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江苏省盐城市2016届高三上学期期中考试 数学 Word版

时间:2015-11-19


盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试

数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.若集合 A ? (??, m] , B ? x ?2 ? x ? 2 ,且 B ? A ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

?

?

2.命题“ ?x ? (0,

?
2

) , sin x ? 1 ”的否定是



命题.(填“真”或“假” )

3. 设点 P(m, 2) 是角 ? 终边上一点,若 cos ? ? 4.函数 f ( x) ? e ? x 的单调递增区间为
x

2 ,则 m ? 2
.



.



5.若函数 f ( x) ? cos x ? x 的零点在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )内,则 k = 6.设函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? mx 2 ) 是奇函数,则实数 m 的值为 7.已知直线 x ? 则 f( ▲ .



.

?
3

过函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) (其中 ? ▲ .

?
2

?? ?

?
2

)图象上的一个最高点,

5? ) 的值为 6

8.在锐角 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,则 AC 的长为 2
▲ P

▲ . C

.

9.设向量 OA ? (5 ? cos? , 4 ? sin ? ) , OB ? (2,0) ,则 | AB | 的取值范围是 10.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 4 ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 点 P 是 DC 边的中点,则 PA ? PB 的值为
11.若函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (a ? 2) x 在 x ? 大值,则正数 a 的取值范围是 ▲ .

D



. A
第 10 题图

1 处取得极 2

B

12.设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列,且 a2 ? a5 ? 2am , 则m? ▲ .
n

13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (?1) ? 成立,则实数 p 的取值范围是 14. 设函数 f ( x) ?| e ? e
x 2a

1 ,若存在正整数 n ,使得 (an?1 ? p) ? (an ? p) ? 0 n
.



| ,若 f ( x) 在区间 (?1,3 ? a) 内的图象上存在两点,在这两点处的
-1-

切线相互垂直,则实数 a 的取值范围是



.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 f ( x) ? ?1 ,求 cos(

2? ? 2 x) 的值. 3

16.(本小题满分 14 分)

2 设集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? ?x || x ? a |? 1 ?.

?

?

(1)若 a ? 3 ,求 A ? B ; (2)设命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取 值范围.

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,已知 A ?

?
4

,a ? 3.

3 ,求边 c 的长; 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若 | CA ? CB |? 6 ,求 CA ? CB 的值.
(1)若 sin B ?

-2-

18.(本小题满分 16 分) EF ? DF , DF ? AB , 如图, 河的两岸分别有生活小区 ABC 和 DEF , 其中 AB ? BC , C , E , F 三点共线, FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 AB ? 3 km, BC ? 4km ,

9 3 km , FE ? 3km , EC ? km . 若以 OA, OD 所在直线分别为 x, y 轴建立平面 4 2 x?b 直角坐标系 xOy ,则河岸 DE 可看成是曲线 y ? (其中 a , b 为常数)的一部分,河 x?a 岸 AC 可看成是直线 y ? kx ? m (其中 y k , m 为常数)的一部分. E C F (1)求 a, b, k , m 的值; (2) 现准备建一座桥 MN , 其中 M , N 分 M 别在 DE , AC 上, 且 MN ? AC , 设点 M DF ?
的横坐标为 t . ①请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数 关系式 l ? f (t ) ,并注明定义域; ②当 t 为何值时,l 取得最小值?最小 值是多少? D N

O

A
第 18 题图

B

x

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;

k 1 在 [ 2 , ?? ) 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; x e 1 k ( 3 )是否存在实数 k ,使得对任意的 x ? ( , ??) ,都有函数 y ? f ( x) ? 的图象在 2 x x e g ( x) ? 的图象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由. x
(2)若函数 y ? f ( x) ? (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , e ? 1.6487 ).
1 2

-3-

20. (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 满足 和. (1)若 p ? 1 , r ? 0 ,求证: ?an ? 是等差数列;

Sn ( p , r 为常数) , 其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项 ? pn ? r an

1 , a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 3 (3)若 a2015 ? 2015a1 ,求 p ? r 的值.
(2)若 p ?

盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. [2, ??) 7. -1 8. 2. 假 3.

2

4. (0, ??)

5. 1

6. 1 13. ( ?1, )

7
14. ( ?

9. [4, 6]

10. 7

11. (0, 2)

12. 8

3 2

1 1 , ) 2 2

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15 . 解 : ( 1 ) 因 为

f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2 3 cos 2 x 1 ? 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 6 2

…………2 分 ,

…………6 分

-4-





f ( x)















T?


2? ?? . 2
2 ) 因 为

…………8 分

f ( x) ? ?1
)







s

? 1 i x ?n ? ( ? 2, 6 2


? 1 sin(2 x ? ) ? ? ?1 6 2





…………10 分 以 …………

? ? ? 1 ? 2? ? ?? cos ? ? 2 x ? ? cos ? ? (2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? . 6 ? 6 2 ? 3 ? ?2
14 分 16 . 解 : ( 1 ) 解 不 等 式

A ? ? ?3 ? ,, 1
当 所

x2 ? 2 x ? ? 3

0 得 ,
?4 ? x ? ?2

?3 ? x ? 1 , 即
, 即 集 合 以

..............2 分 时 , 由

a?3

x ? 3 ?1 , 解 得
..............4 分

B ? ? 4? , ? , ?2 A ? B ? ? ?4
集. 又

?;
...............8 分 集 合

..............6

,

分(2)因为 p 是 q 成立的必要不充分条件,所以集合 B 是集合 A 的真子

A ? ? ?3,1?
..............10 分



B ? (?a ? 1, ?a ? 1) ,
所 以

??a ? 1 ? ?3 ? ??a ? 1 ? 1
..............12 分



??a ? 1 ? ?3 , ? ??a ? 1 ? 1
解 得

0?a?2





0 ? a ? 2.
17.解: (1)在 ?ABC 中,因为 sin B ? 所

实 数 a 的 ...............14 分











? 3 2 ,所以 B ? A ? , ? sin A ? 4 5 2


c


B?


4 , 5

o ...............2


s C?
分 由 正 弦

2 2
定 理



i ...............4

A?

4 5

a s A i

?

c n C



s

i



n

3 ? 2 2

c 7 1

2 0







-5-

c?


7 3 . 5
2 ) 因
2

...............6 分

??? ? ??? ? C ? A ? 6 C
...............8 分
2

,B



b2 ? 3

?2

b

3

Cc?

o

①,

由余弦定理,有 b ? 3 ? 2 3b cos C ? c ① +

②, ② 有
2 2

, ...............10 分

得 , 解 得

c ? 2b ,
再 由 余 , 以 弦 定 理 ,

b ? c ? 2bc ? 3
C?

b ? 3 c ?,


6
a2 ? ? b2

...............12 分 , c
2



?
2







??? ? ??? ? CA ? CB ? 0 .
(说明:其它方法类似给分)

……………14 分

18 . 解 :( 1 ) 将 D (0, ), E (3, 4) 两 点 坐 标 代 入 到 y ?

7 4

x?b 中 , 得 x?a

? 7 b ? ? ? 4 a , ? ?4 ? 3 ? b ? 3? a ?


……………2 分

得 …………3

?a ? ?4 . ? ?b ? ?7
分 再 将

3 9 A( , 0), C ( , 4) 2 2















y ? kx ? m







? 0? ? ? ? ?4 ? ? ?

3 k?m 2 , 9 k?m 2

…………5 分



得 …………6

4 ? ?k ? 3. ? ? ?b ? ?2
分 ( 2 ) ① 由 ( 1 ) 知 直 线

AC 的 方 程 为 y ?

4x ? y 3? ? 6 .

4 x?2 , 即 3

0

…………7 分

设点 M 的坐标分别为 M (t , 得

t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式, t?4

-6-

l?

| 4t ? 3 ?

t ?7 ?6| 1 9 t ?4 ? | 4t ? ?9|, 2 2 5 t ?4 4 ?3

…………

9分 又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 , 所 以

l ? f (t ) ?

0 ? t ? 3.
② 方法一:令 g (t ) ? 4t ? 所 (舍) , 以 由

1 9 | 4t ? ?9| 5 t?4



…………10 分

9 (2t ? 5)(2t ? 11) ? 9, 0 ? t ? 3 ,因为 g ?(t ) ? , t ?4 (t ? 4) 2 5 t? , 解 得 或 g ?(t ) ? 0 2
…………12 分

t?

11 2

所以当 t ? (0, ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增;当 t ? ( , 3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调 递减. 从 而 当

5 2

5 2

t?

5 2





g (t )













5 g ( ) ? ?5 , 2
即 当

…………14 分

t?

5 2





l





















1km .
方法二:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 , 则

…………16 分

4t ?

9 9 9 ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] t ?4 t ?4 4?t

…………

12 分

? 7 ? 2 4(4 ? t ) ?
当 号, 即 当 且 仅

9 ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 , 4?t 9 4(4 ? t ) ? 当 4?t
时 ,





t?

5 2








…………14 分

t?

5 2

l



















1km .

…………16 分

方法三:因为点 M 在直线 AC 的上方,所以 4t ? 所 以

…………12 分 以 下 用 导 数 法 或 基 本 不 等 式 求 其 最 小 值 ( 此 略 , 类 似 给 分). …………16 分

0 ? t ? 3,

9 ? 9 ? 0, t?4 1 9 l ? f (t ) ? ? (4t ? ? 9) 5 t ?4



DE 相切, 方法四:平移直线 AC 至 AC 1 1 ,使得 AC 1 1 与曲线
-7-

则 点.









l





最 小 值 …………12 分





M

由 y?

x?7 3 3 4 , 得 y? ? ,则由 k? ? , 且 0?t ?3 , 解 得 2 2 x?4 (x ? 4 ) (t ? 4) 3

5 , …………14 分 2 5 t? 故 当 时 2 1km . t?



l





















…………16 分

19. 解 :( 1 ) 因 为 f ?( x) ?

1 , 所 以 f ?( 1 ? ) x
所 求 切

, 1 则 所 求 切 线 的 斜 率 为 线 的 方 程 为

1,


……………2 分 f (1) ? ln1 ? 0 , 故

y ? x.
则由题意知方程 ln x ? 由

................4 分(2)因为 f ( x) ?

k k ? ln x ? , x x

? k ? x ln x ,

k ?1 ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个不同的根. x ?e ? k ln x ? ? 0 x

, ……………6 分



1 . e ? 1 1? ?1 ? 当 x ? ? 2 , ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单 ?e e ? ?e ?
令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 调递增, 所 以 当 y

1 x? e





g ( x)




1 1 e2 e









O 1 1 g( ) ? ? . ……………8 分 2 ? 1 x e e e 1 1 ? 1 2 1e 又 g ( 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , e e 1 1 2 ? ? ?k ? ? 2 所 以 , 解 e e 2 1 ?k? . ……………10 分 2 e e 1 k ex (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ? ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x 1 x 即 k ? e ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 令 , h( x) ? ex ? x ln x x , x) 12 分 n x h?( ? ? e l …………… ? 1 x x 令 r ( x) ? e ? ln x ? 1,则 r ?( x) ? e ? , x
2





1

-8-

1 1 1 因为 r ?( x) 在 ( , ??) 上单调递增,r ?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 ,r ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且 r ?( x) 的图象 2 2 1 1 1 x 在 ( ,1) 上 不 间 断 , 所 以 存 在 x0 ? ( ,1) , 使 得 r?( x0 ) ? 0 , 即 e 0 ? ?0 ,则 2 2 x0

x0 ? ? ln x0 , 1 所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 2 则 取 到 最 小 r ( x)
r ( x0 ) ? e x0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ?



1 1 ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , ……………14 分 x0 x0 1 所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增. 2 1 1 1 1 1 1 所以 k ? h( ) ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 2 所 以 存 在 实 数 k 满 足 题 意 , 且 最 大 整 数 k 的 值 为
……………16 分 两 式 2 相 ) 减 , 令 得

1.

20.解: (1)证明:由 p ? 1 , r ? 0 ,得 Sn ? nan ,所以 Sn?1 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,

an ? an?1 ? 0(n ? 2)








?an ?

是 ,

等 所



数 以

列. (

……………4 分 n ?1 ,

p ? r ?1

r?

2 , 3 1 3 2 3 1 3 1 3

……………5 分

则 S n ? ( n ? ) an ,所以 Sn ?1 ? ( n ? )an ?1 (n ? 2) ,两式相减, 得

an n ?1 ? (n ? 2) , an?1 n ? 1
分 所以 所

……………7

a a a2 a3 a4 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) ,化简得 n ? ? ? ? n ? ? ? ? (n ? 2) , a1 a2 a3 an?1 1 2 3 n ? 1 a1 1? 2


an ?


2

(



…………… 9 n ? 适 合

2



a1 ? 2

an ?

2

(n ?

2 n ,? ) n 所



an ? n2 ? n .

……………10 分

(3)由(2)知 r ? 1 ? p ,所以 Sn ? ( pn ? 1 ? p)an ,得 Sn?1 ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) , 两式相减,得 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) , 易 知 .

p?0



所 ……………12 分



an an ?1 ? (n ? pn ? 1 ? p p n ? 2

2

(

)

1

)

-9-

①当 p ? 满

a a a a a 1 时,得 n ? n ?1 (n ? 2) ,所以 2015 ? 2014 ? ? ? 1 , 2 n n ?1 2015 2014 1
足 …………… 14 0

a2


? 2015a ;
②当 p ?

1 时,由 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) ,又 an ? 0 , 2 a a a a 所 以 p(n ? 1) an ? pnan?1 n ( ? 2, ) 即 n ? n ?1 (n ? 2 ), 所 以 2015 ? 1 , 不 满 足 n n ?1 2015 1 a2015 ? 2015a1 ; 1 ③当 p ? 且 p ? 0 时,类似可以证明 a2015 ? 2015a1 也不成立; 2 1 1 p? r? 综 上 所 述 , , , 所 以 2 2 1 pr ? . ……………16 分 4

- 10 -


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