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[配套K12]2018版高中数学 第二章 函数 2.2.2 函数的奇偶性学业分层测评 苏教版必修1

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教育配套资料 K12
2.2.2 函数的奇偶性
(建议用时:45 分钟) [学业达标]
一、填空题 1.已知 y=f (x),x∈(-a,a),F (x)=f (x)+f (-x),则 F (x)是________函数.(填 “奇”或“偶”或“非奇非偶”) 【解析】 F (-x)=f (-x)+f (x)=F (x). 又 x∈(-a,a)关于原点对称, ∴F (x)是偶函数. 【答案】 偶 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是________.(填序号) ①y=x3;②y=|x|+1;③y=-x2+1;④y=-2x. 【解析】 对于函数 y=|x|+1,f (-x)=|-x|+1=|x|+1=f (x),所以 y=|x| +1 是偶函数,当 x>0 时,y=x+1,所以在(0,+∞)上单调递增.另外函数 y=x3 不是偶 函数,y=-x2+1 在(0,+∞)上单调递减,y=-2x不是偶函数. 【答案】 ② 3.函数 f (x)在 R 上为奇函数,且 f (x)= x+1,x>0,则当 x<0 时,f (x)=________. 【解析】 当 x<0,即-x>0 时,f (-x)= -x+1. ∵f (x)为 R 上的奇函数,∴f (-x)=-f (x),即 -f (x)= -x+1,∴f (x)=- -x-1,(x<0). 【答案】 - -x-1 4.偶函数 f (x)在区间[0,+∞)上的图象如图 2?2?8,则函数 f (x)的单调增区间为 ________.
图 2?2?8 【解析】 偶函数的图象关于 y 轴对称,可知函数 f (x)的增区间为[-1,0]和[1,+ ∞). 【答案】 [-1,0],[1,+∞) 5.若函数 f (x)= x+ x x-a 为奇函数,则 a=________.
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【解析】 函数 f (x)的定义域为?????x???x≠-21,且x≠a

???.
??

又 f (x)为奇函数,定义域应关于原点对称,∴a=12.

【答案】

1 2

6.给出函数 f (x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数 y=f (x)的图

象上的是________.(填序号)

①(a,-f (a));②(a,f (-a));③(-a,-f (a));

④(-a,-f (-a)).

【解析】 ∵f (x)为偶函数,

∴f (-a)=f (a),

∴(a,f (-a))一定在 y=f (x)的图象上.

【答案】 ②

7.已知 f (x)=x2 017+ax3-bx-8,f (-2)=10,则 f (2)=________.

【解析】 f (-2)=10,∴-22 017-8a+b2-8=10, ∴-22 017-8a+b2=18,f (2)=22 017+8a-b2-8=-18-8=-26.

【答案】 -26 8.已知 f (x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f (x)-g(x)=x3+x2+1, 则 f (1)+g(1)=________. 【解析】 令 x=-1,则 f (-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1, 由 f (x),g(x)的奇偶性知,f (-1)=f (1),g(-1)=-g(1). ∴原式即化为 f (1)+g(1)=f (-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. 【答案】 1 二、解答题 9.判断下列函数的奇偶性. (1)f (x)=3,x∈R; (2)f (x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3]; (3)f (x)=|2x-1|-|2x+1|;

?? 1-x2, (4)f (x)=?0,
??x2-1,

x>0, x=0, x<0.

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【解】 (1)∵f (-x)=3=f (x), ∴f (x)是偶函数. (2)∵x∈[-3,3],f (-x)=5(-x)4-4(-x)2+7=5x4-4x2+7=f (x), ∴f (x)是偶函数. (3)∵f (-x)=|-2x-1|-|-2x+1|=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f (x), ∴f (x)是奇函数. (4)当 x>0 时,f (x)=1-x2, 此时-x<0, ∴f (-x)=(-x)2-1=x2-1, ∴f (-x)=-f (x); 当 x<0 时,f (x)=x2-1,此时-x>0,f (-x)=1-(-x)2=1-x2, ∴f (-x)=-f (x); 当 x=0 时,f (-0)=-f (0)=0. 综上,对任意 x∈R,总有 f (-x)=-f (x),∴f (x)为 R 上的奇函数. 10.设函数 f (x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f (2a2+a+1)<f (2a2 -2a+3),求 a 的取值范围. 【解】 由 f (x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增, 可知 f (x)在(0,+∞)上递减. ∵2a2+a+1=2???a+14???2+78>0, 2a2-2a+3=2???a-12???2+52>0, 且 f (2a2+a+1)<f (2a2-2a+3), ∴2a2+a+1>2a2-2a+3, 即 3a-2>0,解得 a>23.
[能力提升] 1.已知函数 f (x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f (x)=x(x+1).若 f (a)=-2,则 实数 a=________. 【解析】 假设 a≥0,则 f (a)=a(a+1)=-2,即 a2+a+2=0,方程无解,所以 a≥0 不成立,因此 a<0,则-a>0,所以 f (-a)=-a(-a+1),由奇函数 f (-a)=-f (a), 即 f (-a)=a2-a=2,解得 a=-1 或 a=2(舍). 【答案】 -1 2.已知函数 y=f (x)为偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f (x)=0 的所有 实根之和是________.
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教育配套资料 K12 【解析】 由于偶函数的图象关于 y 轴对称,所以偶函数的图象与 x 轴的交点也关于 y
轴对称,因此四个交点中,有两个在 x 轴的负半轴上,另两个在 x 轴的正半轴上,所以四个 实根的和为 0.
【答案】 0 3.定义在 R 上的奇函数 f (x),当 x>0 时,f (x)=2,则奇函数 f (x)的值域是________. 【解析】 奇函数的图象关于原点对称,所以当 x<0 时,f (x)=-2,又定义域为 R, 所以 f (0)=0,因此函数的值域为{-2,0,2 }. 【答案】 {-2,0,2 } 4.已知 f (x)为奇函数,且当 x<0 时,f (x)=x2+3x+2.若当 x∈[1,3]时,n≤f (x)≤m 恒成立,求 m-n 的最小值.
【解】 当 x<0 时,f (x)=x2+3x+2=???x+32???2-14, ∴当 x∈[-3,-1]时,f (x)min=f ???-32???=-14,f (x)max=f (-3)=2. 又∵函数为奇函数,∴函数在 x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是-2,14, ∴m 的最小值为14,n 的最大值为-2,∴(m-n)min=14-(-2)=94, 即 m-n 的最小值为94.
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