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2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测:2-12 导数的综合应用含答案

时间:2015-02-16


[A 组
一、选择题

基础演练·能力提升]

1-x ?1 ? 1.已知 a≤ +ln x 对任意 x∈? ,2?恒成立,则 a 的最大值为( x ?2 ? A.0 B.1 C.2 D.3

)

1-x -x+x-1 1 x-1 ?1 ? f′(x)<0, 解析: 设 f(x)= +ln x, 则 f′(x)= + = 2 .当 x∈? ,1?时, 2 x x x x ?2 ?

?1 ? 故函数 f(x)在? ,1?上单调递减;当 x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数 f(x)在(1,2]上单调递 ?2 ?
增,∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即 a 的最大值为 0. 答案:A 2.(2014 年石家庄模拟)已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上,当正六 棱柱的体积最大时,其高的值为( A.3 3 C.2 6 ) B. 3 D.2 3
2

解析:设正六棱柱的底面边长为 a,高为 h,则可得 a + =9,即 a =9- ,那么正六 4 4 3 3? h ? 3 3? h 3h 3 ? ? ? 令 y=-h +9h, 棱柱的体积 V=?6× a2?×h= 则 y′=- ?9- 4 ?h= 2 ?- 4 +9h?, 2 4 4 ? ? ? ? 4 ? ?
2 3 3 2

h2

2

h2

+9,令 y′=0,得 h=2 3.易知当 h=2 3时,正六棱柱的体积最大. 答案:D 3 3 . (2014 年济南模拟 ) 设函数 ht(x) = 3tx - 2t ,若有且仅有一个正实数 x0 ,使得 2

h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立,则 x0=(
A.5 B. 5 C.3 D. 7

)

解析: ∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立, ∴h7 (x0)≥ht(x0)max.记 g(t)=ht(x0)=3tx0 3 1 2 2 3 -2t ,则 g′(t)=3x0-3t ,令 g′(t)=0,得 t=x0,易得 ht(x0)max=g(x0)=x0,因此,21x0 2 2 -14 7≥x0,将选项检验可得,正确答案为 D. 答案:D
3

?1 ? 4 2 4.f(x)=2x -3x +1 在? ,2?上的最大值、最小值分别是( ?2 ?
1 A.21,- 8 1 B.1,- 8

)

-1-

C.21,0

1 D.0,- 8

?1 ? 解析:∵函数 f(x)在? ,2?上有最大值和最小值. ?2 ?
∴f′(x)=8x -6x=0, 解得 x=0 或 x= 3 3 或 x=- (舍去), 2 2 1 ? 3? ?=-8. ?2?
3

∴f(x)max=f(2)=21,f(x)min=f? 答案:A
?2x +3x + ? 5. 若函数 f(x)=? ax ? x ?e
3 2

x



在[-2,2]上的最大值为 2, 则 a 的取值范围

是(

)

?1 ? A.? ln 2,+∞? ?2 ?
C.(-∞,0]
2

? 1 ? B.?0, ln 2? ? 2 ?
1 ? ? D.?-∞, ln 2? 2 ? ?

解析: 当 x≤0 时,f′(x)=6x +6x, 易知函数 f(x)在(-∞,0]上的极大值点是 x=-1, ln 2 ax 且 f(-1)=2,故只要在(0,2]上,e ≤2 即可,即 ax≤ln 2 在(0,2]上恒成立,即 a≤ 在

x

1 (0,2]上恒成立,故 a≤ ln 2. 2 答案:D 6.做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面的材 料每单位面积的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( A. )

a b

B.

a2 b

C.

b a

D.

b2 a
2

解析:如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h,则 V=π R h.

设造价为 y=2π R a+2π Rhb=2π aR +2π Rb· 2R b 令 y′=0,得 = .

2

2

V
πR

2

2bV 2bV 2 =2π aR + , ∴y′=4π aR- 2 .

R

R

h

a

答案:C

-2-

二、填空题 1 2 7.函数 f(x)= x -ln x 的最小值为________. 2 1 ? ?f x =x- >0, x 解析:由? ? ?x>0 由?
? ?f′ ?x>0, ?

得 x>1,

x <0,

得 0<x<1.

1 1 ∴f(x)在 x=1 时取最小值 f(1)= -ln 1= . 2 2 1 答案: 2 8.已知函数 f(x)=x -3x,若对于区间[-3,2]上任意的 x1,x2 都有|f(x1)-f(x2)|≤t, 则实数 t 的最小值是________. 解析: f′(x)=3x -3, 令 f′(x)=0, 解得 x=±1, 所以 1, -1 为函数 f(x)的极值点. 因 为 f(-3)=-18,f(-1)=2,f(-1)=-2,f(2)=2,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=2,
2 3

f(x)min=-18,所以对于区间[-3,2]上任意的 x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,所以 t≥20,从
而 t 的最小值为 20. 答案:20 9.已知函数 f(x)=e -ae ,若 f′(x)≥2 3恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意可知,f′(x)=e +ae ≥2 3恒成立,分离参数可得,a≥(2 3-e )e 恒 成立,令 e =t(t>0),问题等价于 a≥(-t +2 3t)max=3.所以 a∈[3,+∞). 答案:[3,+∞) 三、解答题 1 10.(2014 年长沙模拟)已知函数 f(x)=ln x+ -1.
x
2

x

-x

x

-x

x

x

x

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 m∈R,对任意的 a∈(-1,1),总存在 x0∈[1,e],使得不等式 ma-f(x0)<0 成立, 求实数 m 的取值范围. 1 1 x-1 解析:(1)f′(x)= - 2= 2 ,x>0.

x x

x

令 f′(x)>0,得 x>1,因此函数 f(x)的单调递增区间是(1,+∞). 令 f′(x)<0,得 0<x<1,因此函数 f(x)的单调递减区间是(0,1). (2)依题意,ma<f (x)max. 由(1)知,f(x)在 x∈[1,e]上是增函数,

-3-

1 1 ∴f(x)max=f(e)=ln e+ -1= . e e 1 1 ∴ma< ,即 ma- <0 对于任意的 a∈(-1,1)恒成立. e e 1 ? ?m×1-e≤0, ∴? 1 ? ?m - -e≤0.

1 1 解得- ≤m≤ . e e

? 1 1? ∴m 的取值范围是?- , ?. ? e e?
1 ? 1? 11.(2014 年长沙模拟)已知函数 f(x)=ln?x+ ?,且 f(x)在 x= 处的切线方程为 y= 2 ? x?

g(x).
(1)求 y=g(x)的解析式; (2)证明:当 x>0 时,恒有 f(x)≥g(x). 1 ? x2-1 x ? 解析:(1)∵f′(x)= 2 ?1- 2?= 3 , x +1? x ? x +x 6 ?1? ∴切线斜率 k=f′? ?=- , 5 ?2? 1 5 6? 1? ∴f(x)在 x= 处的切线方程为 y-ln =- ?x- ?, 2? 2 2 5? 6 3 5 即 y=g(x)=- x+ +ln . 5 5 2 5 ? 1? 6 3 (2)证明:令 t(x)=f(x)-g(x)=ln?x+ ?+ x- -ln (x>0), 2 ? x? 5 5 ∵t′(x)=

x2-1 6 6x3+5x2+6x-5 + = x3+x 5 x3+x x2+8x+ x3+x




?x-1? ? 2? ? ?

1 1 ∴当 0<x< 时, t′(x)<0;x> 时,t′(x)>0. 2 2

?1? ∴t(x)min=t? ?=0, ?2?
故 t(x)≥0,即当 x>0 时,f(x)≥g(x). 12.(2014 年济南模拟)设函数 f(x)=xe . (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2) 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的 x1 、 x2 ∈ (a , + ∞) , 当 x1<x2 时 恒 有
x

-4-

f x2 -f a f x1 -f a > 成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. x2-a x1-a
解析:(1)f′(x)=(1+x)e .令 f′(x)=0,得 x=-1.
x

f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下:
(x) (-∞,-1) - -1 0 极小值 (-1,+∞) +

f′(x) f(x)

∴f(x)的单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是(-1,+∞);

f(x)极小值=f(-1)=- .
(2)设 g(x)=

1 e

f x -f a ,由题意,对任意的 x1、x2∈(a,+∞),当 x1<x2,时恒有 x-a

g(x2)>g(x1),即 y=g(x)在(a,+∞)上是单调递增函数.
又 g′(x)= = +x

f
x

x

x-a -[f x -f a x-a 2

x-a -xex+aea = x-a 2
x

x2+x-ax-a x-a

-xe +ae

x

a

2



x2ex-axex-aex+aea , x-a 2

∴? x∈(a,+∞),g′(x)≥0. 令 h(x)=x e -axe -ae +ae ,
2 x

x

x

a

h′(x)=2xex+x2ex-a(1+x)ex-aex=x(x+2)ex-a(x+2)·ex=(x+2)(x-a)ex.
若 a≥-2,当 x>a 时,h′(x)>0,h(x)为(a,+∞)上的单调递增函数, ∴h(x)>h(a)=0,不等式成立. 若 a<-2,当 x∈(a,-2)时,h′(x)<0,h(x)为(a,-2)上的单调递减函数, ∴? x0∈(a,-2),h(x0)<h(a)=0,与? x∈(a,+∞),h(x)≥0 矛盾. 综上,a 的取值范围为[-2,+∞).

-5-


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