取 BC 中点 D,连接 MN,ND,AD. ∵M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点, 1 1 ∴MN 綉2B1C1.又 BD 綉2B1C1, ∴MN 綉 BD,则四边形 BDNM 为平行四边形,因此 ND∥BM, ∴∠AND 为异面直线 BM 与 AN 所成的角(或其补角). 设 BC=2,则 BM=ND= 6,AN= 5,AD= 5, 在△ADN 中,由余弦定理得 ND2+AN2-AD2 30 cos∠AND= = 2ND· AN 10 . 30 故异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 10 . 答案 30 10 三、解答题 9.如图所示, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N 分别是 A1B1, B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 解 (1)AM, CN 不是异面直线.理由: 连接 MN, A1C1, AC. 因为 M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点,所以 MN∥A1C1. 又因为 A1A 綉 C1C,所以四边形 A1ACC1 为平行四边形, 所以 A1C1∥AC,所以 MN∥AC,所以 A,M,N,C 在同一平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线.

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