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2015-2016学年上海中学高二(上)期中数学试卷

时间:2016-10-23


2015-2016 学年上海中学高二(上)期中数学试卷
一.填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1. (3 分)在平面直角坐标系中,经过原点和点 的直线的倾斜角 α= . . .

2. (3 分)设 =(1,2) , =(1,1) , = +k .若 ⊥ ,则实数 k 的值等于 3. (3 分)直线(m+3)x+my﹣2=0 与直线 mx﹣6y+5=0 互相垂直,则实数 m=

4. (3 分)三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 10,则 k=



5. (3 分)直线 l 的一个方向向量 用反三角函数值表示) 6. (3 分)增广矩阵

,则 l 与直线 x﹣y+2=0 的夹角为

. (结果

的二元一次方程组的实数解为

,则 m+n=

. .

7. (3 分) 过三点 A (1, 3) , B (4, 2) , C (1, ﹣7) 的圆交 y 轴于 M、 N 两点, 则|MN|= 8. (3 分)规定矩阵 A =A?A?A,若矩阵
3

,则 x 的值是



9. (3 分) 手表的表面在一平面上, 整点 1, 2, …, 12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 的圆周上,从整点 i 到整点(i+1)的向量记作 = ,则 .

10. (3 分)设关于 x、y 的不等式组

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0) ,

满足 x0﹣2y0=2,求得 m 的取值范围是



11. (3 分)平面向量 , , 满足| |=1, ? =1, ? =2,| ﹣ |=2,则 ? 的最小值 为 . 12. (3 分)在如图所示的平面中,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上的一点,AB=BC=2,过 动点 P 作半圆的切线 PQ,若 PC= PQ,则△PAC 的面积的最大值为 .

二.选择题(本大题共 4 题,每题 4 分,共 16 分)
第 1 页(共 16 页)

13. (4 分)关于 x、y 的二元一次方程组

的系数行列式 D=0 是该方程组有

解的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分且必要条件 D.既非充分也非必要条件 14. (4 分)如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列 命题中正确的是( ) A.曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线 B.方程 f(x,y)=0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上 C.不满足方程 f(x,y)=0 的点(x,y)不在曲线 C 上 D.方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 15. (4 分)若对任意的实数 x,都有 acosx﹣bsinx=1,则( ) A. ≥1 B. ≤1 C.a +b ≥1 D.a +b ≤1 的值,下列
2 2 2 2

16. (4 分)△ABC 中,AB=5,AC=7,△ABC 的外接圆圆心为 O,对于 选项正确的是( ) A.12 B.10 C.8

D.不是定值

三.解答题(本大题共 5 题,共 8+8+10+10+12=48 分) 17. (8 分)已知点 A(1,2) 、B(5,﹣1) ,且 A,B 两点到直线 l 的距离都为 2,求直线 l 的方程. 18. (8 分) 已知| |= , | |=1, 与 的夹角为 45°, 求使向量 与

的夹角是锐角的实数 λ 的取值范围.

19. (10 分)已知 x,y 满足条件:

,求:

(1)4x﹣3y 的最小值; (2) 的取值范围.

20. (10 分)在平面直角坐标系中,设点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,称 d(P1,P2)=max{|x1 ﹣x2|, |y1﹣y2|} (其中 max{a, b}表示 a、 b 中的较大数) 为 P1、 P2 两点的“切比雪夫距离”; (1)若 P(3,1) 、Q 为直线 y=2x﹣1 上的动点,求 P,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值; (2)定点 C(x0,y0) ,动点 P(x,y)满足 d(C,P)=r(r>0) ,请求出 P 点所在的曲线 所围成图形的面积. 21. (12 分)定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比 λ; 2 2 (1)设圆 C0:x +y =1,求过 P(2,0)的直线关于圆 C0 的距离比 λ= 的直线方程; (2)若圆 C 与 y 轴相切于点 A(0,3) ,且直线 y=x 关于圆 C 的距离比 λ= ,求此圆 C 的方程;

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(3) 是否存在点 P, 使过 P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆 C1: (x+1) +y =1 2 2 与 C2: (x﹣3) +(y﹣3) =4 的距离比始终相等?若存在,求出相应的 P 点坐标;若不存 在,请说明理由.

2

2

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2015-2016 学年上海中学高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1. (3 分) (2015 秋?上海校级期中)在平面直角坐标系中,经过原点和点 线的倾斜角 α= .
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的直

【考点】直线的倾斜角.

【分析】设此直线的倾斜角为 α,则 k=tanα= 【解答】解:设此直线的倾斜角为 α,则 k=tanα= ∵α∈[0,π) , ∴α= , .

=﹣

,即可得出. =﹣ ,

故答案为:

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系及其计算公式,属于基础题.

2. (3 分) (2016?洛阳四模)设 =(1,2) , =(1,1) , = +k .若 ⊥ ,则实数 k 的 值等于 ﹣ .
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【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【分析】由题意可得 的坐标,由 ⊥ 可得 ? =0,解关于 k 的方程可得. 【解答】解:∵ =(1,2) , =(1,1) , ∴ = +k =(1,2)+(k,k)=(1+k,2+k) , ∵ ⊥ ,∴ ? =1+k+2+k=0, 解得 k=﹣ , 故答案为:﹣ . 【点评】本题考查平面向量的数量积和垂直关系,属基础题. 3. (3 分) (2015 秋?上海校级期中) 直线 (m+3) x+my﹣2=0 与直线 mx﹣6y+5=0 互相垂直, 则实数 m= 0 或 3 . 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】由直线垂直可得 m(m+3)﹣6m=0,解方程可得 m 值. 【解答】解:∵直线(m+3)x+my﹣2=0 与直线 mx﹣6y+5=0 互相垂直,
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∴m(m+3)﹣6m=0,解得 m=0 或 m=3, 故答案为:0 或 3. 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.

4. (3 分) (2015 秋?上海校级期中)三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子

式为 10,则 k= 6 . 【考点】三阶矩阵. 【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算,即可得到本题结论.
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【解答】解:∵三阶行列式

第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 10,

∴﹣

=10,

∴﹣[2×(﹣2)﹣k]=10, ∴k=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查了行列式的代数余子式,本题难度不大,属于基础题.

5. (3 分) (2015 秋?上海校级期中) 直线 l 的一个方向向量 的夹角为 arccos . (结果用反三角函数值表示)
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, 则 l 与直线 x﹣y+2=0

【考点】直线的方向向量.

【分析】 先求出直线 x﹣y+2=0 的方向向量是 (1, 1) , 又直线 l 的一个方向向量



从而能求出直线 l 与 x﹣y+2=0 的夹角的余弦值, 由此能求出直线 l 与 x﹣y+2=0 的夹角大小. 【解答】 解: ∵直线 x﹣y+2=0 的方向向量是 (1, 1) , 又直线 l 的一个方向向量 ∴直线 l 与 x﹣y+2=0 的夹角的余弦值是 ∴直线 l 与 x﹣y+2=0 的夹角大小为 arccos 故答案为:arccos . = . , ,

【点评】本题考查两直线夹角大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的方向 向量的概念的合理运用.

6. (3 分) (2015 秋?上海校级期中) 增广矩阵 则 m+n= ﹣4 .
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的二元一次方程组的实数解为



【考点】不定方程和方程组. 【分析】由已知得到 【解答】解:∵增广矩阵 ∴ ,

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,由此能求出 m+n 的值. 的二元一次方程组的实数解为 ,

解得 m=﹣2,n=﹣2, ∴m+n=﹣4. 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查代数式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意增广矩阵解方程 组的性质的合理运用. 7. (3 分) (2016?葫芦岛一模)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,﹣7)的圆交 y 轴于 M、N 两点,则|MN|= 【考点】圆的一般方程. 4
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2

【分析】设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,代入点的坐标,求出 D,E,F,令 x=0,即可得 出结论.
2 2

2

【解答】解:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则



∴D=﹣2,E=4,F=﹣20, ∴x +y ﹣2x+4y﹣20=0, 2 令 x=0,可得 y +4y﹣20=0, ∴y=﹣2±2 , ∴|MN|=4 . 故答案为:4 . 【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,确定圆的方程是关键.
2 2

8. (3 分) (2008?上海一模)规定矩阵 A =A?A?A,若矩阵 .

3

,则 x 的值是

【考点】二阶行列式的定义. 【分析】按照规定的矩阵运算,进行化简,利用矩阵相等的概念,列出关于 x 的方程,并解 出 x 即可.
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【解答】解:

=

=

,∴3x=1,

x=
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故答案为: 【点评】本题考查矩阵的运算,方程思想,属于基础题. 9. (3 分) (2012?怀柔区二模)手表的表面在一平面上,整点 1,2,…,12 这 12 个数字等 间隔地分布在半径为 的圆周上,从整点 i 到整点(i+1)的向量记作 =
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,则



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】把圆分成 12 份,每一份所对应的圆心角是 30 度,用余弦定理计算出每个向量的模 的平方都是 ,而所求向量的夹角都是 30 度,求出其中一个数量积,乘以 12 个即得

可到结果. 【解答】解:∵整点把圆分成 12 份,∴每一份所对应的圆心角是 30 度, 连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为 ∴每对向量的数量积为 ∴最后结果为 12× =6 cos30°= ﹣9, ,每对向量的夹角为 30°, ,

故答案为:6 ﹣9. 【点评】本题是向量数量积的运算,条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角,只 是题目所要的向量要应用圆的性质来运算,把向量的数量积同解析几何问题结合在一起.

10. (3 分) (2016?衡水模拟)设关于 x、y 的不等式组

表示的平面区域内存

在点 P(x0,y0) ,满足 x0﹣2y0=2,求得 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣ ) . 【考点】简单线性规划. 【分析】由题意作出其平面区域,则由图可知,点(﹣m,m)在直线 x=2y+2 的下方,故 ﹣m﹣2m>2,从而解得. 【解答】解:由题意作出其平面区域,
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则由图可知,点(﹣m,m)在直线 x=2y+2 的下方, 故﹣m﹣2m>2, 解得,m<﹣ ; 故答案为: (﹣∞,﹣ ) . 【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

11. (3 分) (2015?湖南模拟)平面向量 , , 满足| |=1, ? =1, ? =2,| ﹣ |=2, 则 ? 的最小值为 .
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【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】如图所示,建立直角坐标系.由| |=1,不妨设 =(1,0) .由 ? =1, ? =2, 可设 =(1,m) , =(2,n) .利用| ﹣ |=2,可得 ≥0,再利用数量积运算 =2+mn 即可得出. , (m+n) =3+4mn
2

【解答】解:如图所示,建立直角坐标系. ∵| |=1,∴不妨设 =(1,0) . ∵ ? =1, ? =2, ∴可设 =(1,m) , =(2,n) . ∴ =(﹣1,m﹣n) .

∵| ﹣ |=2, ∴ ,化为(m﹣n) =3,
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2

∴(m+n) =3+4mn≥0, ∴ ∴ ,当且仅当 m=﹣n= =2+mn . 时取等号.

2

故答案为: .

【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式 的性质,考查了推理能力和解决问题的能力,属于难题. 12. (3 分) (2015 秋?上海校级期中)在如图所示的平面中,点 C 为半圆的直径 AB 延长线 上的一点,AB=BC=2,过动点 P 作半圆的切线 PQ,若 PC= PQ,则△PAC 的面积的最大 值为 4 .

【考点】圆的切线方程. 【分析】以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,利用 两点间距离公式推导出点 P 的轨迹方程是以(﹣3,0)为圆心,以 r=2 为半径的圆,由 此能求出△PAC 的面积的最大值. 【解答】解:以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, ∵AB=BC=2,∴C(3,0) , 设 P(x,y) , ∵过动点 P 作半圆的切线 PQ,PC= PQ,
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2 2

=

?



整理,得 x +y +6x﹣11=0, ∴点 P 的轨迹方程是以(﹣3,0)为圆心,以 r=2 为半径的圆, ∴当点 P 在直线 x=﹣3 上时,△PAC 的面积的最大, ∴(S△PAC)max= =4 .
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故答案为:4



【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意两点间 距离公式的合理运用. 二.选择题(本大题共 4 题,每题 4 分,共 16 分) 13. (4 分) (2010?卢湾区二模)关于 x、y 的二元一次方程组 的系数行列

式 D=0 是该方程组有解的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分且必要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】二元一次方程组的矩阵形式. 【分析】 将原方程组写成矩阵形式为 Ax=b, 其中 A 为 2×2 方阵, x 为 2 个变量构成列向量, b 为 2 个常数项构成列向量. 而当它的系数矩阵可逆,或者说对应的行列式 D 不等于 0 的 时候,它有唯一解.并不是说有解. 【解答】解:系数矩阵 D 非奇异时,或者说行列式 D≠0 时,方程组有唯一的解; 系数矩阵 D 奇异时,或者说行列式 D=0 时,方程组有无数个解或无解. ∴系数行列式 D=0,方程可能有无数个解,也有可能无解, 反之,若方程组有解,可能有唯一解,也可能有无数解,则行列式 D 可能不为 0,也可能为 0. 总之,两者之间互相推出的问题. 故选 D. 【点评】本题主要考查克莱姆法则,克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可 以成立.
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14. (4 分) (2012?徐汇区二模)如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解” 是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线 B.方程 f(x,y)=0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上 C.不满足方程 f(x,y)=0 的点(x,y)不在曲线 C 上 D.方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 【考点】曲线与方程. 【分析】利用曲线的方程、方程的曲线的定义的两个方面,进行判断.
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【解答】解:由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程 f(x,y)=0 的解为坐 标的点是否都在曲线 C 上, 故方程 f(x,y)=0 的曲线不一定是 C,所以曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线不正确; 方程 f(x,y)=0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上也不正确; 不能推出曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的轨迹, 从而得到 A,B,D 均不正确, 不满足方程 f(x,y)=0 的点(x,y)不在曲线 C 上是正确的. 故选 C. 【点评】本题考查曲线与方程的关系,只有曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的 解,而且以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点是否都在曲线 C 上,才能得出方程 f(x,y) =0 的曲线是 C,曲线 C 的方程是 f(x,y)=0. 15. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)若对任意的实数 x,都有 acosx﹣bsinx=1,则( A. ≥1 B.
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≤1

C.a +b ≥1 D.a +b ≤1

2

2

2

2

【考点】基本不等式. 【分析】由题意和三角函数辅助角公式可得. 【解答】解:∵对任意的实数 x,都有 acosx﹣bsinx=1, ∴1=acosx﹣bsinx= ∴1≤ sin(φ﹣x) ,其中 tanφ= ,
2 2

,平方可得 a +b ≥1

故选:C 【点评】本题考查不等式,涉及三角函数的最值,属基础题. 16. (4 分) (2015 秋?上海校级期中) △ABC 中, AB=5, AC=7, △ABC 的外接圆圆心为 O, 对于 的值,下列选项正确的是( )

A.12 B.10 C.8 D.不是定值 【考点】向量在几何中的应用. 【分析】O 为△ABC 外接圆圆心,可取 AB 边中点 E,AC 边中点 F,连接 OD,OE,AO,
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从而有 OD⊥AB,OE⊥AC,而

,从而进行数量积的计算,便可

得出该数量积的值. 【解答】解:如图,取 AB 中点 D,AC 中点 E,连接 OD,OE,则: OD⊥AB,OE⊥AC; ∴ = = = .
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故选 A.

【点评】考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念,向量减法的几何意义,以及向量数量积的 运算及其计算公式,直角三角形边角的关系. 三.解答题(本大题共 5 题,共 8+8+10+10+12=48 分) 17. (8 分) (2015 秋?上海校级期中)已知点 A(1,2) 、B(5,﹣1) ,且 A,B 两点到直线 l 的距离都为 2,求直线 l 的方程. 【考点】点到直线的距离公式. 【分析】此题需要分为两类来研究,一类是直线 L 与点 A(1,2)和点 B(5,﹣1)两点的 连线平行,一类是线 L 过两点 A(1,2)和点 B(5,﹣1)中点,分类解出直线的方程即可.
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【解答】解:∵|AB|=

=5, |AB|>2,

∴A 与 B 可能在直线 l 的同侧,也可能直线 l 过线段 AB 中点, ①当直线 l 平行直线 AB 时:kAB= =﹣ ,可设直线 l 的方程为 y=﹣ x+b

依题意得:

=2,解得:b=

或 b= ,

故直线 l 的方程为:3x+4y﹣1=0 或 3+4y﹣21=0(6 分) ②当直线 l 过线段 AB 中点时:AB 的中点为(3, ) ,可设直线 l 的方程为 y﹣ =k(x﹣ 3) 依题意得: =2,解得:k= ,

故直线 l 的方程为:

x﹣2y﹣ =0.

【点评】 本题考查点到直线的距离公式, 求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点 坐标公式,对空间想像能力要求较高,考查了对题目条件分析转化的能力.

18. (8 分) (2015 秋?上海校级期中)已知| |= 与

,| |=1, 与 的夹角为 45°,求使向量

的夹角是锐角的实数 λ 的取值范围.
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【考点】数量积表示两个向量的夹角.

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【分析】根据题意便知 可得出 λ ﹣7λ+6<0, 再求出 的取值范围. 【解答】解: 与
2

,从而根据条件进行数量积的运算便 与 同向时 λ 的取值, 这样便可得出 λ

夹角为锐角时, =4λ﹣(6+λ )+3λ>0;
2

=

解得 1<λ<6; 当 ; 解得 , ; 与 同向时,设 ,且 m>0,则:

∴实数 λ 的取值范围为(1, )∪( ,6) . 【点评】考查数量积的运算及其计算公式,以及向量夹角的概念,共线向量基本定理,平面 向量基本定理,解一元二次不等式.

19. (10 分) (2015 秋?上海校级期中)已知 x,y 满足条件:

,求:

(1)4x﹣3y 的最小值; (2) 的取值范围.
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【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.

【解答】解: (1)不等式组

表示的公共区域如图所示:

其中 A(4,1) 、B(﹣1,﹣6) 、C(﹣3,2) , 设 z=4x﹣3y,则 y= x﹣ ,平移直线 y= x﹣ , 由图象可知当直线 y= x﹣ 过 C 点时,直线的截距最大,此时 z 取得最小值, 将 C(﹣3,2) ,代入 z=4x﹣3y 得最小值, 即 z 的最小值 z=4×(﹣3)﹣3×2=﹣18. (2) 设 k= = =1﹣ ,

,则 k 的几何意义是动点(x,y)到定点 D(﹣5,﹣4)的斜率,
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而 KCD= ∴﹣ ≤k≤3,

=3,KBD=

=﹣ ,

∴﹣2≤1﹣k≤ , 即 的取值范围是[﹣2, ].

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利用数形结合是解决问题的基本方法. 20. (10 分) (2015 秋?上海校级期中)在平面直角坐标系中,设点 P1(x1,y1) 、P2(x2, y2) ,称 d(P1,P2)=max{|x1﹣x2|,|y1﹣y2|}(其中 max{a,b}表示 a、b 中的较大数) 为 P1、P2 两点的“切比雪夫距离”; (1)若 P(3,1) 、Q 为直线 y=2x﹣1 上的动点,求 P,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值; (2)定点 C(x0,y0) ,动点 P(x,y)满足 d(C,P)=r(r>0) ,请求出 P 点所在的曲线 所围成图形的面积. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】 (1)设 Q(x,2x﹣1) ,可得 d(P,Q)=max{|x﹣3|,|2﹣2x|},讨论|x﹣3|, |2﹣2x|的大小,可得距离 d,再由函数的性质,可得最小值; (2)运用分段函数的形式求得 d(C,P) ,分析各段与不等式表示的区域的图形,即可得到 面积. 【解答】解: (1)设 Q(x,2x﹣1) ,可得 d(P,Q)=max{|x﹣3|,|2﹣2x|},
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由|x﹣3|≥|2﹣2x|,解得﹣1≤x≤ ,即有 d(P,Q)=|x﹣3|, 当 x= 时,取得最小值 ; 由|x﹣3|<|2﹣2x|,解得 x> 或 x<﹣1,即有 d(P,Q)=|2x﹣2|, d(P,Q)的范围是(3,+∞)∪( ,+∞)=( ,+∞) . 综上可得,P,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ;
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(2)由题意可得,d(C,P)=r= 当|x0﹣x|≥|y0﹣y|,|x0﹣x|=r,即有 x=x0±r, 围成的图形为关于点(x0,y0)对称的三角形区域; 当|x0﹣x|<|y0﹣y|,|y0﹣y|=r,即有 y=y0±r, 围成的图形为关于点(x0,y0)对称的三角形区域. 综上可得 P 点所在的曲线所围成图形为边长为 2r 的正方形区域, 2 其面积为 4r .



【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查不等式的解法和平面区域的面积求法,注意运 用分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题. 21. (12 分) (2016?延安校级三模)定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆 的距离比 λ; 2 2 (1)设圆 C0:x +y =1,求过 P(2,0)的直线关于圆 C0 的距离比 λ= 的直线方程; (2)若圆 C 与 y 轴相切于点 A(0,3) ,且直线 y=x 关于圆 C 的距离比 λ= ,求此圆 C 的方程; (3) 是否存在点 P, 使过 P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆 C1: (x+1) +y =1 2 2 与 C2: (x﹣3) +(y﹣3) =4 的距离比始终相等?若存在,求出相应的 P 点坐标;若不存 在,请说明理由. 【考点】圆方程的综合应用. 【分析】 (1)设过 P(2,0)的直线方程为 y=k(x﹣2) ,求得已知圆的圆心和半径,由新 定义,可得方程,求得 k,即可得到所求直线方程;
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2

2

(2)设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,由题意可得 a +(3﹣b) =r ,①|a|=r②, = r③,解方程可得 a,b,r,进而得到所求圆的方程;

2

2

2

2

2

2

(3)假设存在点 P(m,n) ,设过 P 的两直线为 y﹣n=k(x﹣m)和 y﹣n=﹣ (x﹣m) , 求得两圆的圆心和半径,由新定义可得方程,化简整理可得 k(2m+n﹣1)+(m﹣2n﹣3) =0,或 k(2m﹣n+5)+(3﹣m﹣2n)=0,再由恒成立思想可得 m,n 的方程,解方程可得 P 的坐标. 【解答】解: (1)设过 P(2,0)的直线方程为 y=k(x﹣2) , 2 2 圆 C0:x +y =1 的圆心为(0,0) ,半径为 1, 由题意可得 解得 k=± ,
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=



即有所求直线为 y=± (x﹣2) ; 2 2 2 (2)设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r , 2 2 2 由题意可得 a +(3﹣b) =r ,① |a|=r②, = r③
2 2 2 2

解方程可得 a=﹣3,b=3,r=3,或 a=1,b=3,r=1. 则有圆 C 的方程为(x+3) +(y﹣3) =9 或(x﹣1) +(y﹣3) =1; (3)假设存在点 P(m,n) ,设过 P 的两直线为 y﹣n=k(x﹣m)和 y﹣n=﹣ (x﹣m) ,又 C1: (x+1) +y =1 的圆心为(﹣1,0) ,半径为 1, C2: (x﹣3) +(y﹣3) =4 的圆心为(3,3) ,半径为 2, 由题意可得 = ,
2 2 2 2

化简可得 k(2m+n﹣1)+(m﹣2n﹣3)=0,或 k(2m﹣n+5)+(3﹣m﹣2n)=0, 即有 或 ,

解得





则存在这样的点 P(1,﹣1)和(﹣ ,

) ,使得使过 P 的任意两条互相垂直的直线

分别关于相应两圆的距离比始终相等. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公 式,考查恒成立问题的解法,属于中档题.

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