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正弦函数、余弦函数的图象和性质(二)

时间:2011-02-22


●课 题 §4.8.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质(二) ●教学目标 (一)知识目标 1.正弦函数的性质; 2.余弦函数的性质. (二)能力目标 1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 3.掌握正弦函数 y=Asin(ωx+φ)的周期及求法. (三)德育目标 1.渗透数形结合思想; 2.培养辩证唯物主义观点. ●教学重点 正、余弦函数的性质 ●教学难点 正、余弦函数性质的理解与应用 ●教学方法 通过引导学生观察正、余弦函数的图象,从而发现正、余弦函数的性质,加深对性质的 理解. (启发诱导式) ●教具准备 多媒体课件或幻灯片 内容:1.正弦函数的图象,即正弦曲线 2.余弦函数的图象,即余弦曲线 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 师:上节课,我们研究了正、余弦函数的图象,今天,我们借助它们的图象来研究它们 有哪些性质. (打出幻灯片或多媒体课件) 师:我们一起来看正、余弦函数,它们具有如下性质: (1)定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R[或(-∞,+∞)] ,分别记作: y=sinx,x∈R R y=cosx,x∈R R (2)值域 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以|sinx|≤1,| cosx|≤1,即 -1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]. 其中正弦函数 y=sinx,x∈R R ①当且仅当 x=

π
2

+2kπ,k∈Z 时,取得最大值 1. Z

②当且仅当 x=-

π
2

+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1. Z

而余弦函数 y=cosx,x∈R R ①当且仅当 x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值 1. Z ②当且仅当 x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1. Z (3)周期性 由 sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z) cos(x+2kπ)=cosx 知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 一般地, 对于函数 f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 由此可知,2π,4π,……,-2π,-4π,……2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数 Z 的周期. 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. 根据上述定义,可知: 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 Z 2π . (4)奇偶性 由 sin(-x)=-sinx cos(-x)=cosx 可知:y=sinx 为奇函数 y=cosx 为偶函数 ∴正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称 (5)单调性 从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[- 当 x∈[

π 3π

π
2




π
2

, ]的图象上可看出: 2 2

]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1.

π
2

3π ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2

结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[- 增大到 1;在每一个闭区间[

π
2

+2kπ,

π
2

+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 Z

π
2

+2kπ,

3π +2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 Z 2

到-1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加 Z 到 1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. Z 师:下面看一些例子 [例 1]求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合,并说出最大值是什么. (1)y=cosx+1,x∈R; R (2)y=sin2x,x∈R. R 解:(1)使函数 y=cosx+1,x∈R 取得最大值的 x 的集合,就是使函数 y=cosx,x∈R R R

取得最大值的 x 的集合{x|x=2kπ,k∈Z}. Z 函数 y=cosx+1,x∈R 的最大值是 1+1=2. R (2)令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且使函数 y=sinZ,Z∈R 取得最大值的 Z R R R 的集合是{Z|Z= 由 2x=Z= 得 x=

π
2

+2kπ,k∈Z} Z

π
2

+2kπ,

π
4

+kπ

即:使函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值的 x 的集合是{x|x= R 函数 y=sin2x,x∈R 的最大值是 1. R [例 2]求下列函数的定义域: (1)y=1+

π
4

+kπ,k∈Z}. Z

1 sin x

(2)y= cos x

解:(1)由 1+sinx≠0,得 sinx≠-1 即 x≠

3π +2kπ(k∈Z) Z 2

∴原函数的定义域为{x|x≠ (2)由 cosx≥0 得-

π
2

3π +2kπ,k∈Z} Z 2

+2kπ≤x≤

π

∴原函数的定义域为[-

π
2

2

+2kπ(k∈Z) Z +2k

+2kπ,

π
2

π](k∈Z) Z
[例 3]求函数 y=-cosx 的单调区间 解:由 y=-cosx 的图象可知: 单调增区间为[2kπ,(2k+1)π](k∈Z) Z 单调减区间为[(2k-1)π,2kπ](k∈Z) Z Ⅲ.课堂练习 生:(口答)课本 P56 P57,练习 2、6 (书面练习)课本 P56 1、4 Ⅳ.课时小结 师:通过本节学习,要初步掌握正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用,解决一些 相关问题. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P57,习题 4.8 1、4 (二)1.预习课本 P54~P56. 2.预习提纲 (1)如何灵活应用正、余弦函数的性质解决一些问题? (2)如何用数形结合思想理解有关性质. ●板书设计 课题 图象和性质 例

●备课资料 给出下列命题: ①y=sinx 在第一象限是增函数; ②α是锐角,则 y=sin(α+

π
4

)的值域是[-1,1] ;

③y=sin|x|的周期是 2π; ④y=sin2x-cos2x 的最小值是-1; 其中正确的命题的序号是 . 分析:①y=sinx 是周期函数,自变量 x 的取值可周期性出现,如反例: 令 x 1= 而 sin

π
4

,x2= >sin(

π π
6

+2π,此时 x1<x2 +2π)

π

3

6

∴①错误; ②当α为锐角时,

π
4

<α+

π
4



π
2



π
4

由图象可知

2 π <sin(α+ )≤1 2 4

∴②错误; ③∵y=sin|x|(x∈R)是偶函数. R 其图象是关于 y 轴对称,可看出它不是周期函数. ∴③错误; 2 2 ④y=sin x-cos x=-cos2x,最小值为-1 ∴④正确. 答案:④ 评述:函数的单调性是函数的局部选择,是针对区间而言的;我们不能说某函数在某象 限内是增函数还是减函数,而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数. 附 1:三角函数单调区间的求法 单调性是函数的重要性质之一, 求三角函数的单调区间是三角中常见的题型, 现将常用 的几种方法总结如下: 一、代换法 所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角u(或 t),利用基本 三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间, 这就要求同学们熟练掌握基本三角函 数的单调区间, 即: =sinx 在 kπ- y [2 2kπ+

π
2

, kπ+ 2

π
2

] k∈Z)上单调递增, [2kπ+ ( Z 在

π
2



3π ](k∈Z)上单调递减. Z 2

y=cosx 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单 Z Z
调递减;

y=tanx 在(kπ-

π
2

,kπ+

π
2

)(k∈Z)上单调递增. Z

下面举例说明: [例]求下列函数的单调递增区间:

①y=cos(2x+

π
6

);②y=3sin(

π
3



π
2

)

解:①设u=2x+ 大 又∵u=2x+

π
6

,则 y=cosu当 2kπ-π≤u≤2kπ时 y=cosu 随 u 的增大而增

π
6

随 x∈R 增大而增大 R )当 2kπ-π≤2x+

∴y=cos(2x+ 即 kπ-

π
6

π
6

≤2kπ(k∈Ζ) Ζ

7 π π≤x≤kπ- 时,y 随 x 增大而增大 12 12

∴y=cos(2x+ [kπ-

π

7 π π,kπ- ](k∈Z) Z 12 12

6

)的单调递增区间为:

②设u=

π

3



π

当 2kπ+ 又∵u=

π
2

2

,则 y=3sinu

≤u≤2kπ+ -

x 随 x∈R 增大在减小 R 3 2 π x π π x ∴y=3sin( - )当 2kπ+ ≤ - ≤2kπ+ 3 π 3 2 2 3 2 2 7π π 即-4kπ- ≤x≤-4kπ- 时,y 随 x 增大而增大 3 3 π x ∴y=3sin( - )的单调递增区间为 3 2 7 π [4kπ- π,4kπ- ](k∈Z) Z 3 3
二、图象法 函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象 下降趋势的区间为单调递减区间, 如果能画出三角函数的图象, 那它的单调区间就直观明了 了. [例] 求函数 y=-|sin(x+

π

3π 时,y=3sinu随 x 增大在减小, 2

π
4

)|的单调区间.

解:利用“五点法”可得该函数的图象为: 显然,该函数的周期为π 在[kπ- 函数; 在[kπ+

π
4

,kπ+

π
4

](k∈Z)上为单调递减 Z

π
4

,kπ+

3π ](k∈Z)上为单调递增函数. Z 4

附 2:正余弦函数图象的对称性 现行新编高中数学试用教材,对正余弦函数 y=sinx,y=cosx 及 y=Asin(ωx+ ? ),

y=Acos(ωx+ ? )的性质,只研究了定义域、值域、最值、奇偶性、单调性及周期性,而没
有涉及它们的对称性,事实上这些函数具有下列对称性. 性质 1 函数 y=sinx 的图象具有无数条对称轴,其方程为 xk=kπ+

π
2

(k∈Z) Z

性 质 1 ′ 函 数 y = Asin( ω x + ? ) 的 图 象 具 有 无 数 条 对 称 轴 , 其 方 程 为 xk =



ω

+

π ? ? (k∈Z) Z 2ω ω
函数 y=cosx 的图象具有无数条对称轴,其方程为 xk=kπ(k∈Z) Z

性质 2

性质 2′ 函数 y=Acos(ωx+ ? )的图象具有无数条对称轴, 其方程为 xk=



ω

?

? (k ω

∈Z) Z 掌握了它们的对称性之后,我们便可将其对称性与值域(含最值)、单调性、周期性融为 一体,显然,它们的值域为 f(xk)与 f(xk+1)之间的一切实数组成的集合,最大、最小值由

f(xk)与 f(xk+1)相应确定,一个单调增或单调减区间为[xk,xk+1] ,半周期
*

T =xk+1-xk(k 2

∈N ),可见,若能直接运用对称轴方程解题,则显得十分简明而又准确可靠. N [例 1]函数 y=sin(2x+ A.x=-

π
2

5π )的图象的一条对称轴方程是( 2
B.x=-

)

π

4 5π C.x= D.x= 8 4 5π kπ 方法一:运用性质 1′,y=sin(2x+ )的所有对称轴方程为 xk= -π(k∈Z),令 Z 2 2

π

k=-1,得 x-1=-
故选 A.

π

2

,对于 B、C、D 都无整数 k 对应.

方法二:运用性质 2′,y=sin(2x+ Z),令 k=-1,得 x-1=-

π
2

5π kπ )=cos2x,它的对称轴方程为 xk= (k∈ 2 2

,对于 B、C、D 都无整数 k 对应,故选 A.

[例 2]在下列区间中函数 y=sin(x+ A.[

π
4

)的单调增区间是(

)

π
2

,π]

B.[0, D.[

π
4

] ]

C.[-π,0] 分析:函数 y=sin(x+ 求 y=sin(x+

π
4



π
2

π
4

)是一个复合函数即 y=sin[ ? (x)] ? (x)=x+ ,

π
4

,欲

π
4

)的单调增区间, ? (x)=x+ 因

π
4

在实数集上恒递增, 故应求使 y 随 ? (x)

递增而递增的区间. 方法一:∵ ? (x)=x+

π
4

在实数集上恒递增,又 y=sinx 在[2kπ-

π
2

,2kπ+

π
2



(k∈Z)上是递增的,故令 2kπ- Z

π
2

≤x+

π
4

≤2kπ+

π
2

3π π ≤x≤2kπ+ ∴2kπ- 4 4
∴y=sin(x+

3π π ,2kπ+ ] 4 4 4 11π 7 3π π 5π 9π 取 k=-1、0、1,分别得[- , π][- 、 , ][ 、 , ] , 4 4 4 4 4 4
)的递增区间是[2kπ- 对照选择支,可知应选 B 像这类题型,上述解法属常规解法,而运用 y=Asin(ωx+ ? )的单调增区间的一般结

π

论,由一般到特殊求解,既快又准确,如本题倘若运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇 具新意的简明而又准确、可靠的方法. 方法二:函数 y=sin(x+

π π
4 4

)的对称轴方程是: (k∈Z),对照选择支,分别取 k=-1、0、1,得一个递 Z

xk=kπ+

π
2



π
4

=kπ+

增或递减区间分别是[-

3π π π 5π , ]或[ , ] ,对照选择支思考即知应选 B. 4 4 4 4

注:一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间,可先运用对称轴方程求其一个 单调区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得. [例 3]若函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 解:显然 a≠0,如若不然,x=- 当

π
8

对称,试求 a 的值.

π
8

就是函数 y=sin2x 的一条对称轴,这是不可能的. 时 ,

a



0

y



sin2x



acos2x= 1 + a 2 (

a 1+ a a 1+ a2
2

cos 2 x +

1 1+ a 1 1+ a2
2

sin 2 x) = 1 + a 2 cos(2 x ? θ )

其中 cosθ=

, sin θ =

即 tanθ=

sin θ 1 = cos θ a
2

函数 y= 1 + a cos(2x-θ)的图象的对称轴方程的通式为 2xk=kπ+θ(k∈Z) Z ∴ x k=

θ
2

+

kπ π θ kπ π ,令 xk=- ? + =- 2 8 2 2 8

∴θ=-kπ-

π

4

∴tanθ=tan(-kπ- 即

π
4

)=-1.

1 =-1,∴a=-1 为所求. a

附 3:精析周期函数

中学课本中写着: “对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域 内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数,不为零的 常数 T 叫做这个函数的周期.”书中又说,对于一个周期函数来说: “如果在所有的周期中, 存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期.” 这个定义是采用内涵定义法定义的,要正确理解周期函数的定义,应从定义的内涵(性 质)和外延(对象)两个方面来分析,应注意以下几点: 1.式子 f(x+T)=f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何 x,式子都成立. 而不能是“一个 x”或“某些个 x” ,另一方面,判断一个函数不是周期函数,只需举一个反 例就行了.

12 5π π 成立, 能否断定 是 sinx 的周期呢?不能, 因对于其他一些 x 值该式不一定成立.如 x= 6 6 5π 时,sin(x+ )≠sinx. 6

例如:由于 sin(

π



5π π 5π π )=sin ,即 sin(x+ )=sinx.该式中 x 取 时等式 6 12 6 12

[例]函数 y=cosx(x≠0)是周期函数吗? 解:不是,举反例,当 T=2π时,令 x=-2π,则有 cos(x+2π)=cos(-2π+2π) =cos0=1,但 x=0,不属于题设的定义域,则 x 不能取-2π,故 y=cosx(x≠0)不是周期 函数. 2.式子 f(x+T)=f(T)是对“x”而言.

x x x +2kπ)=cos (k∈Z),是否可以说 cos 的周期为 2kπ呢?不能! Z 3 3 3 x x + 6kπ x + 6kπ x x 因为 cos( +2kπ)=cos ,即 cos =cos (k∈Z),所以 cos 的周期 Z 3 3 3 3 3
例如,由 cos( 是 6kπ,而不是 2kπ(k∈Z). Z 3.一个函数是周期函数,但它不一定有最小正周期.例如,f(x)=a (常数),显然任何 一个正数 T 都是 f(x)的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数 f(x)=a 无最小 正周期. 4.设 T 是 f(x)(x∈R)的周期,那么 kT(k∈Z,且 k≠0)也一定是 f(x)的周期,定义规定 Z 了 T 为一个实常数,而不是一个变数;同时也规定了 T 的取值范围,只要求不为零,不要误 认为 T 一定是π的倍数. 众所周知, 函数 y=Asin(ωx+ ? )的周期即最小正周期是 T=

2π |ω |

, 函数 y=Acos(ωx

+ ? )的周期也是 T=

2π |ω |

,函数 y=Atan(ωx+ ? )的周期是 T=

π ,不难看到,上述各 |ω |

函数的周期中都含有“π” ,而且,同学们所见到的课本例题及习题中的周期函数的周期中 也都含有“π” ,于是,有的同学认为:周期函数的周期一定含“π”. 事实上,这种看法是错误的,实际上,有许多周期函数的周期中是不含“π”的,如下 面几例: [例 1]函数 y=sinπx 的周期是 T=



π

=2.

[例 2]函数 y=tan2πx 的周期是 T=

π 1 = . 2π 2

[例 3]若对于函数 y=f(x)定义域内的任何 x 的值,都有 f(x+1)=f(x)成立,则由 周期函数的定义可知,函数 y=f(x)是周期函数,且 T=1 是其周期. [例 4]设 f(x)定义在 R 上,并且对任意的 x,有 f(x+2)=f(x+3)-f(x+4). 求证:f(x)是周期函数,并找出它的一个周期. ① 证明:∵f(x+2)=f(x+3)-f(x+4) ∴f(x+3)=f(x+4)-f(x+5) ② ①+②得:f(x+2)=-f(x+5) ③ 由③得:f(x+5)=-f(x+8) ④ ∴f(x+2)=f(x+8) 即 f(x)=f(x+6) ∴f(x)为周期函数,一个周期为 6. 5.周期函数必须是函数,但一定要克服思维定势,认为周期性是三角函数所独有的,实 x 2 质上我们学过的非周期函数 f(x)(如 y=log2x,y=|x|,y=2 ,y=x 等等)将其定义域内 限制在一个半开半闭区间上,经左右平移,可以延拓变为周期函数,例如将非周期函数 y= x2(x∈R)在其定义域 R 内限制在(-1,1),然后将 y=x2(-1<x≤1=的图象左、右平移, R 2 , Z 可以延拓为最小正周期为 2 的周期函数 f(x)=(x-2k) (2k-1<x≤2k+1) k∈Z,如图:

[例]已知 f(x)=|x|,x∈(-1,1] ,求定义在 R 上的一个周期为 2 的函数g(x), 使 x∈(-1,1]时,g(x)=f(x). 解:由g(x)的周期性可画出g(x)的图象.如图:

对于任意的 x∈R, 一定在周期为 2 的区间(2n-1, n+1]内, x-2n∈(-1, . 2 则 1] R x ∴g(x)=g(x-2n)=f(x-2n)=|x-2n|, 即g(x)= ?

? x ? 2 n, 2 n < x ≤ 2 n + 1 ? ? x + 2 n, 2 n ? 1 < x ≤ 2 n

评述:(1)要判定 f(x)是周期函数,自变量 x 必须取遍定义域内的每一个值. (2)周期函数是高考中的热点,只有深层次的理解周期函数的意义,才能臻化入境,运 用自如. ●教学后记


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