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海南省七校2016届高三上学期第一次联考数学试卷(文科)(解析版).doc

时间:2017-04-04


2015-2016 学年海南省海南中学、农垦中学、海口一中等七校高三(上)第一次联考数学试 卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合 B={x|x(x﹣2)≤0},则 A∩B 等于( A.{1} 【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 B,根据交集的定义求出结果即可. 【解答】解:集合 A={﹣2,﹣1,0,1,2}, 集合 B={x|x(x﹣2)≤0}={x|0≤x≤2}=[0,2], 所以 A∩B={0,1,2}. 故选:C. B.{﹣2,﹣1} C.{0,1,2} D.? )

2.在复平面内,复数 A.第一象限

﹣2 对应的点位于( B.第二象限

) C.第三象限 D.第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数 【解答】解:∵ ∴在复平面内,复数 故选:C. ﹣2= ﹣2 对应的点的坐标得答案. ,

﹣2 对应的点的坐标为(﹣1,﹣1) ,位于第三象限.

3.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采 用分层抽样抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是( A.25 【考点】分层抽样方法. 【分析】求出高三的人数,再根据分层抽样方法的特征,即可求出高三应抽出的人数. B.24 C.22 ) D.20

【解答】解:高三的人数为 900﹣240﹣260=400 人, 所以高三抽出的人数为 400× 故选:D. =20 人.

4.已知向量 =(2,﹣1) , =(1,7) ,则下列结论正确的是( A. ⊥ B. ∥ C. ⊥( + )

) D. ⊥( ﹣ )

【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】求出 + ,然后通过向量的数量积求解即可. 【解答】解:向量 =(2,﹣1) , =(1,7) , + =(3,6) . ?( + )=6﹣6=0. ⊥( + )=0. 故选:C.

5.已知在等差数列{an}中,a1=1,公差 d=2,an﹣1=15,则 n 等于( A.6 B.7 C .8

) D.9

【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式列式求解. 【解答】解:由 a1=1,d=2,an﹣1=15, 得 an﹣1=a1+(n﹣2)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1=15, 解得:n=8. 故选:C.

6.已知 f(x)=x+ ,则曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为( A.2x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣4=0 C.x+y﹣2=0



D.x+y﹣4=0

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出 f′(x) ,由题意可知曲线在点(1,f(1) )处的切线方程的斜率等于 f′(1) , 所以把 x=1 代入到 f′(x)中即可求出 f′(1)的值,得到切线的斜率,然后把 x=1 和 f′(1) 的值代入到 f(x)中求出切点的纵坐标,根据切点坐标和斜率直线切线的方程即可.

【解答】解:∵f(1)=3,f′(x)=1﹣ ∴f′(1)=﹣1,



∴所求的切线方程为:y﹣3=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣4=0. 故选:D.

7.如果实数 x,y 满足条件

,则 z=x+y 的最小值为(



A.1 【考点】简单线性规划.

B.

C.

D.2

【分析】画出可行域,将 z 变形为 y=﹣x+z,利用其几何意义求最小值. 【解答】解:x,y 满足的可行域如图:由 z=x+y 得到 y=﹣x+z,当此直线经过 C 时,z 最小, 由 ,得到 C( ) ,

所以 z 的最小值为 故选:B



8.“﹣3<m<0”是“f(x)=x+log2x+m 在区间( ,2)上有零点”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据函数零点定理求出 m 的取值范围,再根据充分条件和必要的定义,从而进行 判断; 【解答】解:函数 f(x)为增函数, 若区间( ,2)上有零点, 则 f( )<0 且 f(2)>0, 解得﹣3<m< , 所以“﹣3<m<0”是“f(x)=x+log2x+m 在区间( ,2)上有零点”的充分不必要条件, 故选:A

9.函数 y=2cos(2π﹣2x)的图象可由函数 y=cos2x+ A.向左平移 C.向左平移 个单位得到 个单位得到

sin2x 的图象( 个单位得到



B.向右平移 D.向右平移

个单位得到

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】利用本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式,得出结论. 【解答】解:把函数 y=cos2x+ y=2cos[2(x+ 故选:C. )﹣ sin2x=2cos(2x﹣ )的图象向左平移 个单位得到

]=2cos2x=(2π﹣2x)的图象,

10.如图是某直三棱柱被削去一部分后的直观图和三视图中的侧视图、俯视图,则直观图中 三棱锥 E﹣BCD 的体积为( )

A.2

B.3

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由已知得到 AB=AC=AE=2,CD=4,利用等积法三棱锥 E﹣BCD 的体积等于 B﹣ DCE 的体积. 【解答】解:由几何体的直观图和侧视图和俯视图得到 AB=AC=AE=2,CD=4,所以直观图 中三棱锥 E﹣BCD 的体积为 ; 故选 D.

11.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, a=2 A.2 【考点】正弦定理. 【分析】利用正弦定理,余弦定理化简已知得 3cosC= 可得 c 【解答】解:由 =(b﹣ ,若 b∈[1,3],则 c 的最小值为( B.3 ) C .2 D.2

=

a,

sinC,可求 cosC= ,由余弦定理

2 ) +9,由 b∈[1,3],即可得解 c 的最小值.

=

a,

可得: 即:3cosC=

, sinC,可得:tanC= ,

故:cosC= , 所以:c =(b﹣
2 ) +9,

因为:b∈[1,3], 所以:当 b= 时,c 取得最小值 3.

12.已知函数 f(x)=lnx+(x﹣b)2(b∈R)在区间 b 的取值范围是( A. ) B.

上存在单调递增区间,则实数

C. (﹣∞,3)

D.

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】利用导函数得到不等式恒成立,然后求解 b 的范围. 【解答】解:∵函数 f(x)在区间 ∴函数 f(x)在区间 上存在单调增区间,

上存在子区间使得不等式 f′(x)>0 成立.


2 设 h(x)=2x ﹣2bx+1,则 h(2)>0 或



即 8﹣4b+1>0 或 得 .



故选:B.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 【考点】等比数列的性质. 【分析】由等比数列的通项公式和求和公式,代入要求的式子化简可得. = 15 .

【解答】解:

=

=

=

=15.

故答案是:15.

14.已知向量 , 满足| |=1,| |=2 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据条件对 便可得出

,| ﹣ |=2,则 ? =



两边平方即可得出 ,从而便可求出 的值.

,进行向量数量积的运算

【解答】解:根据条件,

= = =4; ∴ .

故答案为: .

15.若 x∈[



],则 f(x)=

的最小值为 ﹣1 .

【考点】三角函数的最值. 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 f(x)=tanx﹣ t≤2+ ,f(x)=y=t﹣ ,利用导数的符号可得函数 y 在[1,2+ .令 t=tanx,则 1≤ ]上单调递增,从而求得

y 的最小值. 【解答】解:x∈[ , ],则 f(x)= = =tanx﹣ ,

tan

=tan(

+

)=

=2+



令 t=tanx,则 1≤t≤2+ 单调递增,

,f(x)=y=t﹣ ,∴y′=1+2?

>0,故函数 y 在[1,2+

]上

故当 t=1 时,f(x)=y 取得最小值为 1﹣2=﹣1,

故答案为:﹣1.

16.若不等式 【考点】函数恒成立问题.
2 【分析】不等式整理为 x ≤logax 在 x∈(0,

恒成立,则实数 a 的最小值为



]时恒成立,只需 x2 的最大值小于 logax

的最小值,利用分类讨论对 a 讨论即可. 【解答】解:不等式
2 即为 x ≤logax 在 x∈(0,

恒成立, ]时恒成立,

2 ∴ x 的最大值小于 logax 的最小值. 2 ∴ x ≤ ≤logax,

当 a>1 时,logax 为递增,但最小值为负数不成立. 当 0<a<1 时,logax 为递减, 最小值在 x= ∴loga 上取到,

≥ =loga ,

∴a≥ , 故 a 的最小值为 . 故答案为: .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在锐角△ABC 中,cos2C=﹣ . (1)求 sinC 的值; (2)当 a=3,3sinC= sinA 时,求 b 的值.

【考点】正弦定理;二倍角的余弦. 【分析】 (1)因为△ABC 是锐角三角形,所以 sinC>0,利用二倍角公式直接求出 sinC 即 可;

(2) 根据正弦定理求出 c, 利用余弦定理建立方程 cosC= 验证后舍去 b=1 即可. 【解答】解: (1)∵△ABC 是锐角三角形, ∴0<C< ∴sinC>0
2 ∵cos2C=1﹣2sin C=﹣ ,

, 解出 b=1 或 b=3,



∴sinC=

. sinA 可化为,

(2)由正弦定理知 3sinC= 3c= ∵a=3, ∴c= , , ,

∵cosC=

∴cosC= 即 b ﹣4b+3=0, 解得 b=1 或 b=3,
2



2 2 2 ∵b=1 时,b +c =7<a ,与△ABC 是锐角三角形矛盾,舍去.

∴b=3.

18.已知{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 (1)求 a 的值及数列{an}的通项公式;

(n∈N ) .

*

(2)设 bn=log4an+1,设{bn}的前 n 项和 Sn,求不等式 2Sn≤5 的解集. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出; (2)利用对数的运算性质、等差数列的定义、通项公式及其前 n 项和公式可得 Sn,进而解 出不等式. 【解答】解: (1)当 n=1 时,S1=a1=2+a≠0,

当 n≥2 时, ∵{an}是等比数列, ∴



,即 a1=1,a=﹣1, (n∈N ) . , , 的等差数列, .
*

∴数列{an}的通项公式我 (2)由(1)得 ∵ ∴数列{bn}是首项为 1,公差为 ∴

2 由 2Sn≤5 得 n +3n﹣10≤0,即﹣5≤n≤2,

又 n∈N ,∴所求不等式的解集为{1,2}.

*

19.某市规定,高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格.某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80) ,[80,85) ,[85,90) ,[90,95) ,[95, 100](单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求抽取的 20 人中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数; (Ⅱ)从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人,求所选学生的参加社区 服务时间在同一时间段内的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (I)利用频率分布直方图,求出频率,进而根据频数=频率×样本容量,得到答案;

(II)先计算从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人的情况总数,再计 算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数, 代入古典概型概率计算公式, 可 得答案. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知, 参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为 20×0.04×5=4(人) , 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为 20×0.02×5=2(人) . 所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 4+2=6(人) . … (Ⅱ)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A. 由(Ⅰ)可知, 参加社区服务在时间段[90,95)的学生有 4 人,记为 a,b,c,d; 参加社区服务在时间段[95,100]的学生有 2 人,记为 A,B. 从这 6 人中任意选取 2 人有 ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA, dB,AB 共 15 种情况. 事件 A 包括 ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB 共 7 种情况. 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 .…

20. 已知椭圆 C:

+

=1 c 为椭圆的半焦距, (a>b>0) 过点 P (﹣1, ﹣1) , 且 c=

b. 过

点 P 作两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为﹣1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由已知条件推导出
2 2 ,且 c =2b ,由此能求出椭圆方程.

(2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1) ,联立
2

2 2 ,得(1+3k )x +6k(k﹣1)x+3(k﹣1)

﹣4=0.由此能求出△PMN 的面积.

(3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,利用点差法能求出直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=﹣ . 【解答】 (本小题满分 16 分) 解: (1)因为椭圆 C: c 为椭圆的半焦距,且 c= 所以 + b, =1(a>b>0)过点 P(﹣1,﹣1) ,

2 2 ,且 c =2b ,

2 2 2 2 所以 a =3b ,解得 b = ,a =4.

所以椭圆方程为:

+

=1.…

(2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1) , 联立 ,

2 2 2 消去 y 得(1+3k )x +6k(k﹣1)x+3(k﹣1) ﹣4=0.

因为 P 为(﹣1,﹣1) ,解得 M(



) .…

当 k≠0 时,用﹣ 代替 k,得 N( 将 k=﹣1 代入,得 M(﹣2,0) ,N(1,1) . 因为 P(﹣1,﹣1) ,所以 PM= 所以△PMN 的面积为 × ×2 ,PN=2 =2. ,



) . …



(3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 ,

两式相减得(x1+x2) (x1﹣x2)+3(y1+y2) (y1﹣y2)=0, 因为线段 MN 的中点在 x 轴上, 所以 y1+y2=0,从而可得(x1+x2) (x1﹣x2)=0.… 若 x1+x2=0,则 N(﹣x1,﹣y1) . 因为 PM⊥PN,所以 ? =0,得 x12+y12=2.

2 2 又因为 x1 +3y1 =4,所以解得 x1=±1,

所以 M(﹣1,1) ,N(1,﹣1)或 M(1,﹣1) ,N(﹣1,1) . 所以直线 MN 的方程为 y=﹣x.… 若 x1﹣x2=0,则 N(x1,﹣y1) , 因为 PM⊥PN,所以 ? =0,得 y12=(x1+1)2+1.

2 2 又因为 x1 +3y1 =4,所以解得 x1=﹣ 或﹣1,

经检验:x=﹣ 满足条件,x=﹣1 不满足条件. 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=﹣ .…

21.设函数 f(x)=clnx+ x2+bx(b,c∈R,c≠0) ,且 x=1 为 f(x)的极值点. (Ⅰ)若 x=1 为 f(x)的极大值点,求 f(x)的单调区间(用 c 表示) ; (Ⅱ)若 f(x)=0 恰有两解,求实数 c 的取值范围. 【考点】函数在某点取得极值的条件;函数的零点;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ利用 x=1 为 f(x)的极大值点,得到 f'(1)=0,然后利用导数研究 f(x)的 单调区间(用 c 表示) ; (Ⅱ)分别讨论 c 的取值,讨论极大值和极小值之间的关系,从而确定 c 的取值范围. 【解答】解: ∵x=1 为 f(x)的极值点, ∴f'(1)=0, ∴ 且 c≠1,b+c+1=0. ,

(I)若 x=1 为 f(x)的极大值点, ∴c>1, 当 0<x<1 时,f'(x)>0; 当 1<x<c 时,f'(x)<0; 当 x>c 时,f'(x)>0. ∴f(x)的递增区间为(0,1) , (c,+∞) ;递减区间为(1,c) . (II)①若 c<0,则 f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,

f(x)=0 恰有两解,则 f(1)<0,即

,∴

c<0;

②若 0<c<1,则 f(x)的极大值为 f(c)=clnc+ c2+bc, f ∵b=﹣1﹣c, 则 f ③若 c>1,则 ,则 f(x)=0 只有一解. 综上,使 f(x)=0 恰有两解的 c 的范围为: c<0. =clnc﹣c﹣ ,从而 f(x)=0 只有一解; =clnc﹣c﹣ , , ,

请在 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,选修 4-1:几何证 明选讲. 22.已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 A、B,直线 AF 交⊙O 于 A、F(不与 B 重合) , 直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. (1)求证:∠BAC=∠CAG;
2 (2)求证:AC =AE?AF.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 BC,根据 AB 为⊙O 的直径得到∠ECB 与∠ACG 互余,根据弦切角得到 ∠ECB=∠BAC,得到∠BAC 与∠ACG 互余,再根据∠CAG 与∠ACG 互余,得到∠BAC= ∠CAG; (2)连接 CF,利用弦切角结合(1)的结论,可得∠GCF=∠ECB,再用外角进行等量代换, 得到∠AFC=∠ACE,结合∠FAC=∠CAE 得到△FAC∽△CAE,从而得到 AC 是 AE、AF
2 的比例中项,从而得到 AC =AE?AF.

【解答】证明: (1)连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径… ∴∠ACB=90° ? ∠ECB+∠ACG=90°… ∵GC 与⊙O 相切于 C, ∴∠ECB=∠BAC ∴∠BAC+∠ACG=90°… 又∵AG⊥CG? ∠CAG+∠ACG=90° ∴∠BAC=∠CAG… (2)由(1)可知∠EAC=∠CAF,连接 CF ∵GE 与⊙O 相切于 C, ∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB ∵∠AFC=∠GCF+90° ,∠ACE=∠ECB+90° ∴∠AFC=∠ACE… ∵∠FAC=∠CAE ∴△FAC∽△CAE… ∴
2 ∴AC =AE?AF…

选修 4-4:坐标系与参数方程;

23.已知曲线 C1:ρ=2sinθ,曲线

(t 为参数)

(I)化 C1 为直角坐标方程,化 C2 为普通方程; (II)若 M 为曲线 C2 与 x 轴的交点,N 为曲线 C1 上一动点,求|MN|的最大值.

【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.
2 2 2 【分析】 (I) 利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行

代换即得 C1 为直角坐标方程;消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程. (II)先在直角坐标系中算出曲线 C2 与 x 轴的交点的坐标,再利用直角坐标中结合圆的几 何性质即可求|MN|的最大值.
2 【解答】解: (I)曲线 C1 的极坐标化为 ρ =2ρsinθ 2 2 2 又 x +y =ρ ,x=ρcosθ,y=ρsinθ 2 2 所以曲线 C1 的直角坐标方程 x +y ﹣2y=0

因为曲线 C2 的参数方程是



消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程 4x+3y﹣8=0 (II)因为曲线 C2 为直线 令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0) 曲线 C1 为圆,其圆心坐标为 C1(0,1) ,半径 r=1,则 ∴ ,|MN|的最大值为

选修 4-5:不等式选讲 24. = 已知函数 f (x) (1)求实数 a 的值; (2)求函数 g(x)的最小值. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】 (1)由 f(x)= 方程可得 a 的值; (2)运用|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4,即可得到所求的最小值. 【解答】解: (1)f(x)= =a[(x﹣1)+ +1]≥a(2 +ax(a>0,x>1) +1)=3a, +ax=a[(x﹣1)+ +1],运用基本不等式可得最小值,解 +ax +∞) =|x+a|+|x+1|. (a>0) 在 (1, 上的最小值为 15, 函数 g (x)

当且仅当 x=2 时,取得最小值 3a,

由题意可得 3a=15,解得 a=5; (2)函数 g(x)=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|, 由|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4, 当且仅当(x+5) (x+1)≤0,即﹣5≤x≤﹣1 时,取得等号. 则 g(x)的最小值为 4.

2016 年 12 月 9 日


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